高中数学全程学习方略配套课件：1.1.2余弦定理(人教A版必修5).

1、【思考【思考】【点拨【点拨】 余弦定理的简单运用余弦定理的简单运用【名师指津【名师指津】理解与应用余弦定理的关注点：理解与应用余弦定理的关注点：(1)(1)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例. .(2)(2)在应用余弦定理时，因为已知三边在应用余弦定理时，因为已知三边( (求角求角) )或已知两边及夹角或已知两边及夹角( (求第三边求第三边) )时，三角形是惟一确定的，即此时的解是惟一的时，三角形是惟一确定的，即此时的解是惟一的. .【特别提醒【特别提醒】在余弦定理的表达式中，含有三边和一边的对角这在余弦定理的表达式中，含有三边

2、和一边的对角这四个元素，可利用方程的思想，知三求一四个元素，可利用方程的思想，知三求一. .【例【例1 1】在】在ABCABC中，中，a a，b b，c c分别为角分别为角A A，B B，C C所对的三边，所对的三边，a a2 2- -(b-c)(b-c)2 2=bc=bc，(1)(1)求求A A；(2)(2)若若 B B等于等于x x，周长为，周长为y y，求函数，求函数y=f(xy=f(x) )的取值的取值范围范围. .【审题指导【审题指导】先对先对a a2 2-(b-c)-(b-c)2 2=bc=bc进行化简，再利用余弦定理求进行化简，再利用余弦定理求解；先写出解；先写出y=f(xy=f

3、(x) )的解析式，再利用三角函数知识求解的解析式，再利用三角函数知识求解. .BC2 3,【规范解答】【规范解答】(1)(1)由由a a2 2-(b-c)-(b-c)2 2=bc=bc得得: :a a2 2-b-b2 2-c-c2 2=-bc=-bc，又又0A,A0A0)a=3x,b=5x,c=7x(x0)，则，则c c为最大边，角为最大边，角C C为三角为三角形中最大内角，形中最大内角，由余弦定理由余弦定理C=120C=120. .222abc1cosC2ab2 ， 正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用【名师指津【名师指津】正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用 正弦定理和余

4、弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实际情况可以选择性地运用，也可以综合运用，要注意以下关系际情况可以选择性地运用，也可以综合运用，要注意以下关系式的运用：式的运用：【特别提醒【特别提醒】如何灵活地运用正弦定理、余弦定理呢？关键在如何灵活地运用正弦定理、余弦定理呢？关键在于观察、分析已知条件的结构特征，并联想公式运用之于观察、分析已知条件的结构特征，并联想公式运用之. .【例【例2 2】(2011(2011辽宁高考辽宁高考) )ABCAB

5、C的三个内角的三个内角A A、B B、C C所对所对的边分别为的边分别为a a、b b、c c，且，且asinAsinB+bcosasinAsinB+bcos2 2A=A=(1)(1)求求(2)(2)若若 求求B.B.【审题指导【审题指导】（1 1）利用正弦定理化简上式，从而求得）利用正弦定理化简上式，从而求得的值；的值；(2)(2)利用余弦定理求利用余弦定理求B.B.2a，b;a222cb3a ,ba【规范解答【规范解答】(1)(1)由正弦定理，得由正弦定理，得sinsin2 2AsinB+sinBcosAsinB+sinBcos2 2A A 即即sinB(sinsinB(sin2 2A+c

6、osA+cos2 2A) A) 故故sinBsinB所以所以(2)(2)由余弦定理得由余弦定理得 又因为又因为所以所以整理得整理得2sinA，2sinA，2sinA，b2.a222acbcosB,2ac222cb3a，2222ab3abcosB2ac(13)acosB.2c又由又由(1)(1)知知b b2 2=2a=2a2 2，故，故可得可得coscos2 2B= B= 又又cosBcosB00，故，故所以所以B=45B=45. .【误区警示【误区警示】不能正确利用余弦定理和不能正确利用余弦定理和(1)(1)的结论，从而导的结论，从而导致致(2)(2)无法求解无法求解. .22c23 a .1

7、2，2cosB2，【变式训练【变式训练】在在ABCABC中，中，AC=2AC=2，BC=1BC=1，(1)(1)求求ABAB的值；的值；(2)(2)求求sin(2A+C)sin(2A+C)的值的值. .【解题提示【解题提示】先由余弦定理解出先由余弦定理解出ABAB，再结合正弦定理及倍，再结合正弦定理及倍角公式等解出角公式等解出sin2Asin2A、cos2Acos2A、sinCsinC的值的值. .3cosC4，【解析【解析】(1)(1)由余弦定理得由余弦定理得ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2-2AC-2ACBCcosCBCcosC(2)(2)由由cosCcosC= = 且且

8、0C0CBC,CAABBC,CA，222145 2cosA1 sin A1 ()885 7sin2A2sinAcosA169cos2A12sin A163 7sin 2ACsin2AcosCcos2AsinC.8 ， 判断三角形的形状判断三角形的形状【名师指津【名师指津】判断三角形形状的方法：判断三角形形状的方法： 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因用正、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形式分解、配方等方式得

9、出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形的形状三角形的形状. .【例【例3 3】在】在ABCABC中，若中，若sinA-2sinBcosC=0sinA-2sinBcosC=0，试判断，试判断ABCABC的的形状形状. .【审题指导【审题指导】将角化为边或将边化为角来判断三角形的形将角化为边或将边化为角来判断三角形的形状状. .【规范解答【规范解答】方法一：方法一：sinA-2sin

10、BcosC=0,sinA-2sinBcosC=0,由正弦定由正弦定理知理知a=2bcosC,a=2bcosC,再由余弦定理得再由余弦定理得bb2 2=c=c2 2,b=c,.,b=c,.故故ABCABC为等腰三角形为等腰三角形. .方法二：由方法二：由sinA=sin(B+CsinA=sin(B+C),),有有sinBcosC+cosBsinC-sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=0,2sinBcosC=0,即即sinCcosB-cosCsinBsinCcosB-cosCsinB=0,sin(C-B)=0,C-B=0,=0,sin(C-B)=0,C-B=0,即即C=B.C=

11、B.故故ABCABC为等腰三角形为等腰三角形. .222aabc,2b2ab【互动探究【互动探究】本例中，将所给条件变为本例中，将所给条件变为b b2 2sinsin2 2C+cC+c2 2sinsin2 2B B=2bccosBcosC=2bccosBcosC，则三角形的形状又如何？，则三角形的形状又如何？【解题提示【解题提示】利用利用“角化边角化边”或或“边化角边化角”来判断三角形的来判断三角形的形状形状. .【解析【解析】方法一：由正弦定理方法一：由正弦定理 (R(R为为ABCABC外接圆的半径），将原式化为外接圆的半径），将原式化为sinsin2 2BsinBsin2 2C=C=sin

12、BsinCcosBcosCsinBsinCcosBcosC. .sinBsinC0sinBsinC0，sinBsinC=cosBcosCsinBsinC=cosBcosC，即，即cos(B+Ccos(B+C)=0)=0，B+C=90B+C=90.A=90.A=90. .ABCABC为直角三角形为直角三角形. .abc2RsinAsinBsinC方法二：将已知等式变为方法二：将已知等式变为b b2 2(1-cos(1-cos2 2C)+cC)+c2 2(1-cos(1-cos2 2B)=2bccosBcosC.B)=2bccosBcosC.由余弦定理，可得由余弦定理，可得即即bb2 2+c+c2

13、 2=a=a2 2. .ABCABC为直角三角形为直角三角形. .222222222222222222abcacbbcb ()c ()2ab2acacbabc2bc.2ac2ab 2222222222abcacbbc.4a【例】在【例】在ABCABC中，中，a a、b b、c c分别为内角分别为内角A A、B B、C C的对边，的对边，求证：求证：【审题指导【审题指导】利用正弦定理、余弦定理，把边化为角，再利利用正弦定理、余弦定理，把边化为角，再利用三角函数知识化简用三角函数知识化简. .222sin ABab.csinC【规范解答【规范解答】由余弦定理得由余弦定理得a a2 2=b=b2 2

14、+c+c2 2-2bccosA,-2bccosA,b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accosB-2accosB，a a2 2-b-b2 2=b=b2 2-a-a2 2-2bccosA+2accosB.-2bccosA+2accosB.整理得：整理得：由正弦定理得：由正弦定理得：代入上式整理得：代入上式整理得：222abacosBbcosAcc，asinA bsinB,csinC csinC，222222absinAcosBsinBcosAcsinCsin ABab.csinC，【变式备选【变式备选】在在ABCABC中，求证：中，求证：【证明【证明】由余弦定理得，由余弦定理得，cos

15、AcosBcosCabc222abc.2abc222222222222222cosAcosBcosCbcaacbabc2abc2abcabcabc2abc2abccosAcosBcosCabc. abc2abc，【典例】【典例】(12(12分分) )在在ABCABC中，中，a a、b b、c c分别为内角分别为内角A A、B B、C C的的对边，且对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC，(1)(1)求求A A的大小；的大小；(2)(2)若若sinB+sinCsinB+sinC=1=1，试判断，试判断ABCABC的

16、形状的形状. .【审题指导【审题指导】应用正、余弦定理及其变形化简即可应用正、余弦定理及其变形化简即可. .【规范解答【规范解答】(1)(1)由已知，根据正弦定理得由已知，根据正弦定理得2a2a2 2=(2b+c)b+(2c+b)c =(2b+c)b+(2c+b)c 2 2分分即即a a2 2=b=b2 2+c+c2 2+bc +bc 3 3分分由余弦定理由余弦定理a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA可求得可求得cosAcosA= = 5 5分分又又AA为为ABCABC内角，内角，A=120A=120. . 6 6分分12(2)(2)由由a a2 2=b=b

17、2 2+c+c2 2+bc+bc得：得：sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C+sinBsinC C+sinBsinC 8 8分分又又A=120A=120,sinB+sinC=1,sinB+sinC=1,sinB=sinC= sinB=sinC= 1010分分因为因为0 0B90B90,0,0C90C90, ,故故B=C B=C 1111分分所以所以ABCABC是等腰的钝角三角形是等腰的钝角三角形. .1212分分12【误区警示【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练【即时训练】在在ABCABC中，若中，若

18、acosA+bcosB=ccosCacosA+bcosB=ccosC, ,则则ABCABC的形的形状是什么？状是什么？【解析【解析】方法一：方法一：acosA+bcosB=ccosCacosA+bcosB=ccosC, ,sinAcosA+sinBcosB=sinCcosCsinAcosA+sinBcosB=sinCcosCsin2A+sin2B=sin2C,sin2A+sin2B=sin2C,2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosCcos(A-B)=-cos(A+B),2cosAcosB=0,cos(A-B)=-cos(A+

19、B),2cosAcosB=0,cosA=0cosA=0或或cosB=0,cosB=0,得得所以所以ABCABC是直角三角形是直角三角形. .AB,22或方法二方法二：由余弦定理得：由余弦定理得：上式两边同乘以上式两边同乘以2abc2abc得得a a2 2(b(b2 2+c+c2 2-a-a2 2)+b)+b2 2(a(a2 2+c+c2 2-b-b2 2)=c)=c2 2(a(a2 2+b+b2 2-c-c2 2) )a a2 2b b2 2+a+a2 2c c2 2-a-a4 4+a+a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2-b-b4 4=a=a2 2c c2 2+b+b2 2c c2

20、 2-c-c4 4a a4 4+b+b4 4-2a-2a2 2b b2 2=c=c4 4 (a (a2 2-b-b2 2）2 2=c=c4 4aa2 2-b-b2 2=c=c2 2或或a a2 2-b-b2 2=-c=-c2 2aa2 2=b=b2 2+c+c2 2或或a a2 2+c+c2 2=b=b2 2, ,所以所以ABCABC是直角三角形是直角三角形. . 222222222bcaacbabcabc2bc2ac2ab，1.1.三角形的三边分别为三角形的三边分别为4 4、6 6、8 8，则此三角形为，则此三角形为( )( )(A)(A)锐角三角形锐角三角形 (B)(B)直角三角形直角三角

21、形(C)(C)钝角三角形钝角三角形 (D)(D)不存在不存在【解析【解析】选选C.4C.42 2+6+62 2882 2，此三角形为钝角三角形此三角形为钝角三角形. .2.2.在在ABCABC中，若中，若a=c=2,B=120a=c=2,B=120, ,则边则边b=( )b=( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】选选B.B.由余弦定理可得由余弦定理可得b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accosB=4+4-2-2accosB=4+4-22 22 23 32 32 2311()12,2b2 3.3.3.在在ABCABC中，中，a=12,b=13,C=60a=12,b=13,C=60, ,此三角形的解的情况此三角形的解的情况是是( )( )(A)(A)无解无解 (B)(B)一解一解(C)