大学物理第09章第4次课--振动合成拍电磁振荡

1、上海师范大学上海师范大学19. 5 简简 谐运谐运 动动 的的 合合 成成/20)cos()cos(222111tAxtAx一、两个一、两个同方向同方向、同频率同频率简谐运动的合成简谐运动的合成xmo合振动的振幅合振动的振幅:)cos(212212221AAAAA合振动的初相为合振动的初相为:22112211coscossinsinAAAAtg)cos(tAx合振动的方程合振动的方程:二、两个二、两个相互垂直相互垂直的的、同频率同频率简谐运动的合成简谐运动的合成)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx二维合振动的方程二维合振动的方程:合振动不是简单的简谐振动合振动不是简

2、单的简谐振动, 其运动轨迹取决于其运动轨迹取决于A1,A2, 1 和和 2.xmoy上海师范大学上海师范大学2三、两个三、两个同方向同方向、不同频率不同频率简谐运动的合成简谐运动的合成两相同方向但不同频率的简谐运动合成两相同方向但不同频率的简谐运动合成时时, 其合振动一般不是简谐运动其合振动一般不是简谐运动.1212211,且）（tAtAx1011112cos)cos(其运动规律很复杂其运动规律很复杂, 取决于两个频率的大小及相对大小取决于两个频率的大小及相对大小.本节讨论一种本节讨论一种特殊情况特殊情况: 两个频率都很大两个频率都很大, 但两频率差很小但两频率差很小. 即即设两分振动的设两分

3、振动的振幅相同振幅相同(A1=A2=A0), 初相位都为零初相位都为零( 1= 2=0), 其运动方程为其运动方程为）（tAtAx2022222cos)cos(tAtAxxx2010212cos2cos则则合振动的位移合振动的位移为为)2cos2(cos210ttA1. 合运动方程合运动方程 9. 5 简简 谐运谐运 动动 的的 合合 成成sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(，因为因为coscos2)cos()cos(所以所以xmok1k2/20上海师范大学上海师范大学3);2cos2(cos210ttAx);2(2),2(2,2,2121221tttt则令co

4、scos2)cos()cos(由由(1)式可见式可见, 合振动已不是简谐振动合振动已不是简谐振动. 因为合振幅是随时间变化的因为合振幅是随时间变化的.而将而将 看成是合振动的振幅看成是合振动的振幅.tA)22cos(2120合振动的合振动的振幅振幅是随时间作周期性变化的是随时间作周期性变化的. 振幅部分振幅部分合振动频率合振动频率因此因此, 合振动为合振动为)22cos()22cos(212120ttAx(1).0,2min0maxAAA但由于但由于 2, 1, 都很大都很大, 因此可将因此可将( 2,+ 1)/2看成是合振动的频率看成是合振动的频率,.221即;)22cos(2120tAA即

5、(2)/129. 5 简简 谐运谐运 动动 的的 合合 成成上海师范大学上海师范大学4x1to频率都很大但相差很小的两个同方向振动合成时所产生的这种频率都很大但相差很小的两个同方向振动合成时所产生的这种合振动忽强合振动忽强忽弱的现象忽弱的现象称称拍拍(pat)(pat). .2. 拍拍x2to3. 拍频拍频即拍频的数值等于两分振动的频率之差即拍频的数值等于两分振动的频率之差.)(cos2)(cos2120120tAtAA合振幅因此因此,拍频为拍频为12p(4)/ 209. 5 简简 谐运谐运 动动 的的 合合 成成xtox = x1 + x2单位时间内振动加强或减弱的次数称拍频单位时间内振动加

6、强或减弱的次数称拍频. . 即振幅变化的频率即振幅变化的频率. . )1)(cos212120tA由此可见由此可见, 合振幅变化的周期合振幅变化的周期Tp为：为：1211ppT(3)上海师范大学上海师范大学5电荷产生电场电荷产生电场;电流电流(运动电荷运动电荷)产生磁场产生磁场;电磁感应电磁感应: 变化的磁场产生电场变化的磁场产生电场; 变化的电场产生磁场变化的电场产生磁场;9.7 电电 磁磁 振振 荡荡上述规律被麦克斯韦总结为一组方程上述规律被麦克斯韦总结为一组方程:麦克斯韦麦克斯韦 DtBE0 BtDJH微分形式微分形式0d SsBSlstDjlHd)(dcSlstBlEddqVsDVSd

7、d积分形式积分形式麦克斯韦根据上述方程预言了电磁波的存在麦克斯韦根据上述方程预言了电磁波的存在, 并推导出了电磁波动方程并推导出了电磁波动方程.赫兹从实验上证实了电磁波的存在赫兹从实验上证实了电磁波的存在, 从而开始了电通信时代从而开始了电通信时代.电磁波是如何产生的电磁波是如何产生的 ? 如何向外辐射的如何向外辐射的 ?上海师范大学上海师范大学6一、振荡电路一、振荡电路 无阻尼自由电磁振荡无阻尼自由电磁振荡LCEKLC 电磁振荡电路电磁振荡电路L0Q+0QCE(a)电磁振荡电路电磁振荡电路: 产生电磁振荡的电路产生电磁振荡的电路.电磁振荡电磁振荡: 电路中电荷和电流以及由此电路中电荷和电流以

8、及由此 产生的产生的电电场和场和磁磁场的场的振动振动.如图所示是由电感和电容组成的无阻如图所示是由电感和电容组成的无阻尼电磁振荡电路尼电磁振荡电路电磁振荡的过程电磁振荡的过程:(i) 当开关当开关K接通电容器接通电容器, 电源对电容器电源对电容器C充电充电.电容器两端带电电容器两端带电, 电容器中储存电场能电容器中储存电场能(如图如图 a).(ii) 然后开关然后开关K接通电感接通电感L, 电容器电容器放电放电; 由于电磁感应由于电磁感应, 线圈中产生感应电动势线圈中产生感应电动势, 且线圈中产生磁场且线圈中产生磁场.放电结束时放电结束时, 电容器上电荷为零电容器上电荷为零, 所有电场能所有电

9、场能转换为线圈中的磁场能转换为线圈中的磁场能(如图如图b).(iii) 由于线圈的自感作用由于线圈的自感作用, 就要对电容器进行反向就要对电容器进行反向 充电充电(如图如图c). 磁场能又转换为电场能磁场能又转换为电场能.(iv) 反向充电完成后反向充电完成后, 又通过线圈放电又通过线圈放电, 电容器中的电电容器中的电 场能又转换磁场能场能又转换磁场能(如图如图 d).如此如此周而复始周而复始进行进行.iL0Q+0QCE(c)9.7 电电 磁磁 振振 荡荡LCB(b)i-+-LCB(d)+-上海师范大学上海师范大学7电磁振荡电磁振荡: 电路中电路中电荷电荷和和电流电流以及由此产生的以及由此产生

10、的电场电场和和磁场磁场随随 时间作时间作周期性变化周期性变化的现象叫做的现象叫做电磁振荡电磁振荡.无阻尼电磁振荡无阻尼电磁振荡: 电磁振荡过程没有能量损耗电磁振荡过程没有能量损耗.电磁振荡过程中电磁振荡过程中, 电流和电荷如何随时间变化电流和电荷如何随时间变化 ?由通过上面的分析由通过上面的分析, 可见在只有电容器和线圈组成的可见在只有电容器和线圈组成的LC电路中电路中, 电荷和电流电荷和电流都随时间作周期性的变化都随时间作周期性的变化.常常简称为常常简称为LC电磁振荡电磁振荡.二、无阻尼电磁振荡的方程二、无阻尼电磁振荡的方程全电路欧姆定律全电路欧姆定律: 绕闭合电路一周电压降为零绕闭合电路一

11、周电压降为零.0)(ddABVVtiL电容器电容器: CqVVBA线圈线圈: dtdiLVL0ddCqtiL即即将将 代入上式并化简得代入上式并化简得, tqidd01dd22qLCtq(1)1. 电荷振荡方程电荷振荡方程9.7 电电 磁磁 振振 荡荡LCB(b)i-+上海师范大学上海师范大学801dd22qLCtq(1)LC12令令(1)式可写为式可写为0dd222qtq(2)(2)式就是熟知的简谐运动的微分方程式就是熟知的简谐运动的微分方程. )cos(0tQq(3)解方程解方程(2)得到得到电荷电荷的的振荡方程振荡方程为为式中式中Q0是电荷振幅是电荷振幅, 为初相位为初相位.2. 振荡周

12、期和频率振荡周期和频率LC1(i) 角频率角频率LC212(ii) 频率频率LCT21(iii) 振荡周期振荡周期(4)由由(4)式可见式可见, 振荡频率由振荡频率由电容器的电容电容器的电容C和线圈的和线圈的自感自感L决定决定. 电容电容C和自感和自感L越大越大, 振荡越慢振荡越慢.9.7 电电 磁磁 振振 荡荡上海师范大学上海师范大学9无阻尼自由振荡中的电荷和电流随时间的变化无阻尼自由振荡中的电荷和电流随时间的变化iq2)(tO0Q20Itqidd3. 电流振荡方程电流振荡方程)2cos()sin(00tItQ)cos(0tQq(3)电荷振荡方程电荷振荡方程由此可见由此可见, 电流振荡的频率

13、和周期与电荷振荡的频率和周期相同电流振荡的频率和周期与电荷振荡的频率和周期相同.4. 电荷和电流振荡曲线电荷和电流振荡曲线)2cos(0tIi即即(4)电流的相位超前于电荷的相位电流的相位超前于电荷的相位 /2.根据根据(3)式和式和(4)式式, 可以画出可以画出振荡中电荷和电流随时间变振荡中电荷和电流随时间变化的曲线化的曲线. 如右图所示如右图所示.9.7 电电 磁磁 振振 荡荡上海师范大学上海师范大学10三、无阻尼电磁振荡的能量三、无阻尼电磁振荡的能量)(sin21212202mtLILiE在在无阻尼自由电磁振荡无阻尼自由电磁振荡过程中过程中, 电场能量和磁场能量不断的相互转化电场能量和磁

14、场能量不断的相互转化, 总能量总能量保持保持不不变变. 电磁场能量守恒是有条件的电磁场能量守恒是有条件的.前面分析过前面分析过, 无阻尼振荡过程中无阻尼振荡过程中, 电场能和磁场能是相互转化的电场能和磁场能是相互转化的. 在转化过程中在转化过程中, 有没有能量的损失呢有没有能量的损失呢 ?电容器中的电容器中的电场能电场能为为 (第六章第六章 P218页页, 6-14b式式)(cos222202etCQCqE(5)线圈中的线圈中的磁场能磁场能为为 (第八章第八章 P2317页页, 8-15式式)LC1,00IQ 将将 代入上式代入上式, 得得)(sin2220tCQEm(6)CQLIEEE221

15、2020me电路中电路中总能量总能量总能量不随时间变化总能量不随时间变化.没有考虑电阻的热损耗和电磁波辐射的影响没有考虑电阻的热损耗和电磁波辐射的影响.无阻尼电磁振荡是一个理想模型无阻尼电磁振荡是一个理想模型.9.7 电电 磁磁 振振 荡荡上海师范大学上海师范大学11例例 在在 LC 电路中，已知电路中，已知 ，初始时两极板间的电势，初始时两极板间的电势 差差 ，且电流为零，且电流为零. 求：求：pF120,H260CLV10U（1）振荡频率；振荡频率； （2）最大电流；最大电流；LC21由Hz1001. 91020. 11060. 214. 3215104得得得, 当当t=0 时有时有 0s

16、incos00000IiCUQq000CUQ mA)(679.01106.2102.14100000ULCCUQI（5）证明在任意时刻电场能量与磁场能量之和总是等于初始时的电场能量证明在任意时刻电场能量与磁场能量之和总是等于初始时的电场能量.（3）电容器两极板间的电场能量随时间变化的关系；电容器两极板间的电场能量随时间变化的关系；（4）自感线圈中的磁场能量随时间变化的关系；自感线圈中的磁场能量随时间变化的关系；解解（1）求求振荡频率振荡频率:（2）求求最大电流；最大电流；)cos(0tQq由振荡方程由振荡方程)sin(0tIi和和9.7 电电 磁磁 振振 荡荡上海师范大学上海师范大学12（3）求求电容器两极板间的电场能量随时间变化的关系；电容器两极板间的电场能量随时间变化的关系；（4）求求自感线圈中的磁场能量随时间变化的关系；自感线圈中的磁场能量随时间变化的关系；（5）证明在任意时刻电场能量与磁场能量之和总是等于初始时的电场能量证明在任意时刻电场能量与磁场能量之和总是等于初始时的电场能量.tCU220cos21200e102