第五章连续系统的S域分析

1、第五章第五章 连续系统的连续系统的S域分析域分析5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换二、收敛域二、收敛域三、三、(单边单边)拉普拉斯变换拉普拉斯变换5.2 5.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质5.3 5.3 拉普拉斯变换逆变换拉普拉斯变换逆变换5.4 5.4 复频域分析复频域分析一、微分方程的变换解一、微分方程的变换解二、系统函数二、系统函数三、系统的三、系统的s域框图域框图四、电路的四、电路的s域模型域模型5.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换 一、从傅里叶到拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求

2、解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t时信号幅度趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。相应的傅里叶逆变换为相应的傅里叶逆变换为 Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。双边拉氏逆变换（或原函数）。二、收敛域二、收敛域只有选择适当的选择适当的值值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。使f(t)拉氏变换存在的取值范围称为称为Fb(s)的收敛域。的收敛域。下面举例说明下面举例说明Fb(s)收敛域的问题

3、。收敛域的问题。 解：例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。可见，对于因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛域如图所示。 解：解：例例2 反因果信号反因果信号f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。可见，对于反因果信号，仅当Res=时，其收敛域为Res的一个带状区域，如图所示。如图所示。 解解例4 求下列信号的双边拉氏变换。f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t)f2(t)= e -3t (t) e-2t (t)f3(t)= e -3t (t) e-2t ( t)可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换

4、必须标出收敛域。结论： 1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(S)和收敛域一起，可以唯一地确定f(t)。即：2、不同的信号可以有相同的F(S)，但他们的收敛域不同；不同信号如果有相同的收敛域，则他们的F(S)必然不同！三、单边拉氏变换 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。本课程主要讨论单边拉氏变换。四、常见函数的拉普拉斯变换 1、(t) 1，Re(S) - 2、(t)或1 1/s , Re(S) 0 3、 (t) 1， Re(S) - 4、 t(t) 1/s2 , Re(S) 0 解：例例5.15求复指数函数（式中求复指数函数（

5、式中s0为复常数）为复常数）f(t)=es0t (t)的象函数的象函数ReRe,1)(000)(0000ssssdtedteeteLtsssttsts若s0为实数，令s0，则有Re,1)(Re,1)(sstesstett若s0为实数，令s0j，则有0Re,1)(0Re,1)(sjstesjstetjtj1212( )( )( )( )ax tbx taX sbXs则则ROCROC至少是至少是12RR5.25.2拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质v 拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只着重于性质。这里只着重于ROCROC的讨论。的讨论。1. 1.

6、 线性（线性（Linearity Linearity ）：）：11( )( ),x tXs1ROC : R22( )( ),x tXs2ROC: R若若112( )1,11sX sss ROC:1 21( ),1XssROC:1 12( )( )1x tx tt而而ROC为整个为整个S平面平面 当当 与与 无交集时，表明无交集时，表明 不存在。不存在。1R2R( )X s例例. .)()()(1tettxt)()(2tetxt2. 时移性质（时移性质（Time Shifting）:( )( ),x tX sROC:R若若00()( ),stx ttX s eROC不变不变则则3. S域平移（域

7、平移（Shifting in the s-Domain）:( )( ),x tX sROC:R若若则则00( )(),s tx t eX ss0ReROC:Rs 表明表明 的的ROC是将是将 的的ROC平移了平移了一个一个 。0()X s s( )X s0Res例例. .1( ),1X ss1 显然显然ROC:3 )()(tetxt31)2()().(32SSXteetxttRe sa R 4. 时域尺度变换（时域尺度变换（Time Scaling）:ROC:R( )( ),x tX s若若1()()sx atXaaROC : aR则则当当 时时 收敛，收敛， 时时 收敛收敛R( )sXaRR

8、e sa( )X s例例. .1 11)()()(ssXtetxt求求 的拉氏变换及的拉氏变换及ROC)()2(2tetxt12( ),1212X sss1ROC:2 可见：可见：若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的ROC在在S平面上作相反的尺度变换。平面上作相反的尺度变换。()(),xtXs ROC:R特例特例1212( )( )( )( )x tx tX s XsROC:12RR包括包括 5. 卷积性质卷积性质:11( )( ),x tXs1ROC : R22( )( ),x tXs2ROC:R若若则则121RR显然有显然有:例例. .11( ),1X ss

9、21( ),23sX sss1ROC:1R 2ROC:2R 121( )( ),23X s Xsss2, ROC扩大扩大 原因是原因是 与与 相乘时，发生了零极点相相乘时，发生了零极点相抵消的现象。当被抵消的极点恰好在抵消的现象。当被抵消的极点恰好在ROC的边的边界上时，就会使收敛域扩大。界上时，就会使收敛域扩大。2( )X s1( )X s6. 时域微分时域微分: :（Differentiation in theTime Domain）( )( ),dx tsX sdt( )( ),x tX sROC:RROC包括包括R, ,有可能扩大。有可能扩大。若若则则7. S域微分域微分:（Diffe

10、rentiation in the s-Domain）( )( ),x tX s( )( ),dX stx tds若若则则ROC: RROC: R21( )()X ssaROC:a的像函数例，求)()(ttetxt答案答案8、时域积分特性（积分定理） 若f(t) F(s) , Res0, 则)0(1)(1)()()()(11)(mnmmnntnnfssFsdxxftf已知后者，也已知后者，也可推出前者可推出前者例例2:已知因果信号已知因果信号f(t)如图如图,求求F(s)9、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(），而不必求出原函数f(t)初值定理设函数f(

11、t)不含(t)及其各阶导数，终值定理若f(t)当t 时存在，并且f(t) F(s) , Res0,？05.3 拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换-复变函数积分复变函数积分。比较困难比较困难 通常的方法: （1）查表法 （2）利用性质（3） 部分分式展开-结合 若象函数若象函数F(s)是是s的有理分式，可写为的有理分式，可写为若若mn （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。 由于L-11=(t)， L -1sn=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。下面主要讨论有理真分式的情形。 部分分式展开

12、法 若F(s)是s的实系数有理真分式（m0dtetfjFtj)()(分析因果信号两种变换的关系分析因果信号两种变换的关系设设Res 0(1) 00;收敛域在虚轴右边，在s=j处不收敛，傅立叶变换不存在 这时有：(1) 00;收敛域包含虚轴，在s=j处收敛，傅立叶变换存在。jssFjF| )()(例如：例如：Re,1)(, 0),()(sssFtetft其拉普拉斯变换为其傅立叶变换为其傅立叶变换为jsFjFjs1| )()( 分析：因为分析：因为 00，所以在虚轴上有极点，即，所以在虚轴上有极点，即F(s)的分母多项式的分母多项式A(s)=0必有虚根。必有虚根。 设A(s)=0有N个虚根（单根）j1, j2, jn,将F(s)展开成部分分式，并把它分成两部分，极点在左半平面的部分令为Fa(s)。则有(1) 00;在虚轴上不收敛在虚轴上不收敛。NiiiajsKsFsF1)()( 因为因为如令如令L-1Fa(s)=fa(t),则上式的拉普拉斯变换为则上式的拉普拉斯变换为NitjiateKtftfi1)()()()(1)(iitjwjeLi所以，f(t)