第十五讲第三章导数与微分3.4高阶导数的概念

1、22),(),(,)(,)()(dxydxyxfxxfxxfxf或或或或记记作作的的二二阶阶导导数数在在称称为为函函数数的的导导数数在在的的导导函函数数函函数数 二、高阶导数二、高阶导数xxfxxfxfx )()(lim)(0 即即（一）高阶导数定义（一）高阶导数定义33),(),(,)(,)()(dxydxyxfxxfxxfxf或或或或记记作作的的三三阶阶导导数数在在称称为为函函数数导导数数的的在在的的二二阶阶导导函函数数函函数数 xxfxxfxfnnxn )()(lim)()1()1(0)( 即即nnnndxydxyxfnxxfxnxf或或或或记记作作阶阶导导数数的的在在称称为为函函数数的

2、的导导数数阶阶导导函函数数在在的的函函数数),(),(,)(,)1()()()( )(tss 变变速速直直线线运运动动：瞬瞬时时速速度度一一阶阶导导数数：)()(tvts 瞬瞬时时加加速速度度二二阶阶导导数数：)()(tats 二阶导数的物理意义二阶导数的物理意义)(), 2, 1(1nnynxy求求例例 1 nnxy2)1( nxnny!)(nyn 解解用数学归纳法可以证明用数学归纳法可以证明aayxln )(),1, 0(2nxyaaay求求例例 2)(lnaayx nxnaay)(ln)( xnxee )()(特特例例：用数学归纳法可以证明用数学归纳法可以证明解解.sin3阶阶导导数数的

3、的求求例例nx)2sin()(sin)( nxxn)2sin(cos)(sin xxxxxx )2sin()(sin )22sin()2cos( xx解解xxx )22sin()(sin )23sin()22cos( xx用数学归纳法用数学归纳法).0(, 3/)0(,01cos22)(4yyyexfyx 求求且且确确定定由由方方程程函函数数例例 求求导导方方程程两两边边对对 x) 1 (0sin22 yyex得得代代入入将将),1(, 3/)0(, 0 yx32)0( y解解得得求求导导式式两两边边再再对对,)1(x得得代代入入将将),2(,3/2)0(, 3/)0(, 0 yyx 9310

4、)0( y)2(0sincos2 yyyyex).(,cossincosln)(5xytttytxxfy 求求确确定定由由参参数数方方程程设设函函数数例例tttttttttxtyxycoscos/sinsincoscos)()()( 解解xxydxdxy)()( ttxytxxycos)(cosln)(由由参参数数方方程程确确定定xxyxy )()( ttttt)cos(ln)cos( tttxy)cos()(: 注注意意tttttcos/sinsincos tttttsincossincos2 )( )(txxyt 则则阶阶导导数数有有设设函函数数,)(),(nxvxu)()()()()1(

5、nnnvuvu )()()()2(nnucuc )()(0)()()3(kknnkknnvuCvu ),()0()0(vvuu 其其中中式式称称为为莱莱布布尼尼兹兹公公式式)3(（二）高阶导数性质（二）高阶导数性质)(32,15nxyexy求求设设例例 则则令令,23xveux , 2,2 vxv由由莱莱布布尼尼兹兹公公式式得得), 2, 1(33)(nkeuxkk 0)()4( nvvv)()(! 2) 1()()()()(2)2(32)1(32)(3)(23)( xennxenxexeynxnxnxnxn)1(693232 nnnxxexn解解vuvuvu )(xuxuyy 乘乘、除除四四则则计计算算法法则则特特别别注注意意)1(复复合合求求导导法法则则)2(2)(vvuvuvu 函函数数关关系系注注意意分分析析清清楚楚小结小结1 导数计算导数计算要要求求反反函函数数求求导导公公式式)( 1)()3(1xfyf 0)( xf)( )() )()(txxyxyxytx 求求二二阶阶导导数数注注意意怎怎样样参参数数方方程程求求导导时时要要特特别别)5(txyxy) )()( .,)4(复复合合求求导导问问题题有有两两边边求求导导时时隐隐函函数数求求导导法法则则数数或或幂幂指指函函数数。子子乘乘