高中数学 第一章 三角函数 7.1正切函数的定义、7.2正切函数的图像与性质、7.3正切函数的诱导公式 新人教A版必修4

1、71正切函数的定义72正切函数的图像与性质73正切函数的诱导公式1问题导航(1)用正切线作正切函数的图像与作哪个三角函数的图像的方法类似？该方法有什么优缺点？(2)正切函数的定义域能写成eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)k，f(,2)k)(kZ)吗？为什么？(3)正切函数的诱导公式的实质是什么？2例题导读P39例1.通过本例学习，学会一个角的正切值，求这个角的正弦值和余弦值的方法 试一试：教材P40习题17 A组T1、T2你会吗？ P40例2.通过本例学习，学会利用正切函数的诱导公式进行化简求值 试一试：教材P41习题17 A组T7(1)你会吗？ 1正切函数的定义在直角坐标系

2、中，如果角满足：R，eq f(,2)k(kZ)，且角的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值eq f(b,a)叫作角的正切函数，记作ytan_，其中 R，eq f(,2)k，kZ根据正切函数与正弦函数、余弦函数的定义可知tan eq f(sin ,cos )(比值eq f(a,b)叫作角的余切函数，记作ycot ，其中R且k，kZ)2正切线(1)定义：在直角坐标系中，设单位圆与x轴的非负半轴的交点为A(1，0)，过点A(1，0)作x轴的垂线，与角的终边或其终边的延长线相交于T点，那么称线段AT为角的正切线(2)画法：3正切函数的图像与性质解析式ytan x图像定义域x|xR，xeq f(,2

3、)k，kZ值域R周期k(kZ，k0)，最小正周期是奇偶性奇函数单调性在开区间eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)k，f(,2)k)(kZ)上都是增函数对称性正切曲线是中心对称图形，其对称中心是eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)，0)(kZ)(1)tan(2)tan_(1.16)；(2)tan()tan_(1.17)；(3)tan(2)tan_(1.18)；(4)tan()tan_(1.19)；(5)tan()tan_(1.20)；(6)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)cot (1.21)；(7)taneq blc(rc)(avs4a

4、lco1(f(,2)cot (1.22)1判断正误(正确的打“，错误的打“)(1)正切函数在整个定义域内是增函数()(2)存在某个区间，使正切函数为减函数()(3)正切函数图像相邻两个对称中心的距离为周期.()(4)函数ytan x为奇函数，故对任意xR都有tan(x)tan x()解析：(1)错误如x1eq f(,4)，x2eq f(2,3)，但taneq f(,4)taneq f(2,3)，不符合增函数的定义(2)错误正切函数在每个单调区间上都为增函数(3)错误正切函数图像相邻两个对称中心的距离为半周期eq f(,2)，故此说法是错误的(4)错误当xeq f(,2)k(kZ)时，tan x

5、没有意义，此时式子tan(x)tan x不成立答案：(1)(2)(3)(4)2ytan(x)是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数解析：选A.因为ytan(x)tan x，所以ytan(x)是奇函数3函数f(x)taneq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)的定义域是_，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)_解析：由题意知xeq f(,6)keq f(,2)(kZ)，即xeq f(,3)k(kZ)故定义域为eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xkf(,3)，kZ)，且feq blc(rc)(avs4alco1

6、(f(,6)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f(,6)eq r(3).答案：eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xkf(,3)，kZ)eq r(3)4化简：eq f(tan2sin2cos6,cossin5)_解析：原式eq f(tansincos,cos sin )eq f(tan sin cos ,cos sin )tan .答案：tan 1对正切函数图像的理解(1)正切函数的图像是由被互相平行的直线xeq f(,2)k(kZ)所隔开的无数多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线(2)正切函数的图像向上、向下无限延伸，但永

7、远不和xeq f(,2)k(kZ)相交，与x轴交于点(k，0)(kZ)(3)正切函数的简图可用“三点两线画出来，“三点是指(0，0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，1)；“两线是指xeq f(,2)和xeq f(,2).作简图时只需先作出一个周期中的两条渐近线xeq f(,2)，xeq f(,2)，然后描出三点(0，0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，1)，用光滑的曲线连接得一条曲线，再平行移动至各个周期内即可注意：直线xeq

8、f(,2)k，kZ叫作正切曲线的渐近线，正切曲线与渐近线无限接近但不相交2对正切函数的性质的理解(1)正切函数的单调性表现为在每一单调区间内只增不减，这一点必须注意(2)正切函数的图像的对称中心为eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)，0)(kZ)，而不是(k，0)(kZ)，它没有对称轴3对正切函数的诱导公式的理解(1)公式的特点与记忆2，的正切函数值等于的正切函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号为了便于记忆，也可简单地说成“函数名不变，符号看象限(2)利用“化切为弦的方法证明正切函数的诱导公式“化切为弦是指利用tan eq f(sin ,cos )，R，且eq f(

9、,2)k，kZ，把某角的正切函数值转化为该角正弦函数值与余弦函数值的商，再根据正弦、余弦的有关结论解决问题例如，tan()eq f(sin,cos)eq f(sin ,cos )tan .(3)诱导公式的应用利用诱导公式可把任意角的正切函数转化为锐角三角函数即正切函数的图像求函数f(x)tan |x|的定义域与值域，并作其图像(链接教材P42习题17 B组T4)解f(x)tan |x|eq blc(avs4alco1(tan x，x0且xkf(,2)，,tan x，x0且xkf(,2)(kZ)，可知，函数的定义域为eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xR，且x

10、kf(,2)，kZ)，值域为R.当x0时，函数ytan |x|在y轴右侧的图像即为ytan x的图像不变；x0时，ytan |x|在y轴左侧的图像为ytan x在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如下图(实线局部)本例中“函数f(x)tan |x|假设换为“函数f(x)|tan x|，其他条件不变，其结论又如何呢？解：函数f(x)|tan x|的定义域是eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xkf(,2)，kZ)，值域是0，)，图像如图实线局部所示方法归纳(1)作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移从而得到正切函数的图像，通过图像的特点

11、，可用“三点两线法，这三点是eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，1)，(0，0)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，1)，两线是直线xeq f(,2).(2)如果由yf(x)的图像得到yf(|x|)及y|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出yf(x)(x0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到yf(|x|)(x0)的图像；同理只要做出yf(x)的图像，令图像“上不动，下翻上便可得到y|f(x)|的图像1(1)函数ysin x与ytan x在区间eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(3,2)上的交点个数是()A3 B

12、4C5 D6(2)函数ytan xsin x|tan xsin x|在区间eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(3,2)内的图像是如图中的_解析：(1)如图，函数ysin x与ytan x在区间eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(3,2)上的交点个数是3.(2)函数ytan xsin x|tan xsin x|eq blc(avs4alco1(2tan x，f(,2)x，,2sin x，xf(3,2).)答案：(1)A(2)正切函数的性质求函数f(x)tan eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)的定义域、最小正周期和单调区间(链接

13、教材P40练习T2)解由题意，知2xeq f(,3)keq f(,2)(kZ)，所以xeq f(k,2)eq f(5,12)(kZ)，即函数的定义域为eq blc(avs4alco1(xblc|rc(avs4alco1(xR，且xf(k,2)f(5,12)，kZ).由于f(x)tan eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)tan eq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)f(,3)feq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)，所以最小正周期Teq f(,2).因为keq f(,2)2xeq f(,3)keq f(,2)

14、(kZ)，所以keq f(,2)eq f(,12)xkeq f(,2)eq f(5,12)(kZ)，即函数的递增区间为eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)f(,12)，f(k,2)f(5,12)(kZ)方法归纳求函数yAtan(x)定义域、周期、单调区间的方法(1)定义域：由xkeq f(,2)，kZ，求出x的取值集合即为函数的定义域，即eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(kf(,2),)，kZ).(2)周期性：利用周期函数的定义来求(3)单调区间：在求函数yAtan(x)(A，为常数，A0)的单调区间时，首先要用诱导公式把x的系数化为

15、正值，再利用整体代换的思想和正切函数的单调性求出单调区间，即由keq f(,2)xkeq f(,2)(kZ)，求出x的所在区间即可提醒：注意A的正负对函数单调性的影响2函数f(x)tan(3x)的图像的一个对称中心是eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，0)，其中0eq f(,2)，试求函数f(x)的单调区间解：由于ytan x的对称中心为eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)，0)，kZ，故令3xeq f(k,2)，其中xeq f(,4)，即eq f(k,2)eq f(3,4)，由于0eq f(,2)，所以当k2时，eq f(,4).故f(x)taneq bl

16、c(rc)(avs4alco1(3xf(,4).由于正切函数ytan x在eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,2)，kf(,2)(kZ)上为增函数，那么令keq f(,2)3xeq f(,4)keq f(,2)，解得eq f(k,3)eq f(,4)xeq f(k,3)eq f(,12)，kZ.故该函数的递增区间为eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,3)f(,4)，f(k,3)f(,12)(kZ)正切函数诱导公式的应用tan(3)eq f(1,5)，求eq f(sintantan blc(rc)(avs4alco1(f(3,2),tan blc(rc)(avs4al

17、co1(f(,2)cosblc(rc)(avs4alco1(f(3,2)的值(链接教材P40例2)解因为tan(3)tan()tan eq f(1,5)，所以tan eq f(1,5).原式eq f(sin tan f(sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,2),cosblc(rc)(avs4alco1(f(3,2),f(sinblc(rc)(avs4alco1(f(,2),cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)sin )eq f(sin tan blc(rc)(avs4alco1(f(cos ,sin ),f(cos ,sin )sin )tan eq f(1,5)

18、.方法归纳解决条件求值问题的根本思路是分别将条件和所求问题进行化简，进而寻找条件和所求问题间的关系，从而求得结论3(1)tan()eq f(1,tan3)2，那么tan()()A2 B2C1 D1(2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(r(3),2)，且|eq f(,2)，那么tan _；(3)tan()lgeq f(1,r(3,10)，求taneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)的值解：(1)选()eq f(1,tan3)tan eq f(1,tan )2，即eq f(tan22tan 1,tan )0，解得tan tan()tan 1.(

19、2)因为coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)sin eq f(r(3),2)，所以sin eq f(r(3),2).因为|eq f(,2)，所以eq f(,3)，所以tan taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)tan eq f(,3)eq r(3).故填eq r(3).(3)因为tan()lgeq f(1,r(3,10)eq f(1,3)，所以tan eq f(1,3).taneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)tan eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(

20、avs4alco1(f(,2)tan eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(sinblc(rc)(avs4alco1(f(,2),cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(cos ,sin )eq f(1,tan )3.思想方法换元法的应用设函数ytan2x2tan x2，且xeq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(,4)，求函数的值域解因为xeq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(,4)，所以tan xeq r(3)，1，令tan xt，teq r(3)，1，那么yt22t2(t1)21.当t1时，y取得最小值，为1；当

21、t1时，y取得最大值，为5.所以函数ytan2x2tan x2的值域为1，5感悟提高(1)三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题(2)利用换元法时，要注意新变量的取值范围，把原变量的范围转化给新变量1点P(tan ，cos )在第三象限，那么角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析：选B.由(tan ，cos )在第三象限，知tan 0，cos 0，所以角是第二象限角2taneq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)5，那么taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,3

22、)()A5 B5C5 D不能确定解析：选eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)5，故taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)5.3假设tan xeq r(3)0，那么x的取值范围是_解析：由题意，知tan xeq r(3).由正切函数的图像，知keq f(,3)xkeq f(,2)(kZ)答案：eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(kf(,3)xkf(,2)，kZ)4函数ytan x，xeq blcrc(avs4

23、alco1(0，f(,4)的值域是_解析：函数ytan x在eq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)上是增加的 ，那么tan 0ytan eq f(,4)，即0y1.答案：0，1, 学生用书单独成册)A.根底达标1函数y3taneq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)的定义域是()A.eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xkf(,2)，kZ)B.eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(k,2)f(3,8)，kZ)C.eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(k,2

24、)f(,8)，kZ)D.eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(k,2)，kZ)解析：选C.由2xeq f(,4)keq f(,2)(kZ)，得xeq f(k,2)eq f(,8)(kZ)2假设tan sin 0，那么位于()A第一、二象限B第一、三象限C第二、三象限D第二、四象限解析：选C.依题意，tan sin 0，sin 0时，为第三象限角当tan 0时，为第二象限角3函数y|tan x|的周期为()A.eq f(,2) BC2 D3解析：选B.结合函数y|tan x|的图像可知周期为.4关于x的函数f(x)tan(x)，以下说法不正确的选项是()A对

25、任意的，f(x)都是非奇非偶函数B不存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数C存在，使f(x)为奇函数D对任意的 ，f(x)都不是偶函数解析：选A.当k(kZ)时，f(x)tan(xk)tan x为奇函数5在以下函数中，同时满足以下三个条件的是()(1)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上是递减的(2)最小正周期为2.(3)是奇函数Aytan x Bycos xCysin(x3) Dysin 2x解析：选C.ytan x在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上是递增的，不满足条件(1)B函数ycos x是偶函数，不满足条件(3)C函数ysin(x3)s

26、in x，满足三个条件D函数ysin 2x的最小正周期T，不满足条件(2)6直线ya(a为常数)与函数ytan eq f(x,2)的图像相交，两相邻交点间的距离为_解析：结合图像可知(图略)，两相邻交点间的距离恰为一个最小正周期答案：27比拟大小：tan 211_tan 392.解析：tan 211tan(18031)tan 31.tan 392tan(36032)tan 32，因为tan 31tan 32，所以tan 211tan 392.答案：8函数f(x)eq r(tan x1)eq r(1x2)的定义域为_解析：要使函数f(x)有意义，需eq blc(avs4alco1(tan x10

27、，,1x20，)即eq blc(avs4alco1(tan x1，,x21.)解得eq blc(avs4alco1(kf(,4)xbc Babac Dbatan 2tan(5)3f(x)asin xbtan x1满足feq blc(rc)(avs4alco1(f(,5)7，那么feq blc(rc)(avs4alco1(f(99,5)_解析：依题意得feq blc(rc)(avs4alco1(f(,5)asin eq f(,5)btan eq f(,5)17，所以asin eq f(,5)btan eq f(,5)6，所以feq blc(rc)(avs4alco1(f(99,5)asin eq

28、 f(99,5)btan eq f(99,5)1asineq blc(rc)(avs4alco1(f(99,5)20)btaneq blc(rc)(avs4alco1(f(99,5)20)1asin eq f(,5)btan eq f(,5)1eq blc(rc)(avs4alco1(asin f(,5)btan f(,5)1615.答案：54给出以下命题：函数ytan x的图像关于点eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,2)，0)(kZ)对称；函数f(x)sin |x|是最小正周期为的周期函数；函数ycos2xsin x最小值为1；设为第二象限的角，那么tan eq f(,2)c

29、oseq f(,2)，且sineq f(,2)coseq f(,2).其中正确的命题序号是_解析：函数ytan x的图像关于点eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,2)，0)(kZ)对称，正确；函数f(x)sin|x|是最小正周期为的周期函数，错误，函数f(x)sin|x|不是周期函数；因为函数ycos2xsin xsin2xsin x1，所以其最小值为1，正确；设为第二象限的角，即eq f(,2)2k2k，kZ，所以eq f(,4)keq f(,2)eq f(,2)k，kZ，即eq f(,2)为第一象限或第三象限的角，所以不对答案：5函数f(x)eq f(sin x,|cos x|).(1)求函数的定义域；(2)用定义判断f(x)的奇偶性；(3)在，上作出f(x)的图