热学课件：第2章 分子动（理学）理论的平衡态理论4

1、例：小孔泻流: 容器体积V, 真空, 小孔面积A, 大气压强P0, 温度T0, 打开小孔求：容器中气体压强增至P0 /2时所需时间?解：进入:流出:温度相同:则:即:则:2.6 外力场中自由粒子的分布玻尔兹曼分布 按照分子混沌性假设，处于平衡态的气体其分子数密度n处处相等，但这仅在无外力场条件下才成立。若分子受到重力场、惯性力场等作用，气体分子数密度将有一定的空间分布，这类分布均可看作玻尔兹曼分布的某种特例。 一、等温大气压强公式（isothermal barometric formula) 现假设大气是等温的且处于平衡态，则大气温度随高度变化是怎样的？现考虑在大气中垂直高度为z到z+dz，面

2、积为A的一薄层气体（见图)。该系统达到平衡的条件为 积分，则有其中p（0）及p（z）分别为高度0及z处大气压强。改写为气体分子数密度随高度分布公式，则气体分子热运动( )与分子受重力场( )作用这一对矛盾注意等温气压公式二、等温大气标高 因指数上量纲为1，故 中的 具有高度的量纲。定义大气标高H大气标高的物理意义（1）在高度z=H处的大气压强为z=0处大气压强的1/e（2）设把整个大气分子都压缩为环绕地球表面的、其密度与海平面处大气密度相等的一层假想的均匀大气层，则这一层大气的厚度也是H思考？实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10 m，大气压约降低133.3 Pa。试用恒温气压公式验证此结

3、果（海平面上大气压按1.013105 Pa 计，温度取273K）。 解例等温气压公式将上式两边微分，有拉萨海拔约为3600m ，气温为273K，忽略气温随高度的变化。当海平面上的气压为1.013105 Pa 时，由等温气压公式得设人每次吸入空气的容积为V0 ，在拉萨应呼吸x 次 (1) 拉萨的大气压强；(2) 若某人在海平面上每分钟呼吸17 次，他在拉萨呼吸多少 次才能吸入同样的质量的空气。M=2910-3 kg/mol解例求则有三、玻尔兹曼分布（Bortzmann distribution） 等温大气重力场中分布公式式接下来看麦克斯韦速度分布 分布都是按粒子能量的分布，它们都有一个称为“玻尔

4、兹曼因子”的因子 规律:这些分布中都有 因子 ，称为玻尔兹曼因子。具有玻尔兹曼因子的分布，称为玻尔兹曼分布（Bortzmann distribution） 若n1和n2分别是在温度为T的系统中，处于粒子能量为 的某一状态与粒子能量为 的另一状态上的粒子数密度。则玻尔兹曼分布可表示为 玻尔兹曼分布表示：粒子处于能量相同的各状态上的概率是相同的；粒子处于能量不同的各状态的概率是不同的，粒子处于能量高的状态上的概率反而小-能量最小原理。 玻尔兹曼分布能为我们提供用来表示温度的另一表达式对于粒子只能取两个能级的系统：产生激光的系统，就处于粒子数反转（population inversion）的负温度状

5、态。讨论若若 有外力场时分子按能量的分布规律分子处于保守力场中时，分子能量既有动能又有势能 分子动能是分子速度的函数，分子势能一般是位置的函数，分子数按能量分布关系与速度有关，也和空间位置有关.其中n0 表示Ep=0处气体分子的数密度.（玻耳兹曼分子按能量分布定律）.重力场中微粒按高度分布根据麦克斯韦速度分布函数的归一化性质则玻耳兹曼分布可以写为：（粒子数密度按势能的分布）分子按势能的分布规律是玻耳兹曼分布律的另一常用形式.如果保守外力场为重力场，势能为 Ep=mgz （z为高度），则(重力场中粒子数密度按高度的分布)将其代入理想气体状态方程有* 四、旋转体中悬浮粒子径向分布 超速离心技术 现

6、以水平管中距旋转中心轴r到r+dr的一段气体作为研究对象。 力学方法： 热学方法：坐标系取在回转体上的惯性离心力设在r=0处的势能为Ep（0）=0，则在r=r处的势能根据玻耳兹曼分布2.7 能量均分定理 在之前已得到 ，本节将在此基础上，通过与实验测量值的比较，得到能量均分定理，并指出这一定理的局限性。一、理想气体的热容1. 热容（heat capacity） 热容：在存在温度差所发生的传热过程中，物体升高或降低单位温度所吸收或放出的热量。 若以Q表示物体在升高T 温度的某过程中吸收的热量，则物体在该过程中的热容C定义为 2. 理想气体热容与理想气体内能单原子理想气体只有热运动平动动能，没有势

7、能。分子的热运动平均平动动能由于在等体过程中不作功，所吸收热量就等于内能增加，即摩尔内能为单原子理想气体的定体摩尔热容 理想气体热运动无择优取向而 理想气体中，x、y、z三个方向的平均平动动能都均分 但是将这一规律用来解释双原子及多原子气体时，却与实验事实并不相符自由度数：确定一个分子的空间位置所需要的独立坐标数目。刚性分子：分子内原子之间的距离保持不变的分子。分子种类平动自由度 t转动自由度 r总自由度 itr单原子分子303刚性双原子分子325刚性三原子以上分子336二、自由度与自由度数自由度（degree of freedom）定义：描述一个物体在空间的位置所需的独立坐标称为该物体的自由

8、度。1. 分子的自由度不仅取决于其内部结构，还取决于温度。说明2. 实际上，双原子、多原子分子并不完全是刚性的，还有振动自由度（s）。但在常温下将其分子作为刚性处理，给出与实验大致相符的结果，因此可以不考虑分子 内部的振动，认为分子都是刚性的。 3. 非刚性双原子分子有一个沿两质心联线振动的振动自由度4. N个原子组成的多原子分子，其自由度数最多为3N个。一般来说，在这3N自由度中，有三个（整体）平动、三个（整体）转动及3N-6个振动自由度。每个平动自由度的平均平动动能为由于沿x,y,z三个方向运动的概率均等，有在温度为T 的平衡态下，物质(气体、液体和固体)分子的每一个自由度都具有相同的平均

9、动能，其值为这一结论称为能量按自由度均分定理。一个分子的平均平动动能为三、能量均分定理（Theorem of equi-partition of energy )(1) 能量按自由度均分是大量分子统计平均的结果，是分子 间的频繁碰撞而致。说明(3) 若某种气体分子具有t 个平动自由度和r 个转动自由度， s个振动自由度，则每个气体分子的平均总动能为每个气体分子的平均势能为 ，因此(2) 一般也适用液体和固体。一个气体分子的平均总能量为对于刚性分子（常温）气体的内能：包括气体中所有分子的热运动动能、分子内原子间振动势能、分子间相互作用势能的总和。四、理想气体的内能理想气体的内能：气体内所有分子的

10、动能和分子内原子间振动势能的总和。1mol理想气体的内能为 质量为m、摩尔质量为Mm的理想气体的内能为说明 一定质量的理想气体内能完全取决于分子运动的自由度数和气体的温度，而与气体的体积和压强无关。对于给定气体，i 是确定的，所以其内能就只与温度有关，这与宏观的实验观测结果是一致的。 焦耳定律单原子分子气体 双原子分子气体 多原子分子气体 理想气体的摩尔热容理想气体的定体摩尔热容为能量均分定理的局限所涉及的温度 范围内，气体的 都近似为常量（数） 与何有关单原子双原子多原子7/2R5/2R3/2RCvmT(K)10025010002500H2的Cv,mT说明1. 经典物理解释 自由度“冻结”

11、2. 量子物理解释 振动能量 常温时 转动平动振动7/2R5/2R3/2RCvmT(K)10025010002500求0时，2mol的H2和He理想气体分子的平均平动动能，平均总动能和气体的内能各是多少?例解理想气体分子的平均平动动能仅与温度有关，因而H2和He的平均平动动能为氦气为单原子分子，i =3，故氦分子的平均总动能为氦气的内能为氢气分子为双原子分子，i =5，氢气分子的平均总动能为因此氢气的内能为质量为0.1kg，温度为27的氮气，装在容积为0.01m3的容器中，容器以v =100ms-1速率作匀速直线运动，若容器突然停下来，定向运动的动能全部转化为分子热运动的内能.例平衡后氮气的温度和压强各增加多少？求当容器突然停下来，定向运动的动能转化为分子热运动的内能，使气体的温度升高，如果容器体积不变，气体的压强将会增大.解常温下，氮气可视为刚性双原子分子，则质量m的氮气的内能为当温度改变T 时，内能的增量为当系统定向运动的动能全部转化为分子热运动的内能时，有则系统温度的变化为容器停止后气体体积不变，由状态方程 可得到氮气压强的变化思考题: 容器作匀速直线运动时,气体的内能改变吗(为什么?)1已知为个质量为（组成的系统的速率分布函数，则速率小于的分子