光学教学课件：4-5 Fruanhofer 衍射

1、14-5. Fruanhofer 衍射 严格Fruanhofer 衍射：光源和观察屏离衍射物无穷远 用平行光照明衍射物，衍射物后面的透镜的后焦面上可得到Fruanhofer 衍射。2DSFraunhofer diffraction by single silt L1L2AEA：single silt 单缝E：screen 屏幕L1、L2lens 透镜a中央明纹3上图：矩形孔和圆孔的Fruanhofer 衍射花样 右图：圆孔的Fresnel衍射花样 44-5-1 单缝衍射(Diffraction by Single Slit) 图示：单缝Fruanhofer 衍射的光路 图示：不同宽度单缝的衍射

2、花样XY5123456789aDABCXI中央明纹1级明纹-1级明纹2级明纹-2级明纹焦平面PP点的光强是单缝处各面元上平行光的叠加 称为衍射角Principle 原理：61、单缝衍射的规律 狭缝内各点子波的倾斜因子 相同并且 1 (远场）考察 P 点的光场： 所有平行于狭缝的线上的点发出的子波到达 焦平面上时 的贡献相同。- Fresnel-Kirchhofer衍射积分狭缝内的波前发出的子波在 P 点的线性迭加；狭缝内各点到达P点的光程不同 各子波的位相不同7如何计算 AB 上各点到P 点的光程（差）？ 设 AB 中心O点到P点的光程的光程为 r0； 则 AB上 y 处的线元到 P 点的光程

3、可表示为： 因为 P 点在透镜的后焦面上，所以 AC 上的各点到P 点的光程相等； 8AB上 y 处的线元 dy 对 P点的振幅贡献为dEP: P点的总振幅： - A 为一个常数9其中 E0为常数， 分子上的复指数的值随 y 改变而快速变化，分母在积分区间可近似为常数 = r010单缝衍射的强度分布-A点、B点到达 P 点的位相差的一半112、单缝衍射的强度分布 狭缝边缘 AB 两点到 P 点的位相差的一半 -图示：不同宽度单缝的衍射花样 12IP的极值点： 时,i. 主极大； ii.时,极小； iii.时,0.047, 0.017, 0.008- 次极大 分子013图示：单缝衍射的强度分布

4、14缝越窄，主极大越宽主极大的区域： 级极小： 在观察屏（透镜后焦面）上，正负一级极小的位置坐标为: 主极大区域的宽度： 15图示：不同宽度单缝的衍射花样 16矩形孔的衍射花样： 矩形孔例、一束波长为 =5000的平行光垂直照射在一个单缝上。(2)如果所用的单缝的宽度a=0.5mm，缝后紧挨着的薄透镜焦距f=1m，求：(a)中央明条纹的角宽度；(b)中央亮纹的线宽度；(c) 第一级与第二级暗纹的距离；(a)(b)(c)夫 琅 禾 费 单 缝 衍 射（衍射角 ：向上为正，向下为负）衍射角为缝边缘两条光线在P 点的光程差半波带 所以两个“半波带”上发的光，在P点处干涉相消，就形成第一条暗纹。当光程

5、差 = b sin = 2 /2 时,如图所示，可将缝分成了两个“半波带”：两个“半波带”上相应的光线1与1在P点的相位差为， -衍射角.a12BA半波带半波带12/2半波带半波带1212两个“半波带”上相应的光线2与2在P点的相位差为， 当 = 2 时，可将缝分成四个“半波带”，它们发的光在 P 处两两相消，又形成暗纹当 再 ， =3/2时，可将缝分成三个“半波带”，b/ 2BAbBA/ 2 其中两个相邻的半波带发的光在 P 点处干涉相消，剩一个“半波带”发的光在 P 点处合成，P点 处即为中央亮纹旁边的那条亮纹的中心。菲涅耳半波带的数目决定于对应沿方向衍射的平行光狭缝，波阵面可分半波带数1

6、、N 由 a、 确定。2、N不一定是整数。缝长干涉相消暗纹亮纹剩一个“半波带”发的光在 P 点处合成（介于明暗之间）干涉相消(暗纹) 个半波带干涉加强(明纹) 个半波带中央明纹中心（ 个半波带）单缝衍射明暗条纹条件干涉相消（暗纹）干涉加强（明纹）讨 论实际能观察到的衍射条纹所对应的衍射角都较小,故有(1)条纹在接收屏上的位置暗纹中心明纹中心(2) 条纹宽度相邻两级暗纹间的距离Ix0 x1x2衍射屏透镜观测屏x0 f1中央明纹宽度x0 两个一级暗纹间的距离（ 的两暗纹间）由第一暗纹距中心的距离( f-焦距 )由此可见：中央明纹的宽度正比于波长，反比于缝宽a中央明条纹的半角宽(1级暗纹对应的衍射角

7、)中央明纹角宽度其他明纹宽度其它明纹均有同样的宽度;而中央明纹的宽度是其它明纹宽度的二倍Ix0 x1x2衍射屏透镜观测屏x0 f1衍射图样中各级条纹的相对光强如图所示. /a-( /a)2( /a)-2( /a)0.0470.017 1I / I0 0相对光强曲线0.0470.017sin中央极大值对应的明条纹称 中央明纹。中央极大值两侧的其他明条纹称 次极大。条纹亮度(光强分布)中央明纹最亮，其它明纹的光强随级次增大而迅速减小;明条纹的分界越来越不明显。原因? 中央明纹： asin = 0所有子波干涉加强；第一级明纹：k=1，三个半波带，只有一个干涉加强 (1/3)第二级明纹：k=2，五个半

8、波带，只有一个干涉加强 (1/5)缝宽变化对条纹的影响几何光学是波动光学在 /a 0时的极限情形 由条纹宽度看出缝越窄（ a 越小），条纹宽度越宽,条纹分散得越开，衍射现象越明显； 反之，条纹向中央靠拢。当缝宽比波长大很多( )时， ,各级明纹向中央靠拢，密集得无法分辨,形成单一的明条纹，这就是透镜所形成的单缝的几何光学像。显示了光的直线传播的性质。屏幕是一片亮I0sin在 /a 0时 回忆：在讲杨氏双缝干涉时,我们并不考虑每条缝的衍射影响;原因就是双缝干涉时,每条缝非常非常的细.可只考虑干涉，而不用考虑缝的衍射。 当缝极细（ ）时， sin 11，1 /2I 衍射中央亮纹的两端延伸到很远很远

9、的地方,屏上只接到中央亮纹的一小部分(较均匀),当然就看不到单缝衍射的条纹了。注：若a1,以上的理论分析不成立 单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？条纹散开了狭缝宽窄对衍射条纹的影响光通量减少，清晰度变差。波长对条纹宽度的影响 ，衍射效应越明显.越大:波长越长条纹宽度越宽衍射效应越明显干涉与衍射的本质 从本质上讲，干涉与衍射并无区别。都是光波相干叠加的表现。习惯上讲，干涉是指那些有限多的（分立的）光束的相干叠加，而衍射是指波阵面上（连续的）无穷多子波发出的光波的相干叠加。二者常出现于同一现象中。 例如，不是极细缝情况下的双缝干涉，就应该既考虑双缝的干涉，又考虑每个缝的衍射。单缝衍射的动态变化

10、根据透镜成像原理,单缝上移，零级明纹仍在透镜光轴上. 单缝上下移动: 衍射图样不变.？狭缝平移结论中央亮纹最亮，其宽度是 其他亮纹的两倍； 其他亮纹的宽度相同； 亮度逐级下降. (2) 缝 b 越小，条纹越宽。 (3) 波长 越大，条纹越宽。屏幕屏幕sin /b0-/b-2/b-3/b2/b3/b 单缝上下移动，根据透镜成像原理衍射图不变 .例、一束波长为 =5000的平行光垂直照射在一个单缝上。 a=0.5mm，f=1m (3) 如果在屏幕上离中央亮纹中心为x=3.5mm处的P点为一亮纹，试求(a)该P处亮纹的级数；(b)从P处看，对该光波而言，狭缝处的波阵面可分割成几个半波带？(b)当k=

11、3时，光程差狭缝处波阵面可分成7个半波带。 例 一单缝，宽为a=0.1 mm，缝后放有一焦距为50 cm的会聚透镜，用波长=546.1 nm的平行光垂直照射单缝，试求位于透镜焦平面处的屏幕上中央明纹的宽度和中央明纹两侧任意两相邻暗纹中心之间的距离如将单缝位置作上下小距离移动，屏上衍射条纹有何变化？解中央明纹宽度其它暗纹宽度移动，无变化 例1：如图，一雷达位于路边 15m 处，它的射束与公路成15度 角. 假如发射天线的输出口宽度 a=0.1m ，发射的微波波长是18mm ，则在它监视范围内的公路长度大约是多少？解 将雷达天线输出口看成是发出衍射波的单缝，衍射波能量主要集中在中央明纹范围内.根据暗纹条件例 设有一单色平面波斜射到宽度