材料力学复习(多学时)

1、第一章第一章 绪绪 论论第二章第二章 拉伸、压缩与剪切拉伸、压缩与剪切第三章第三章 扭扭 转转第四章第四章 弯曲内力弯曲内力第五章第五章 弯曲应力弯曲应力第六章第六章 弯曲变形弯曲变形第七章第七章 应力状态分析应力状态分析 强度理论强度理论第八章第八章 组合变形组合变形第九章第九章 压杆稳定压杆稳定第十章第十章 动应力动应力第十一章第十一章 交变应力交变应力第十三章第十三章 能量方法能量方法第十四章第十四章 超静定结构超静定结构附录附录I I 平面图形的几何性质平面图形的几何性质第一章第一章 绪绪 论论1-1 材料力学的任务材料力学的任务1-2 材料力学的基本假设材料力学的基本假设1-3 材料

2、力学的研究对象材料力学的研究对象1-4 杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式1-5 内力、截面法内力、截面法1-6 应力的概念应力的概念 研究研究构件构件在外力作用下变形和破坏的规在外力作用下变形和破坏的规律；在保证构件满足律；在保证构件满足强度、刚度、稳定性强度、刚度、稳定性的的要求下，以最经济的代价，为构件确定合理要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料；为设计构的形状和尺寸，选择适宜的材料；为设计构件提供必要的理论基础和计算方法。件提供必要的理论基础和计算方法。强度强度抵抗破坏的能力抵抗破坏的能力构件的承载能力：构件的承载能力：刚度刚度抵抗变形的抵抗变形的能力能

3、力稳定性稳定性保持原有平衡状态的能力保持原有平衡状态的能力 内力、截面法内力、截面法一、内力一、内力内力指由外力作用所引起的附加内力（分布力系）。内力质点与质点之间的相互作用力内力=固有内力+附加内力外力 （强度、刚度、稳定性） 附加内力 (1)在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件分为两部分。任取一部分作为研究对象，并弃去另部分。(2)其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力代替。二、二、 截面法截面法P1P4P1P2P4P3P2P3P1P4内力是分布力系，可以求出该分布力系向形心简化的主矢和主矩。平衡平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内

4、力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）。FRMO 应力的概念应力的概念 内力是分布力系。工程构件，大多数情形下，内力并非工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏破坏”或或“失效失效”往往从内力集度最大处开始。往往从内力集度最大处开始。 应力应力一点处一点处内力集（中程）度。内力集（中程）度。1. 应力的概念：应力的概念：（1）平均应力：）平均应力：（2）全应力（总应力）：）全应力（总应力）：APpm2. 应力的表示：应力的表示： AC PAPAPAddlim0pp称为C点的应力。p是一个矢量。Cp（3）全应

5、力的分解：）全应力的分解：正应力垂直于截面；正应力垂直于截面；切应力位于截面内。切应力位于截面内。 p C 正应力（正应力（Normal Stress）和切应力和切应力( (Shearing Stress) )（4）应力的单位：）应力的单位：1Pa=1N/m21MPa=1106N/m21GPa=1109N/m210kg/cm2=1MPa21 轴向拉伸与压缩的概念和实例轴向拉伸与压缩的概念和实例2-4 2-4 材料材料拉伸拉伸时的力学性能时的力学性能2-9 2-9 轴向拉伸或压缩的应变能轴向拉伸或压缩的应变能2-10 2-10 拉伸、压缩超静定问题拉伸、压缩超静定问题2-11 2-11 温度应力

6、和装配应力温度应力和装配应力第二章第二章 拉伸、压缩与剪切拉伸、压缩与剪切2-12 2-12 应力集中的概念应力集中的概念2-7 2-7 失效、安全因数和强度计算失效、安全因数和强度计算2 22 2 轴向拉伸或压缩时轴向拉伸或压缩时横截面横截面上的内力和应力上的内力和应力2 23 3 轴向拉伸或压缩时轴向拉伸或压缩时斜截面斜截面上的应力上的应力2-8 2-8 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形2-5 2-5 材料材料压缩压缩时的力学性能时的力学性能2-13 2-13 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算轴力及轴力图轴力及轴力图FFFNFmm取左段：取右段：, 0 xF, 0NFF

7、FF N, 0 xFFN轴力轴力FF N, 0NFFFNFmmmmN(kN)x6kN10kN4kN8kN+644要求：要求：上下对齐，标出大小，标出正负上下对齐，标出大小，标出正负横截横截面及斜截面上的应力面及斜截面上的应力拉（压）杆横截面上的应力拉（压）杆横截面上的应力（2-1）FFmmFFNAFN -曲线曲线1 1、弹性阶段、弹性阶段 2 2、屈服阶段、屈服阶段 3 3、强化阶段、强化阶段 4 4、局部变形阶段、局部变形阶段 低碳钢在拉伸时的力学性能低碳钢在拉伸时的力学性能1234b 曲线曲线e P s E由拉伸胡克定律拉（压）杆的强度条件拉（压）杆的强度条件 nu许用应力；拉（压）杆的强

8、度条件拉（压）杆的强度条件 u极限应力： s ， 0.2 ， bn安全系数1AFNmaxmax ab拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形lPPl1a1b1横向变形：横向变形：胡克定律胡克定律泊松比，材料的常数泊松比，材料的常数EA 称为杆的抗拉压刚度。称为杆的抗拉压刚度。EAlFlNABCl1l2P121l2lBuBvB例例 已知结构在P力作用下，设1杆伸长l1，2杆缩短l2。写出图中B点位移与两杆变形间的关系。1、超静定问题、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力 （外力、内力、应力）的问题。一、超静定问题及其解法一、超静定问题及其解法3、超静定的解法、超静定的解法：由平衡方程、变形协调

9、方程和物理 方程相结合，进行求解。拉拉( (压压) )杆的超静定问题杆的超静定问题2 2、静不定次数、静不定次数静不定次数= =未知力个数-静力学平衡方程数 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、 L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。求各杆的内力。CFABD123解:(1)平衡方程:FAFN1FN3FN2(1)(2) 例例9 , 0 xF , 0yF0sinsin2N1NFF0coscos3N2N1NFFFF11111AELFLN3333N3AELFL(2)几何方程变形协调方程：(3)物理方程弹性定律：(4)补充方程:(

10、4)代入(3)得:(5)由平衡方程(1)、(2)和补充方程(5)组成的方程组，得:cos31LLcos33331111AELFAELFNN333113333331121121cos2 ; cos2cosAEAEFAEFAEAEFAEFFNNN(3)(4)(5)CABD123A11L2L3L2、静不定问题存在装配应力静不定问题存在装配应力。1、静定问题无装配应力。、静定问题无装配应力。二、装配应力二、装配应力ABC21A123 L各杆E、A 相同，3杆的加工误差为，求各杆的应力。解： FN1FN2FN3（1）平衡方程: 例例12120sinsin, 021NNxFFF0coscos, 0321N

11、NNyFFFF（2 2）几何方程）几何方程13cos)(LLAA13L2L1L（3）物理方程, 11111AELFLN33333AELFLN得补充方程:cos)(33331111AELFAELFNN )cos21 (cos3221LEAFFNN ) cos21 (cos2333LEAFN解得:, 121AFNAFN33, )cos21 (cos32LE )L cos21 (cos2333E211 1、静定问题无温度应力。、静定问题无温度应力。2 2、静不定问题存在温度应力。、静不定问题存在温度应力。三三 、温度应力、温度应力CAB12 例例 各杆E、A相同，线膨胀系数为， 3杆温度升高T，求各

12、杆的应力。A123lA N1N3N20sinsin, 021NNX0coscos, 0321NNNY解(1)平衡方程:(2)几何方程cos31ll EAlNl111(3)物理方程：123lEAlNTll333llll31 , cos(4)补充方程cos)(cos31EAlNTlEAlNl1l2l331 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 32 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图33 纯剪切纯剪切34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力35 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形37 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念第三章第三章 扭扭 转转 扭转时的内力扭转时的内力扭矩扭矩mm

13、Tmx构件受扭时，横截面上的内力为力偶构件受扭时，横截面上的内力为力偶，称为扭矩，记作称为扭矩，记作“T”。扭矩的正负规定：扭矩的正负规定： 以右手螺旋法则，沿截面外法线方向为正，反之为负。以右手螺旋法则，沿截面外法线方向为正，反之为负。扭矩图扭矩图xT4.789.566.37（kNm）nA B C Dm2 m3 m1 m4112233剪切胡克定律：剪切胡克定律： 切应变(无量纲量) m m 剪切胡克定律：剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限当切应力不超过材料的剪切比例极限时（时（ )，切应力与切应变成正比关系。，切应力与切应变成正比关系。 p当当 时时pG 剪切胡克定律剪切胡克定律

14、 扭转切应力一般公式：扭转切应力一般公式：（实心截面）（空心截面）pIT最大切应力：最大切应力：tWTmaxWt 称为抗扭截面系数，几何量，单位：mm3 或 m3。2 dIWptmax（1）实心圆截面：Cdxy324dIp极惯性矩和抗扭截面系数的计算：极惯性矩和抗扭截面系数的计算：(2)空心圆截面：)(DdDxyCd)1(3244DIp163dWt)1 (1643DWt实心圆截面：空心圆截面：抗扭截面系数抗扭截面系数Wt一、扭转时的变形公式一、扭转时的变形公式圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形m m dxlGIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度截面的抗扭刚度。 pIGlT（rad

15、）当轴上作用有多个力偶时，进行分段计算，代数相加： piiiIGlT即：刚度条件刚度条件 /m)( 180 maxpGIT(rad/m) pGITl /m)( 180 pGIT 或：刚度条件：刚度条件：单位长度扭转角单位长度扭转角 ： 称为许可单位长度扭转角，取0.150.30/m。 41 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例42 受弯杆件的简化受弯杆件的简化43 剪力和弯矩剪力和弯矩44 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图45 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系46 平面曲杆的内力图平面曲杆的内力图第四章第四章 弯曲内力弯曲内力弯曲内力ABP

16、RBmmxRAy求内力截面法剪力FS弯矩MACRAyFSMRBPMFSC内力的正负规定内力的正负规定: :（1）剪力剪力FS: :外法线顺转外法线顺转90900 0为正为正FSFS弯矩弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。MM(+)左顺右逆为正左顺右逆为正可以装水为正可以装水为正MMMM(+)2212qaaRMAD剪力剪力=截面左侧所有外力在截面左侧所有外力在y轴上投影代数之和，向上为正。轴上投影代数之和，向上为正。弯矩弯矩=截面左侧所有外力对该截面之矩的代数和，顺时针为正。截面左侧所有外力对该截面之矩的代数和，顺时针为正。AqBDaCa

17、aRARBqaRFAS内力图特征：在集中力作用的地方，在集中力作用的地方，剪力图有突变，剪力图有突变，P力向下力向下FS 图向下变，变化值图向下变，变化值= =P 值值; ;弯矩图有折角。弯矩图有折角。ABClabxP+PlbPlaMx+lPabRARBFS内力图特征：在集中力偶作用的地方，在集中力偶作用的地方，剪力图无突变；弯矩图有突剪力图无突变；弯矩图有突变，变，m逆时针转，逆时针转，M图向下图向下变，变化值变，变化值= =m值。值。mla+mlbMxxlm+FSBClabAmx1x2RARB内力图特征：在均布力作用的梁在均布力作用的梁段上，剪力图为斜直线；段上，剪力图为斜直线；弯矩图为二

18、次抛物线，弯矩图为二次抛物线，均布力向下作用，抛物均布力向下作用，抛物线开口向下。线开口向下。抛物线的极值在剪抛物线的极值在剪力为零的截面上。力为零的截面上。Mxx2qaFS+2qaABaxRARBq82qa+2a)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxM xqxxFddS1、若q=0，则FS=常数，M是斜直线；2、若q=常数，则FS是斜直线，M为二次抛物线；3、M的极值发生在FS=0的截面上。将微分关系转为积分关系：的面积区间上SFabMMab的面积区间上qabFFabSSbaabxxqFF)d(SSbaabxxFMM)d(S剪力、弯矩与外力间的关系剪力、弯矩与外力间的关系外力外力无

19、外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0FSFS0 x斜直线增函数xFSxFS降函数xFSCFS1FS2FS1FS2=F向下突变xFSC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xMxM有折角向上突变 MxM1M2mMM12xM简易作图法简易作图法: : 利用内力和外力的关系及特殊点特殊点的内力值来作 图的方法。 例例44 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解: 特殊点特殊点: :端点、分区点（外力变化点）和驻点等。aaqaqACB用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解：求支反力2 ; 2 qaFqaFDAqMe=qa2F=qaFSx+ABCDxM+FAFDaaa 例例99 qaqaFC2S2

20、 qa2 2qaMB22212 20aqaqaM83 2qa2 2qaMC832qa22qa22qa22qa2qa2qa2qa例例10 P=3kNq=10kN/mB1.2m0.6mm=3.6kNmCRARBDA0.6mkN5kN10BARRFS(kN)x3M(kNm)x2.45+M0= x0=0.7m7+070 xq27 . 072 . 10M7I1 静矩和形心静矩和形心I2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径I3 惯性积惯性积I4 平行移轴公式平行移轴公式I5 转轴公式转轴公式 主惯性轴主惯性轴附录附录I 平面平面图形图形的几何性质的几何性质形心：形心：yASxAAxxAd

21、ASyASxxyxyCAAyyAdxASydAyx静矩（面积矩）静矩（面积矩）（1）简单图形的形心和静矩：yASxASxy（2）组合图形的静矩和形心：ASxyASyxyxCyxyxCyxiiyiixxASyASyx123AxAiiAyAii惯性矩：惯性矩： AxAyId2dAxyyx惯性积：惯性积：定义：AxyAxyIdIx、Iy称为截面对x轴、y轴的惯性矩（量纲：长度4）Ixy称为截面对x、y轴的惯性积。AyAxId2例I-3矩形截面对于其对称轴（形心轴）的惯性矩。yxChb123bhIx123hbIy圆截面对于其对称轴（形心轴）的惯性矩。Cdxy例I-4644dIx空心圆截面对于其对称轴（

22、形心轴）的惯性矩。例例DxyCd)1(6444DIx)(DdCyCxC惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式xaybAaIIcxx2注意: C点必须为形心AbIIcyy2abAIIcycxxy惯性矩的转轴公式惯性矩的转轴公式dAxy yxx1y1x1y1x2sin2cos22 1xyyxyxxIIIIII主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩xyx1y1x1yxxyIII22tg00 x0y022minmax)2(2 xyyxyxIIIIIII xy0 x0y0 与 0 对应的旋转轴x0 、y0 称为主惯性轴；平面图形对主惯性轴的惯性矩 称为主惯性矩。00 yxII、 主轴过形

23、心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩。ccccyxyxIII22tg0截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩yC0 xC0yC0 xCC如果截面有对称轴，则对称轴就是形心主惯性轴。如果截面有对称轴，则对称轴就是形心主惯性轴。ycxcc截面有对称轴截面有对称轴xc和和yc轴是形心主惯性轴轴是形心主惯性轴yzxxx0 x1x1y0y0z0 x0y1C1z0z1yzazy66241222例例计算图示图形对其形心轴x轴和y轴的惯性矩。Cxy15104020单位：cm解：yx112AyAyii212211AAyAyA1540201020154045

24、2010cm)(25.26ixxII21xxII12102031xI)cm(102 . 744a2)25.2645(1020Cxy15104020单位：cmyx11212401532xI)cm(103 .104421xxxIII)cm(105 .1710)3 .102 . 7(444a2)2025.26(4015Cxy15104020单位：cmyx112iyyII21yyII12201031yI)cm(1067. 044)cm(108 . 110)13. 167. 0(44421yyyIII12154032yI)cm(1013. 14451 纯弯曲纯弯曲52 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力5

25、3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力54 弯曲弯曲剪应力剪应力56 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施第五章第五章 弯曲应力弯曲应力最大正应力：最大正应力：maxyIWzZzWMmax称为抗弯截面系数zIyM （5-2）Mmax6 2bhWzbhzy矩形：抗弯截面系数：抗弯截面系数：32 3dWz)1 (32 43DWzdDdDd空心圆：空心圆：实心圆实心圆： max zWMmaxmaxmax梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件tcMk101010180285Cycyzz1ttcczcktIyMzckcIyM)285( 矩形截面矩形截面梁梁 弯曲弯曲剪应力剪应力b2h2hyzyFSbIS

26、FzzS* max平均5 . 1maxmaxminB2H2H2h2hbyyFSbISFzzS* 对工字形型钢，剪应力由下式计算：dSIFZzS)(max为腹板厚度。由查表得到，式中：dSIZzzyd剪应力强度条件剪应力强度条件剪应力强度条件：剪应力强度条件：bISFzzS*maxmaxmaxM max max刘题刘题5.12图示铸铁梁， t=40MPa， c =160MPa，IZC=10180 cm4，h1=9.64cm，试计算该梁的许可载荷F。F1400600ABC2F1505025050h1h2ZC0.6FM+0.8FC截面：zCAIhM1maxtA截面：4 .96108 . 010101

27、804064)kN(8 .52解：解：tczCIFh18 .01t8 . 0 hIFzczCAIhM2maxczCIFh28 .06 .153108 . 0101018016064)kN(6 .1322c8 . 0 hIFzczCCIhM2maxttzCIFh26 .06 .153106 . 010101804064)kN(2 .442t6 . 0 hIFzcF44.2kN例例P1=32kN1m1m0.5mABCDP1=16kNzyCy1y t=50MPa， c =200MPa，校核梁的弯曲正应力强度。+12kNm8kNmM)mm(3 .53y)mm(109 . 247zI)mm(7 .146

28、2y解：P1=32kN1m1m0.5mABCDP1=16kN)mm(3 .53y)mm(109 . 247zI)mm(7 .1462yzCtIyMmaxC截面：zCcIyM1max76109 . 23 .53101276109 . 27 .1461012)MPa(22)MPa(7 .60zyCy1y+12kNm8kNmMtcP1=32kN1m1m0.5mABCDP1=16kN)mm(3 .53y)mm(109 . 247zI)mm(7 .1462y+12kNm8kNmMzBtIyM1maxB截面：zBcIyMmax76109 . 27 . 23 .53108)MPa(

29、5 .40)MPa(7 .14zyCy1ytc（可以不计算）)mm(3 .53y)mm(109 . 247zI)mm(7 .1462yzBtIyM1maxB截面：76109 . 27 .146108)MPa(5 .40zCtIyMmaxC截面：zCcIyM1max76109 . 23 .53101276109 . 27 .1461012)MPa(22)MPa(7 .60解：解：tct61 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题62 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程63 用积分法求用积分法求弯曲变形弯曲变形64 用叠加用叠加法求法求弯曲变形弯曲变形65 简单超静定简单超静定梁梁66 提高弯曲刚

30、度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形1.1.挠度挠度v ：横截面形心在垂直于x轴方向的线位移。2.2.转角转角 ：横截面绕其中性轴转动的角度。反时针转动为正。二、挠曲线：变形后，轴线由直线变为光滑曲线，该曲线称为挠二、挠曲线：变形后，轴线由直线变为光滑曲线，该曲线称为挠 曲线。其方程为：曲线。其方程为：v =f (x)三、转角与挠曲线的关系：三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量一、度量梁变形的两个基本位移量 tan条件：小变形条件：小变形P xyvCC1 与 y 同向为正，反之为负。 )(xf 用积分法求用积分法求弯曲变形弯曲变形)(xMwEI

31、对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：xxMwEId)(EIw积分常数C、D由边界条件确定。CCxD xxxMd)d)(按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角叠加原理叠加原理: :多个载荷多个载荷同时作用于结构而引起同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的独作用于结构而引起的变形的代数和。变形的代数和。叠加原理的使用条件：叠加原理的使用条件：小变形、材料在线弹性范小变形、材料在线弹性范围内工作。围内工作。P=BAqPACB+ABq 用逐段刚化法逐段刚化法求B点挠度。例例4=+

32、PlaABCBCPaw1等价等价21wwwBPlaABC刚化刚化AC段段w1PlaABC刚化刚化BC 段段w2PACM=Paw2C例例4wBEIPaw3 31BCPaw1PACM=Paw2CawC2aEIMl3EIPla3221wwwBEIPa33EIPla32aEIlPa3)()(PlaABC解：解题步骤：(4)比较原系统和相当系统的变形，解出多余约束反力。RBAqlB用比较变形法比较变形法解超静定梁（1）去掉多余约束得到静定基。qAB（2）加上原载荷。（3）加上多余约束反力，得到相当系统。（5）在相当系统上求其他量。已知：q、EI、l试画出梁的弯矩图0Bw=比较变形法EIlRwBBR330

33、3 834EIlREIqlBqlRB83qABqw+RBABBRwEIqlwBq8 4RBqlAB方向假设正确，向上解：BRBqBwww0变形协调方程：第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析 强度理论强度理论71 应力状态概述应力状态概述72 二向和三向二向和三向应力状态的实例应力状态的实例73 二向二向应力状态分析应力状态分析解析法解析法74 二向二向应力状态分析应力状态分析图解法图解法75 三向三向应力状态分析应力状态分析78 广义胡克定律广义胡克定律79 复杂应力状态的应变能密度复杂应力状态的应变能密度710 强度理论概述强度理论概述711 四种常用四种常用 强度理论强度理论2sin

34、2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx(1)正应力拉为正；2剪应力绕研究对象顺时针转为正；3逆时针为正。正负号规定：yx y x nxy x y yx yx xy x y xyn斜截面上的应力公式：斜截面上的应力公式：最大正应力和最小正应力：最大正应力和最小正应力：yxxy22tg0)2(00 min max max min0剪应力箭头箭头所在象限就是最大正应力所在象限。22minmax22xyyxyx）（主应力就是最大或最小的正应力。主平面和主应力主平面和主应力 min max 1max 2min0 1 2 建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）应力圆的画法应力圆的画法在

35、坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx) AB与 轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆； x xy yO CA( x , xy)B( y , yx)123一点的最大剪应力为： max231max 2 1 3 1 2 3一点的最大正应力为：1max斜面上的应力在三向应力圆的阴影内三向应力圆是一点处所有各个不同方位截面上应力的集合。DxzyyE1yxzzE1GxyxyGyzyzGzxzxzyxxE1 xyz z y xy x上式称为广义胡克定律上式称为广义胡克定律主应力主应力 - - 主应变关系主应变关系 1 3 213221E12331E32111E图示28a工字钢梁，查

36、表知，IZ/SZ=24.62cm,腹板厚d=8.5mm，材料的E=200GPa， =0.3，在梁中性层处粘贴应变片，测得与轴线成45方向的线应变为=2.6104，求载荷P的大小。例例14zyPAB2m1m45 dISFzzS*32PFS311= 3= dSIFzzS*解： 1331EE1E)1 ( 43106 . 2 由）（解得MPa40)1 ( 3E 31= 13= dSIFzzS*dSIPzz*32dSIPzz*23)kN(6 .125相当应力：相当应力：11r3212r213232221421r313r r强度条件：强度条件： 2 1 3强度理论强度理论2234r2243r典型二向应力状

37、态的43rr和如图所示为承受内压的薄壁容器，材料如图所示为承受内压的薄壁容器，材料Q235Q235钢，钢， =160MPa。容器所承受的内压力为。容器所承受的内压力为 p=3MPa，容器内径，容器内径D=1m，壁厚，壁厚 =10mm。校核其强度。校核其强度。 例例7-117-11p42pD112221pD03MPa150MPa75313r1MPa150213232221421rMPa130分析受扭构件的应力状态。解:(1)单元体如图所示(2)主应力0yxtxyWT2xyxy xy yx例例6 xyA yx321 0 ，mCAm22minmax22xyyxyx）（(2)主平面所在方位xy xy

38、yx450450 1 1 3 3=170MPa，=100MPa，试全面校核梁的强度。 例例4aacccbbz202080024010500kNAB1m6m500kN1m40kNCDm)745(kN m)640(kN m)640(kN +660kN660kN620kN620kN120kN120kNz202080024010安全。aa1、弯曲正应力强度12800230 12840240 33ZI)mm(1004. 2 49zIyMmaxmaxmax)MPa(2 .153961004. 242010745 2、弯曲剪应力强度)MPa(5 .89bISFzzS*max101004. 220040010

39、410202401066093b 安全。bbccc)MPa(7 .162z202080024010c2243ccrzcCcIyM)MPa(5 .125961004. 240010640 )MPa(8 .59bISFzzcSc*101004. 24102024010620932、腹板与翼板交界处强度 （在C、D截面）228 .5935 .125安全。81 概述概述82 双对称轴梁非对称弯曲双对称轴梁非对称弯曲83 拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲的组合与弯曲的组合8-4 8-4 偏心拉（压）偏心拉（压） 截面核心截面核心8-5 8-5 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合分解：将外载沿横截面的两个

40、形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。双对称轴梁非对称弯曲双对称轴梁非对称弯曲sinPPycosPPzzyPyzlxPPyPzzzyyIyMIzM 合应力：合应力：最大正应力在D和D点maxmaxmax zzyyWMWMmax强度条件：强度条件： maxzzyyWMWMxyzDDmaxtmaxc危险截面在固定端：拉拉( (压压) )弯组合变形：弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生的杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生的变形。变形。拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲的组合与弯曲的组合yzLxP2P1yzxxMzNNNNMmaxAPWMzzMzMmax强度条件：强度条件：max A

41、PWMzz弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合mPlWTMr223WTMr22475. 0TMPlm+例例 钢质拐轴， F=1kN， l1=150mm， l2=140mm， =160MPa，F=50kN，试按第三强度理论确定轴AB的直径。l1l2ACBFl1l2ACBFFl2危险截面在固定端危险截面在固定端MTWTMr223)mkN(14. 02FlT)mkN(15. 01FlM32232TMdl1l2ACBFFl2解：危险截面在固定端解：危险截面在固定端33221601014015032)mm(5 .2332232dTM图示空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，轮子直径D1=400mm，

42、P1=1.2kN，P1=2P2，=120MPa，试用第三强度理论校核此轴的强度。 例例8 20PzyxP1150200100ABCDP2D1D120PzyxP1150200100ABCDP2D1D121PPFFMxzxyPyPzMx)kN(8 .1)(6 .0kNyP)(218.0kNzP)mN(120 xM内力分析：120(Nm)T150200100ABCDFMxzxyPyPzMx60128.5Mz(Nm)9.321.8My(Nm)弯扭组合变形危险面内力为：m)N(8 .1285 .1283 . 922BMm)N(8 .63608 .2122CMB截面是危险面。WTMBr223)mm3(15

43、64)(1 3243DdDW1564101208 .128322)( 5 .112MPa 安 全例例Fy=3.83kN，Fz=1.393kN， Fy=1.473kN，Fz=0.536kN， Mx=96Nm，AB轴直径d=22mm， =180MPa，试用第三强度理论校核此轴的强度。FyMxzxyFzFyMxFzABCD505050FyMxzxyFzFyMxFz96(Nm)TMz152113(Nm)538(Nm)Mym)N(1573815222CMWTMCr22310451096157322)MPa(176 安 全ABCDFyxyFyMz152113(Nm)ABCDFyMxzxyFzFyMxFz5

44、38(Nm)MyABFzxzFzABCDFyMxzxyFzFyMxFz91 压杆稳定的概念压杆稳定的概念92 两端铰支两端铰支 细长压杆的临界压力细长压杆的临界压力93 其他支座条件下其他支座条件下细长压杆的临界压力细长压杆的临界压力9-4 9-4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式 9-5 9-5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核9-6 9-6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施长度系数（或约束系数）。 l 相当长度22)(lEIFcr细长压杆临界压力细长压杆临界压力欧拉公式欧拉公式两端铰支一端固定一端铰支两端固定一端固定一端自由 =1 = 0.7 =0.5 =2 临界

45、应力临界应力)(惯性半径 AIi il22Ecr）杆的柔度（或长细比 欧拉公式欧拉公式压杆的临界应力总图压杆的临界应力总图iL cr 22 Ecr 临界应力总图 bacrP S 122basbas2 scrbas222Ecr1，大柔度杆 2 1，中柔度杆bacr 2，粗短杆PE21 il AIi AFcrcr, , 1 , 的函数是折减系数压杆的稳定校核压杆的稳定校核轴向压缩强度条件：稳定条件：2.折减系数法:FFncr1.安全系数法:工作安全系数nst 规定的安全系数稳定条件：对于钢结构、木结构和混凝土结构，由设计规范确定，可以查表或查计算公式而得到。AF AF nstn图示立柱，l=6m，

46、由两根10号槽钢组成，下端固定，上端为球铰支座，材料为Q235钢，E=200GPa， P=200MPa，试问 （1）a取多少时立柱的临界压力最大；（2）若 nst=3,则许可压力值为多少？) cm52. 1 ,cm74.12021zA41cm6 .3963 .19822zzII)2/( 22011azAIIyy)2/52. 1 (74.126 .2522a解：两根槽钢图示组合之后，Pl 例例5 y1C1z0z14141cm6 .25 ,cm3 .198 (yzII时合理；得当zyII cm32. 4ayzail PE21求临界压力：1AFcrcr(kN)8 .443大柔度杆，由欧拉公式求临界力

47、。AIlz 74.1226 .3966007 . 05 .106AE2212742)5 .106(10200232(N)108 .44333 .992001020032stcrnFF稳定条件：stcrnFF)kN(14838 .443许可压力P148kN22)( lEIFcr(kN)8 .443或：23432)1067 . 0(106 .39610200(N)108 .4433131 概述概述132 杆件应变杆件应变能的计算能的计算133 应变应变能的普遍表达式能的普遍表达式134 互等定理互等定理137 单位载荷法单位载荷法 莫尔积分莫尔积分138 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法第

48、十三章第十三章 能量方法能量方法莫尔定理的普遍形式莫尔定理的普遍形式LPNNxGIxTxTEAlFFd)()( xEIxMxMLd)()(已知：各杆EI 相等，用能量法求C点的水平位移。例6AalCBqP=qaxEIxMxMLd)()(ACB1LPNNxGIxTxTEAlFFd)()( 例4已知：各杆EI 相等，用能量法求C点的水平位移。AalCBqP=qaACB1x1x22)(211qxxM2222)(qaxqaxM0)(1xM22)(xxM解：x1x22)(211qxxM2222)(qaxqaxM0)(1xM22)(xxM d)()(0111aCxEIxMxMf水平 )d)(2(1002222lxxqaxqaEI 3432lalEIqa( ) d)()(0222lxEIxMxM计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法IEMC )(xM)(xMCMC例9求C点的位移和