【医用物理学课件】振动和波

1、181 振动振动82 振动的合成和分解振动的合成和分解83 简谐波简谐波84 波的干涉波的干涉2 振动依机理不同区分为机械振动、电磁振动，但描述和振动依机理不同区分为机械振动、电磁振动，但描述和研究方法相同。本章通过讨论机械振动认识其共性。研究方法相同。本章通过讨论机械振动认识其共性。 广义而言：指任一物理量广义而言：指任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一数值在某一数值 附近反复变化。附近反复变化。 振动类型振动类型狭狭义的振动：义的振动：指物体在其平衡位置附近的往复运动。指物体在其平衡位置附近的往复运动。受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼振动阻尼振动振动是一种重要的运动

2、形式。振动是一种重要的运动形式。本章重点：本章重点：振动方程和波动方程振动方程和波动方程1.简谐振动简谐振动是某些实际振动的近似是某些实际振动的近似2.简谐振动简谐振动可用来研究复杂振动可用来研究复杂振动3一、一、简谐振动简谐振动方程方程2220d ssdtFks kasm2km令：222d ssdt cos()sAt微分形式微分形式余弦形式余弦形式物理量物理量sin()dsvAtdt 222cos()d saAtdt 方程的解方程的解标准方程标准方程FmaOA+Ams以弹簧振子为例以弹簧振子为例2as 则 ：42km因为，所以有/k mcos()cos ()cos()AtAtTAtT2T2T

3、，即 特征量特征量结合结合 来说明简谐振动各特征量的物理意义来说明简谐振动各特征量的物理意义cos()sAt 1. 振幅：振幅：A 2. 周期、频率、角频率周期、频率、角频率 T f 3. 相位、初相位、相位差相位、初相位、相位差 t22112121()()()()ttt由余弦函数的周期为由余弦函数的周期为2得得12T2ff ，而T2m/k1/2fk m50scosA0sinvA cos()sAt 如果振动系统的如果振动系统的k k 和和m m 以及初始条件即以及初始条件即t t0 0时振子的坐时振子的坐标标s0s0和速度和速度v0v0，就可以完全确定这一简谐振动。，就可以完全确定这一简谐振动

4、。22002svA00arctan()vs将初始条件将初始条件t t0)0)代入方程代入方程: :联立求解可得联立求解可得: :sin()dsvAtdt 即即二、二、简谐振动简谐振动方程的建立方程的建立6简谐振动的描述方法简谐振动的描述方法cos()sAt解析解析式式曲线法曲线法 st旋转矢量法旋转矢量法复数法复数法i()iettsAAe iAA e复振幅复振幅7解析式解析式cos( )sAtdcos( )d2sAttv222dcos( )dsaAtt振动曲线振动曲线sot 0- = /2 A-A = 0omx0 = AxA(伸长量伸长量)om0 x0 AxAoms0 = 0sAst曲线曲线8

5、cos()sAtNOBAPt=tt=0P0t+s sC 简谐振动的矢量表简谐振动的矢量表示法示法4.4.在在x x轴上的投影轴上的投影三、简谐振动的矢量图示法三、简谐振动的矢量图示法1.1.取取osos轴；轴；2.2.自自o o作矢量作矢量3.3.以以沿逆时针方向旋转矢量，沿逆时针方向旋转矢量，A长度振幅( ,夹角初相t t时刻：时刻：tN点的速度点的速度sin()vAt 初始条件初始条件所在象限所在象限初相位初相位0000ssss，v0，v0，v0第一第一象限象限第二象限第二象限第三象限第三象限第四象限第四象限(0 )2()2()2()2， ，0讨论：讨论：9abcdeabcsstde 旋转

6、矢量图及简谐振动旋转矢量图及简谐振动s-t图图轴上：轴上：1sAA2（ ），v=0，a=-20sA（ ），v=-，a=0sAA 2（3），v=0，a=0sA（4），v=，a=010例题例题. . 质点作谐振动，初位置在质点作谐振动，初位置在(-A/2)(-A/2)处正朝处正朝- -s方向运动，方向运动，振动周期振动周期2s，求：初相和回到平衡位置的最短时间？求：初相和回到平衡位置的最短时间？解：解：用旋转矢量法用旋转矢量法？2/A定出初相定出初相23回到平衡位置，振幅回到平衡位置，振幅矢量至少再转过矢量至少再转过65 所以需时：所以需时：s6522652 Tt矢量图示法用于计算，其特点是：直观

7、、简便。矢量图示法用于计算，其特点是：直观、简便。o o11212PEkssin()vAt 2221122kPEEEmAkA简谐振动总的能量是不变的，并且与振幅和频率的平方成正比。简谐振动总的能量是不变的，并且与振幅和频率的平方成正比。cos()sAt221cos ()2kAt22221cos ()2kmAtm212kEmv2221sin ()2mAt12sin()vAt cos()sAt在在t=0时刻，位移时刻，位移 0.1m，速度，速度 =2ms-1。求：。求：1位移位移表达式；表达式；2加速度表达式；加速度表达式；3振动的总能量。振动的总能量。解解: :0.1cosA4A =0.141m

8、， 0.141cos(20)4st2cos()558cos(20)4aAtt 2213.94(J)2EmA代数据得代数据得2210sinA f质量为质量为0.1kg的质点作简谐振动，频率的质点作简谐振动，频率 10Hz，0s0v(2)f131.1.阻尼振动阻尼振动：振幅随时间减小的振动。：振幅随时间减小的振动。ts0 阻尼振动阻尼振动2.受迫振动：受迫振动：振动系统在周期性外振动系统在周期性外力持续下发生的振动。力持续下发生的振动。3.3.共振：共振：在受迫振动中，当周期性在受迫振动中，当周期性的外力的频率接近系统固有的频率的外力的频率接近系统固有的频率时，振动的振幅急剧加大。时，振动的振幅急

9、剧加大。14cos(5/6)vt得0.2sin(5/6)xt沿着沿着x轴振动。求：轴振动。求：1t=0时，作用于质点的力的大小；时，作用于质点的力的大小；2作用于质点的力的最大值和此时的质点的位置。作用于质点的力的最大值和此时的质点的位置。解解: :1 5sin2.56FmaNN x0.2m此时 ，即质点在位移最大处受到的力最大。0.2sin(5/6)()xtSI 质量为质量为1kg的质点，按方程的质点，按方程由振动方程由振动方程5sin(5/6)at 1t=0时，时，sin(5)16t 2当当 时，时，a最大最大maxmax5FmaN15121122cos()cos()sssAtAtcos(

10、)At221212212cos()AAAA A11221122sinsinarctancoscosAAAA同方向同频率的两简谐振动的合成仍是简谐振动，且频率不变。同方向同频率的两简谐振动的合成仍是简谐振动，且频率不变。一、同方向、同频率简谐振动的合成一、同方向、同频率简谐振动的合成12s2s1s12sssOA1A2AtAAtAA sin)sinsin( cos)coscos(22112211cosAsinAcoscossinsin AtAt2A16tsOA1A2A（a） =2k22221212122AAAA AAA212(0,1,2)kk 当相位差当相位差振动加强，同步振动加强，同步即分振动同

11、相时，合振幅即分振动同相时，合振幅讨论：讨论：当相位差为其它值时，当相位差为其它值时，A2A1AOst（b） =(2k+1)当相位差当相位差2121(0,1,2)kk （）22221212122AAAA AAA振动减弱，反步调振动减弱，反步调即即分振动反相分振动反相时，合振幅时，合振幅1212AAAAA合振幅介于最大值和最小值之间合振幅介于最大值和最小值之间17，问合振幅是，问合振幅是_.13cos(2 t)cm3x， 同方向同频率的两振动同方向同频率的两振动24cos(2 t)cm6x5cm181.两个同方向、不同频率的简谐振动合成不再是简谐振动。两个同方向、不同频率的简谐振动合成不再是简谐

12、振动。（b）stOstt1（a）O2.振幅、初相位相同，频率非常接近的两个振动的合成振幅、初相位相同，频率非常接近的两个振动的合成1212cos()cos()sssAtAt21212 coscos()22Atttttt1t2s1s2s1+s2(a)(b)(c)212 cos2At振幅作缓慢的周期性变化212合振动的角频率为：拍拍21fff拍的频率为：191.任一周期性的复杂振动均能被分解为假设干个频率不同、振幅任一周期性的复杂振动均能被分解为假设干个频率不同、振幅不同的简谐振动。不同的简谐振动。 付里叶级数展开付里叶级数展开0123( )coscos2cos3sF tAAtAtAt123sin

13、sin2sin3BtBtBt01cossin)nnnAAn tBn t（tsst（b）（a）（c）ts（d）AA1OOOA2A3A4A510305070902.2.频谱图频谱图0112233Scos()cos(2)cos(3)AAtAtAt或20频谱图：一个实际振动所包含的各种谐振成分的振幅频谱图：一个实际振动所包含的各种谐振成分的振幅 和它们的频率的关系图。和它们的频率的关系图。周期性振动的频谱是分立的线状频谱。以下图为周期性振动的频谱是分立的线状频谱。以下图为“锯齿波锯齿波的频谱图。的频谱图。sotA 03 05 0锯齿波锯齿波锯齿波频谱图锯齿波频谱图o周期振动的频谱周期振动的频谱(举例举

14、例) TA 21 一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动。简谐振动。阻尼振动频谱图阻尼振动频谱图o A阻尼振动曲线阻尼振动曲线so非周期振动的频谱非周期振动的频谱(举例举例) 非周期性振动的频谱是连续频谱，如以下图。非周期性振动的频谱是连续频谱，如以下图。221.1.产生：产生：弹性媒质弹性媒质振动、波形、能量振动、波形、能量机械机械波波横波横波纵波纵波振源的振动振源的振动cfT2.2.简谐波的特征量简谐波的特征量波速、波长和频率的关系：波速、波长和频率的关系：3.3.波的几何描述波的几何描述波阵面：在介质中所有相位相同的点所连成的

15、面。波阵面：在介质中所有相位相同的点所连成的面。波线：代表波传播方向的线。波线：代表波传播方向的线。在各向同性的介质中，波面在各向同性的介质中，波面波线波线波面波面波前波前波线波线(a)球面波球面波(b)平面波平面波波面波面波线波线波前波前波前波前某时刻波到达的各点连成的面，某时刻波到达的各点连成的面， 即最前面的波面。即最前面的波面。23惠更斯原理惠更斯原理：介质中波前上各点都可以看作是新的波源，这些：介质中波前上各点都可以看作是新的波源，这些 波源发出子波，子波的包迹就是新的波前。波源发出子波，子波的包迹就是新的波前。内容的理解：内容的理解：子波概念子波概念 波面上任一点都是新的振源波面上

16、任一点都是新的振源 发出的波叫子波发出的波叫子波子波面的包络线子波面的包络线新波面新波面 t t 时刻各子波波面的公共切面包络面就是该时刻的时刻各子波波面的公共切面包络面就是该时刻的新波面新波面作用：一波面就可求出任意时刻的波面作用：一波面就可求出任意时刻的波面24t+ t时刻波面时刻波面c t波传播方向波传播方向t 时刻波面时刻波面 t + tt 在各向同性在各向同性介质中传播介质中传播例：例：c25利用惠更斯原理可以解释衍射、反射、折射等波的利用惠更斯原理可以解释衍射、反射、折射等波的传播现象传播现象1.原理给出：原理给出：一切波动都具有衍射现象一切波动都具有衍射现象衍射衍射偏离原来直线传

17、播的方向偏离原来直线传播的方向 所以：所以：衍射是波动的判据衍射是波动的判据262.用惠更斯作图法导出了光的折射定律用惠更斯作图法导出了光的折射定律作图步骤：作图步骤：c2 t媒质媒质1折射率折射率n1 1媒质媒质2折射率折射率n2 2i法线法线B入射波入射波A ECc1 1c1 tFDc2 2折射波传播方向折射波传播方向r27xXscPO简谐振动在简谐振动在O O点进行，并同时以速度点进行，并同时以速度c c沿沿X X方向无衰减传播。方向无衰减传播。0cossAtP P点的振动比点的振动比O O点晚点晚x x/ /c ccos()xsAtc代入上式得波动方程的其它形式：代入上式得波动方程的其

18、它形式：22TfcfT将 =和cos2 ()txsATcos2 ()xAftcos(2)xAt281. t=t t0 0 一定时，一定时，0cos()xsAtc2. x=x x0 0一定时，一定时，00cos()cos(2)xxsAtAtc分析波动分析波动方程的物理意义：方程的物理意义：表示平衡位置在表示平衡位置在x处的各质点在处的各质点在t t0 0时刻的位移分布。时刻的位移分布。表示平衡位置在表示平衡位置在x0 0处质元的振动方程。处质元的振动方程。111cos()cos(2)xxsAtAtc讨论讨论x轴上任意两点轴上任意两点x1 1和和x2 2，平衡位置在这两点处的质元的振动平衡位置在这

19、两点处的质元的振动方程分别为方程分别为222cos()cos(2)xxsAtAtc得得 t t0 0 时刻的波形方程时刻的波形方程得得 x x0 0处质点的振动方程处质点的振动方程2912()2xxx1 1和和x2 2处两振动的相位差为处两振动的相位差为122(0,1,2,)2xxkk (1)假设两点之间的距离为半波长的偶数倍时，即假设两点之间的距离为半波长的偶数倍时，即12()22kxx则此两点振动同相，或说振动同步。此两点振动同相，或说振动同步。12(21)(0,1,2,)2xxkk (2)假设两点之间的距离为半波长的奇数倍时，即假设两点之间的距离为半波长的奇数倍时，即12()22k+1)

20、xx则 (此两点振动反相，或说振动反步调。此两点振动反相，或说振动反步调。30 10.4cf 一个平面简谐纵波在细长的金属棒中传播，速度为一个平面简谐纵波在细长的金属棒中传播，速度为5 5103ms-1103ms-1，频率为，频率为12.512.5103Hz103Hz，波源的振幅为，波源的振幅为0.1mm0.1mm。设波。设波源的初相为零，求源的初相为零，求1 1该平面波的波长；该平面波的波长；2 2波源的振动方波源的振动方程；程；3 3波动方程；波动方程；4)4)离开波源离开波源0.1m0.1m处的振动方程。处的振动方程。解：解： 432coscos210cos 25 10)sAtAftt（

21、 4333cos()10cos25 10()5 10 xxsAttc 4330.14cos()10cos25 10()5 10 xsAttc4310sin(25 10) t米米米米米米米米31)2(9cos06. 0 xtySI959cos06.0tySI101059(2)229xc0.0609Am，0.06 cos()9ytSI12m s322221sin()2kPxEEVAtcw平均能量密度（ ）：能量密度在一个周期内的平均值。能量密度能量密度w：介质单位体积中波的能量。：介质单位体积中波的能量。222sin()kPxEEEVAtc总能量为：222sin()ExwAtVc总2212wAco

22、s()xsAtcxVtEEkp 波动方程为：的平面简谐波，在密度为的介质中传播时，在任意坐标 处取体积元在时刻 的动能和势能均为：3 J m单位：33波的强度波的强度I I或平均能流密度：单位时间内通过垂直于波的传或平均能流密度：单位时间内通过垂直于波的传播方向单位面积的平均能量。播方向单位面积的平均能量。ISXc ttSESc ts在时间内通过面 的能量为等于体积中的能量2212Ew Sc tASc t s2212SEIcAS t 波的强度：单位单位: :W/m2( (记记!)!)34 一声源的频率为一声源的频率为1000Hz1000Hz，在空气中，在空气中P P点的声波强度为点的声波强度为

23、1.591.5910105 5WmWm-2-2，空气的密度为，空气的密度为1.29kgm1.29kgm-3-3，波速为，波速为344ms344ms-1-1, ,求求P P点的振幅和平均能量密度。点的振幅和平均能量密度。2212IcA 根据公式：解：解：3224.3 10 mIAc 得：2231462J m2IwAc351.1.平面波的吸收衰减：平面波的吸收衰减：ddII x0 xII e其中：吸收系数其中：吸收系数与介质的密度、粘滞系数、波速、波的频率与介质的密度、粘滞系数、波速、波的频率有关。有关。2.2.球面波的传播衰减球面波的传播衰减1122I SI S12221244IRIR21222

24、1IRIR 在均匀介质中传播，通过厚度为在均匀介质中传播，通过厚度为d dx x 的介质后减少的强度的介质后减少的强度d dI I与入射波的强度与入射波的强度I I 以及和所通过的厚度以及和所通过的厚度d dx x 成正比。成正比。36独立传播，矢量叠加独立传播，矢量叠加二、波的干预：二、波的干预：1.1.相干条件：相干条件：频率相同、振动方向相同、相位相同或相差恒定频率相同、振动方向相同、相位相同或相差恒定PO1O2r1 r22.2.波的干预：波的干预：P P处质点同时参与两种振动处质点同时参与两种振动12112222cos()cos()rrsAtAtcos()At2212122cosAAAA A其中：其中：12112212112222sin()sin()arctan22cos()cos()rrAArrAA37212122()()rrtt12212 ()rr=2(0,1,2)kk12AAA(21) (0,1,2)kk12AAA干预加强干预减弱O1O2最大最小最大最小最大381.1.相干波源：相干波源： 频率相同、振动方向相同、频率相同、振动方向相同、振幅相同、振幅相同、传播方向相反传播方向相反 2.2.驻波表达式：驻波表达式：cos()cos()xxsAtAtcccos2 ()cos2 ()txtxAATT2 cos2cos2x