计算机控制系统分析

1、3.1 脉冲传递函数3.1.1 脉冲传递函数的定义对右图所示的采样控制系统，如果系统的初始条件为零，则脉冲传递函数定义为输出采样信号的z变换与输入采样信号z变换之比，用G(z)表示)()()(zRzCzG)()()()(11*zRzGZzCZtc对于大多数的实际系统而言，其输出往往是连续信号而不是采样信号，我们可以在输出端虚设一个采样开关，两采样开关同步工作。G(s)r(t)r*(t)c(t)c*(t)G(z)3.1.2 开环系统（或环节）的脉冲传递函数例3-1 具有零阶保持器的开环系统如右图所示，求其脉冲传递函数。解：零阶保持器的传递函数为sesGTsh1)()()()()()()()()(

2、)()()()()()()()()(212*2*1*2*222221*12*zRzGzzCztcztctcTetcsGesGZzGzRzGzCztcsGtcsGTsTsp变换为得变换的滞后定理，根据延迟了一个采样周期，比，所以采样周期延时环节，延迟了一个是一个，由于所产生的响应信号经过另一个分量是输入采样。其中变换为，其得响应后产生过分量是输入采样信号经中包含两个分量，一个的形式。因为，将上图等效成下图传递函数。为分析方便为系统其他连续部分的图中seTs1Gp(s)r(t)c(t)c*(t)r*(t)ssGp)(1-e-Tsc(t)c*(t)r*(t)r(t)(a)(b)()()( 2111)

3、2)(1(1)()()( 21)(11)( 23)(1)()()( )()(1)()()1 ()()()( 2222121222121TTTTTTezezeezezzezzzGsssssGsGsGssGssGzGzzzRzCzGzRzGzzzRzGzzCzCzC解：。，脉冲传递函数。其中器两个连续环节的开环求下图所示中间无采样例故开环脉冲传递函数为所以G1(s)c(t)c*(t)r*(t)r(t)G2(s)传递函数的乘积。等于各个串联环节脉冲器，总的脉冲传递函数若串联环节之间有采样。求，然后根据一个整体器，需将这些环节看成若串联环节之间无采样所以。因此作用于成为，经第二个采样器的输出量为之间有

4、采样器，设和解：。，脉冲传递函数。其中器两个连续环节的开环求下图所示中间有采样例)2()()()()()()() 1 ()()()( )()()()( )()()( )()()( )()()()()( )( 21)(11)( 232122121212*12121zGsGsGsGsGsGezzezzzGzGzGzRzGzGzCzMzGzCzRzGzMsGtmtmsGsGsGssGssGnTTG1(s)c(t)c*(t)r*(t)r(t)G2(s)m(t)m*(t)的典型结构。形式，所以也没有唯一不同，可以有多种结构位置的，由于采样开关设置的。但在采样控制系统中图来描述一个闭环系统用一种典型的结构

5、确定的关系，所以可以传递函数之间有着传递函数与相应的开环控制系统中，闭环需要注意的是，在连续由以上三式得，根据定义作用于脉冲序列经采样器后成为离散的误差信号之差和反馈信号为输入信号系统，其误差信号如上图所示的采样控制数闭环系统的脉冲传递函)(1)()()( )()()( )()()( )()()( )()()()()()( )()()(3 . 1 . 3*zGHzGzRzCzBzRzEzEzGHzBzEzGzCsGtetetbtrtetbtrteG(s)H(s)r(t)+-b(t)e(t)e*(t)c(t)类型类型系系 统统 结结 构构闭闭 环环 脉脉 冲冲 传传 递递 函函 数数1 12 2

6、3 34 45 5G(s)r(t)+-c(t)H(s)G1(s)r(t)+-c(t)H(s)G2(s)G(s)r(t)+-c(t)H(s)G(s)r(t)+-c(t)H(s)G1(s)r(t)+-c(t)H(s)G2(s)(1)()()(zGHzGzRzC)()(1)()()()(2121zHGzGzGzGzRzC)()(1)()()(zHzGzGzRzC)()(1)()()(zHzGzGzRzC)()()(1)()()()(2121zHzGzGzGzGzRzC301. 0052. 1074. 02 . 0)(1)()()( )368. 0)(819. 0(135. 03 . 03 . 0)(

7、 2)(126 . 01103122 . 11102)()(819. 02 . 0)( 2)(1102)(43225 . 01 . 0zzzzzGHzGzRzYzzzezzezzzGHsTzGHsssssHsGzzzGsTzGssGTT函数为则系统的闭环脉冲传递，得并代入求由得，并代入求得解：由脉冲传递函数求右图所示系统的闭环例1102s122 . 1sr(t)+-c(t)T=2s121110653321222031. 1079. 1075. 1894. 0147. 14 . 14 . 1368. 0) 1)(632. 0()264. 0368. 0()(1)( 632. 0264. 0368

8、. 0)(1)()()()368. 0)(1(264. 0368. 0)(1) 1(1)(153zzzzzzzzzzzzzzzCzzzRzzzzGzGzRzCzzzzGsTzssesGsTTs则可得对单位阶跃函数有数为系统的闭环脉冲传递函得变换，并代入对其作解：。其中采样周期阶跃响应。求右图所示系统的单位例0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.00.2c(kT)kTXXXXXXXXXXXXXseTs1) 1(1ssr(t)+-c(t)3.2 计算机控制系统的性能分析3.2.1 系统的稳定性设一个单输入、单输出线性定常系统的闭

9、环脉冲传递函数为)(1)()()(zGHzGzRzC该系统的稳定性可以由特征方程 的根在Z平面中的位置来确定。为了保证系统稳定，特征方程的全部根必须位于Z平面中单位圆的内部。如果系统的闭环极点或特征方程的根中有位于单位圆外的情况，则闭环系统不稳定。如果有一个根恰好位于Z平面中单位圆上，则系统处于临界稳定，临界稳定在实际系统中属于不稳定。 分析离散控制系统稳定性：双线性变换(称为z-w变换)的劳斯判据。)(1)(zGHzD的稳定性了。据来判断离散控制系统这样，就可以用劳斯判平面单位圆圆周平面的虚轴对应于，即时，则平面单位圆内平面的左半平面对应于，即时，则平面单位圆外平面的右半平面对应于，即时，则

10、可以看出或者zwzwzwzwzwzwzzwzzwwwzwwz10Re10Re10Re1111 1111 35. 40063. 0063. 074. 2 063. 026. 1)63. 074. 2()( )(11037. 0)37. 163. 0()1 ()(1()(1)(1()1 ()(111) 1()(6322KKKKwwKwDzDwwzwzzKzeKzezzzDsTezzeKzzGssKssKsGkTTTT围为则使系统稳定的取值范和使系统稳定，必须有应用劳斯判据可知，要，并整理得代入变换，即将进行时为在则闭环系统的特征方程所以有解：由于的取值范围。统稳定时求右图所示采样控制系例) 1(

11、ssKr(t)+-c(t)T=1s 如果系统中没有采样器，则对该二阶连续系统可以直接用劳斯判据证明，只要K大于零，系统总是稳定的；但经过采样后，就不一定了。一般来说，引入采样器会降低系统的稳定性，而且采样周期越大，系统稳定性越差。 可以自己改变上述系统的采样周期，将其变小一些，再检验系统稳定时K的取值范围。 不过，实践证明，对于带有很大时间延迟对象的系统则例外。3.2.2 系统的稳态误差 稳态误差是系统稳态性能的重要指标。在单位反馈的离散控制系统中，即令H(s)=1，系统在输入信号作用下误差的z变换式为稳态误差。统的下，对应不同结构的系下在典型输入信号作用等系统。下面，讨论一型型、型、的极点的

12、个数分为中含有数以按其开环脉冲传递函散控制系统可的极点相对应，因此离平面上的极点与平面上由于。开环脉冲传递函数有关系统结构号及制系统一样，与输入信统的稳态误差与连续控由此可见，离散控制系系统的稳态误差变换的终值定理，求出，则利用假定闭环系统是稳定的IIIzzGsszzzGzRzkeeezzGzRzEzkssss01)(01)(1)() 1(lim)(lim )(1)()( 100) 1 (11) 1 (0)(lim)(lim 11)(11lim1)(11) 1(lim 1)( )( 1)( ) 10111sspsspsspspzppzzsseKIIeKIGeGKsGKzGKKzGzzzGzez

13、zzRttr，型系统，型系统，为有限值，型系统，对于定义为位置误差系数。其中时单位阶跃（位置）输入0) 1 () 1 (00)(lim)() 1(lim1 1)() 1(1lim) 1()(11) 1(lim ) 1()( )( )211011212ssvssvssvsvzvvzzsseKIIGTeTGKIeKssGKzGzTKKzGzTzTzzGzezTzzRttr，型系统，型系统，型系统，对于定义为速度误差系数。其中时单位斜坡（速度）输入) 1 ()(000)(lim)() 1(lim1 1)() 1(1lim) 1(2) 1()(11) 1(lim ) 1(2) 1()( 2)( )32

14、22220212212321322GTeTzGKIIeKIeKsGsKzGzTKKzGzTzzzTzGzezzzTzRttrssassassasazaazzss，型系统，型系统，型系统，。对于定义为加速度误差系数其中输入时单位抛物线（加速度）部分误差会很大。引起的误差。有时，这频谱信号产生的纹波所时刻还将附加由高频的稳态误差，在非采样上述结论只是采样时刻小稳态误差。，减小采样周期可以减与采样周期的大小有关有差系统的稳态误差还离散控制系统中：在的。但需要注意的是，系统的相应结论是相同稳态误差的结论和连续于号和系统结构不同时关系统中，当典型输入信由此可见，在离散控制递函数值；时的脉冲传的极点后，在

15、在消去了型系统的为递函数值；时的脉冲传的极点后，在在消去了型系统的为时的脉冲传递函数值；在型系统的为上述各式中，)2() 1 (11)() 1 (11)() 1 (1)(0) 1 (210zzzGIIGzzzGIGzzGG1 . 0110) 1(8 . 02 . 1) 1(lim1)() 1(lim1,1111211)(,) 1(8 . 02 . 1)( 2 . 05101) 15 . 0(101)(,211)(2 . 0732212212222332asszzavpavpssKezzzTzGzTKKKIIKKKetttrzIIzzzGsTssZzzssZzzzGtttrsT型系统，由于对：的

16、作用下，稳态误差为入信号为变换的终值定理，在输。利用采样控制系统是稳定的型系统。可以证明，该这是一个上式说明代入上式并整理将递函数为解：系统的开环脉冲传求该系统的稳态误差。试用静态误差系数法，为，输入信号周期的结构如图所示，采样已知采样离散控制系统例seTs12) 15 . 0(10ss r(t)+-c(t)1)()()()()(zzzDzNzRzzC3.2.4 动态响应分析 如果已知离散控制系统的数学模型，通过递推法或者z变换法不难求出典型输入作用下的输出响应。离散控制系统的动态响应取决于系统脉冲传递函数零、极点在z平面中的分布情况。这里我们仅就单位阶跃输入函数作用下的输出响应。设系统的闭环

17、脉冲传递函数为(z)，则系统输出量的z变换为jpzjjnjjjzDzzNpzAGDNApzAzAzDzzNzzCz)() 1()()( ) 1 () 1 () 1 ( 1)() 1()()( )(010其中中无重极点。于是为分析方便，假设那么的瞬态响应为，对应于极点系统的动态性能。显然瞬态响应，就足以说明同极点分布时的为其瞬态响应。研究不为阶跃响应的稳态值，其中，所以)sin(cos )sin(cos )()(11)( 1010101jjkjjjjjjjjnjkjjnjkjjknjjjkjkrAjrerppAApAApzzAzzAZkcjTrrrkrAereAereAAAerAerAerper

18、prrrTkrAprrrrApjjjjjjjjkjjjkkjjjjkkjjjjjjkkjjjkkjjjjjjjjjjjjkjjjjjjjkjjjjjjjjjjjj/1)cos(2 1800 ,)3(111/cos180)2(1110) 1 ( 可以证明越大，振荡频率越高，有关，越快；振荡频率与越小，衰减的大小，决于时，振荡的衰减速率取是振荡的。当为也共轭，因此瞬态响应和其中，瞬态响应为复数极点时必为共轭，时，为发散振荡。振荡，当时，为等幅时，为衰减振荡；。振荡频率可以证明为是振荡的，最高，瞬态响应为负实数极点时，当时，为发散序列。时，为等幅序列，当衰减序列，时，为是单调的。，瞬态响应为正实数极点时，当 关于闭环极点在z平面中的分布情况所对应的输出响应如右图所示。 由上述分析可知，只要闭环极点在z平面的单位圆内，离散控制系统总是稳定的。稳