同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(1)

1、. 习题9-2 1. 计算下列二重积分: (1), 其中D=(x, y)| |x|£1, |y|£1; 解 积分区域可表示为D: -1£x£1, -1£y£1. 于是 . (2), 其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域: 解 积分区域可表示为D: 0£x£2, 0£y£2-x. 于是 . (3), 其中D=(x, y)| 0£x£1, 0£y£1; 解 . (4), 其中D是顶点分别为(0, 0), (p, 0), 和(p, p)的三角形闭区域

2、. 解 积分区域可表示为D: 0£x£p, 0£y£x. 于是, . . 2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (1), 其中D是由两条抛物线, 所围成的闭区域; 解 积分区域图如, 并且D=(x, y)| 0£x£1, . 于是 . (2), 其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域; 解 积分区域图如, 并且D=(x, y)| -2£y£2, . 于是 . (3), 其中D=(x, y)| |x|+|y|£1; 解 积分区域图如, 并且 D=(x, y)| -1£x

3、3;0, -x-1£y£x+1È(x, y)| 0£x£1, x-1£y£-x+1. 于是 =e-e-1. (4), 其中D是由直线y=2, y=x及y=2x轴所围成的闭区域. 解 积分区域图如, 并且D=(x, y)| 0£y£2, . 于是 . 3. 如果二重积分的被积函数f(x, y)是两个函数f1(x)及f2(y)的乘积, 即f(x, y)= f1(x)×f2(y), 积分区域D=(x, y)| a£x£b, c£ y£d, 证明这个二重积分等于两

4、个单积分的乘积, 即 证明 , 而 , 故 . 由于的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得 4. 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D是: (1)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域; 解 积分区域如图所示, 并且D=(x, y)|, 或D=(x, y)| ,所以 或. (2)由x轴及半圆周x2+y2=r2(y³0)所围成的闭区域; 解 积分区域如图所示, 并且 D=(x, y)|, 或D=(x, y)| ,所以 , 或. (3)由直线y=x, x=2及双曲线(x>0)所围成的闭区域; 解 积分区域如图所示,

5、并且 D=(x, y)|, 或D=(x, y)| È(x, y)|,所以 , 或. (4)环形闭区域(x, y)| 1£x2+y2£4. 解 如图所示, 用直线x=-1和x=1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2, D3, D4. 于是 用直线y=1, 和y=-1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2, D3, D 4, 如图所示. 于是 5. 设f(x, y)在D上连续, 其中D是由直线y=x、y=a及x=b(b>a)围成的闭区域, 证明:. 证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为 D=(x, y)|a£x£

6、;b, a£y£x, 或D=(x, y)|a£y£b, y£x£b. 于是 , 或. 因此 . 6. 改换下列二次积分的积分次序: (1); 解 由根据积分限可得积分区域D=(x, y)|0£y£1, 0£x£y, 如图. 因为积分区域还可以表示为D=(x, y)|0£x£1, x£y£1, 所以 . (2); 解 由根据积分限可得积分区域D=(x, y)|0£y£2, y2£x£2y, 如图. 因为积分区域还可以表

7、示为D=(x, y)|0£x£4, , 所以 . (3); 解 由根据积分限可得积分区域, 如图. 因为积分区域还可以表示为, 所以 (4); 解 由根据积分限可得积分区域, 如图. 因为积分区域还可以表示为, 所以 . (5); 解 由根据积分限可得积分区域D=(x, y)|1£x£e, 0£y£ln x, 如图. 因为积分区域还可以表示为D=(x, y)|0£y£1, ey£x£ e, 所以 (6)(其中a³0) 解 由根据积分限可得积分区域, 如图. 因为积分区域还可以表示为 ,

8、 所以 . 7. 设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2, y=x和x轴所围成, 它的面密度为m(x, y)=x2+y2, 求该薄片的质量. 解 如图, 该薄片的质量为 . 8. 计算由四个平面x=0, y=0, x=1, y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积. 解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为 . 9. 求由平面x=0, y=0, x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面x2+y2=6-z截得的立体的体积. 解 立体在xOy面上的投影区域为D=(x, y)|0£x£1, 0£y£1-x, 所求立体的体积为以曲

9、面z=6-x2-y2为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积, 即 . 10. 求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积. 解 由消去z, 得x2+2y2=6-2x2-y2, 即x2+y2=2, 故立体在xOy面上的投影区域为x2+y2£2, 因为积分区域关于x及y轴均对称, 并且被积函数关于x, y都是偶函数, 所以 . 11. 画出积分区域, 把积分表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D是: (1)(x, y)| x2+y2£a2(a>0); 解 积分区域D如图. 因为D=(r, q)|0£q£2p, 0£r

10、£a, 所以 . (2)(x, y)|x2+y2£2x; 解 积分区域D如图. 因为, 所以 . (3)(x, y)| a2£x2+y2£b2, 其中0<a<b; 解 积分区域D如图. 因为D=(r, q)|0£q£2p, a£r£b, 所以 . (4)(x, y)| 0£y£1-x, 0£x£1. 解 积分区域D如图. 因为, 所以 . 12. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分: (1); 解 积分区域D如图所示. 因为 , 所以 . (2); 解 积分区域

11、D如图所示, 并且 , 所示 . (3); 解 积分区域D如图所示, 并且 , 所以 (4). 解 积分区域D如图所示, 并且 , 所以 13. 把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值: (1); 解 积分区域D如图所示. 因为, 所以 . (2); 解 积分区域D如图所示. 因为, 所以 . (3); 解 积分区域D如图所示. 因为, 所以 . (4). 解 积分区域D如图所示. 因为, 所以 . 14. 利用极坐标计算下列各题: (1)，其中D是由圆周x2+y2=4所围成的闭区域; 解 在极坐标下D=(r, q)|0£q£2p, 0£r£2, 所以

12、 . (2)，其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域; 解 在极坐标下, 所以 . (3), 其中D是由圆周x2+y2=4, x2+y2=1及直线y=0, y=x所围成的第一象限内的闭区域. 解 在极坐标下, 所以 . 15. 选用适当的坐标计算下列各题: (1)，其中D是由直线x=2，y=x及曲线xy=1所围成的闭区域. 解 因为积分区域可表示为, 所以 . (2), 其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域; 解 在极坐标下, 所以 . (3), 其中D是由直线y=x, y=x+a, y=a, y=3a(a>0)所围成的闭区域; 解 因为积分区域可表示为D=(x, y)|a£y£3a, y-a£x£y, 所以 . (4), 其中D是圆环形闭区域(x, y)| a2£x2+y2£b2. 解 在极坐标下D=(r, q)|0£q£2p, a£r£b, 所以 . 16. 设平面薄片所占的闭区域D由螺线r=2q上一段弧()与直线所围成, 它的面密度为m(x, y)=x2+y2. 求这薄片的质量. 解 区域如图所示. 在极坐标下, 所以所求质量 . 17. 求由平面y=0, y=kx(k>0), z=0以及球心在原点、半