线性定常系统的综合

1、第第5 5章章 线性定常系统的综合线性定常系统的综合1. 引言引言2. 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈3. 状态反馈系统的能控性和能观测性状态反馈系统的能控性和能观测性4. 极点配置极点配置5. 镇定问题镇定问题6. 状态重构和状态观测器状态重构和状态观测器7. 降阶观测器降阶观测器8. 带状态观测器的状态反馈系统带状态观测器的状态反馈系统9. 渐近跟踪和干扰抑制问题渐近跟踪和干扰抑制问题10. 解耦问题解耦问题11. MATLAB的应用的应用本章内容为本章内容为:研究研究分析：对于一个具体的控制系统和已知的外部分析：对于一个具体的控制系统和已知的外部输入，如何从理论上对它的输入，如何从

2、理论上对它的运动行为运动行为如状如状态运动规律、稳定性等，态运动规律、稳定性等，结构特性结构特性如结构如结构特征、能控性、能观测性等进行确定特征、能控性、能观测性等进行确定。 综合：给定系统方程，综合：给定系统方程，根据对系统性能的要根据对系统性能的要求，如何求，如何确定确定系统的系统的外部输入外部输入即控制作即控制作用用，使系统的性能能全面，使系统的性能能全面满足技术要求满足技术要求。 通常控制作用取为通常控制作用取为反馈形式反馈形式。无论是抑制外。无论是抑制外部扰动的影响还是减少内部参数变动的影响，反部扰动的影响还是减少内部参数变动的影响，反馈控制都要远优越于非反馈控制。馈控制都要远优越于

3、非反馈控制。 本章以状态空间方法为基础，针对常用典型本章以状态空间方法为基础，针对常用典型形式性能指标，讨论线性时不变系统的反馈控制形式性能指标，讨论线性时不变系统的反馈控制综合问题。综合问题。 综合问题的提法综合问题的提法系统的综合问题由系统的综合问题由受控系统受控系统，性能指标性能指标和控制输入控制输入三个要素组成。三个要素组成。 所谓所谓系统综合系统综合，就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制u(t) ，使所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标使所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标 。对象目标手段CxytxxBuAxx0

4、) 0(:00状态反馈输入状态反馈输入：u (t) =Kx(t)+ (t)输出反馈输入输出反馈输入：u (t) =Fy(t)+ (t)系统综合系统综合 系统设计系统设计理论理论“设计设计”确定确定u(t)的形式和的形式和构成构成工程设计考虑各种工程设计考虑各种实际问题实际问题性能指标的类型性能指标的类型 性能指标性能指标实质上是对所要综合的控制系统在运动过程行为上的一种实质上是对所要综合的控制系统在运动过程行为上的一种规定规定。非优化型性能指标非优化型性能指标 (不等式型不等式型)优化性型能指标优化性型能指标(极值型极值型)（1）镇定问题）镇定问题（2）极点配置）极点配置（3）解耦控制）解耦控

5、制（4）跟踪问题）跟踪问题dtJTT0)()(RuuQxxu研究综合问题的思路研究综合问题的思路建立建立可综合条件可综合条件控制规律的控制规律的“算法算法”工程实现中的一些理论问题工程实现中的一些理论问题（1）状态反馈物理构成问题）状态反馈物理构成问题（2）系统模型不准确性和参数摄动问题）系统模型不准确性和参数摄动问题（3）对外部扰动影响的抑制问题）对外部扰动影响的抑制问题控制规律的控制规律的“算法算法”综合问题的综合问题的计算方法和步骤计算方法和步骤，适于编程适于编程，数值稳定性。数值稳定性。状态反馈状态反馈设连续时间线性时不变系统设连续时间线性时不变系统 CxytxxBuAxx0) 0(:

6、00BCAx xyuK状态反馈下受控系统的输入为状态反馈下受控系统的输入为：u =Kx+，KRpnCxyKxBAxxxf)(:状态反馈系统状态反馈系统xf 的状态空间描述为：的状态空间描述为： CxytxxBxBKAxxf0)0()(:0特征值改变特征值改变GK(s)=C(sI-A+BK)-1B结论结论1：对连续时间线性时不变系统，状态反馈保持能控性，不保持能观测性。对连续时间线性时不变系统，状态反馈保持能控性，不保持能观测性。 维数没有增加维数没有增加输出反馈输出反馈设连续时间线性时不变系统设连续时间线性时不变系统 CxytxxBuAxx0) 0(:00BCAx xyuF输出反馈下受控系统的

7、输入为输出反馈下受控系统的输入为：u =Fy+，FRpqCxyFyBAxx)(:yf输出反馈系统输出反馈系统yf 的状态空间描述为的状态空间描述为： CxytxxBxBFCAx0)0()(:0yf维数没有增加GF(s)=C(sI-A+BFC)-1B结论2：对连续时间线性时不变系统，对连续时间线性时不变系统，输出反馈保持能控性和能观测性。输出反馈保持能控性和能观测性。 GF(s)=G0(s)I+FG0(s)-1特征值改变特征值改变状态反馈和输出反馈的比较状态反馈和输出反馈的比较 反馈属性反馈属性：状态反馈为系统结构信息的完全反馈，输出反馈则是系统结构信息状态反馈为系统结构信息的完全反馈，输出反馈

8、则是系统结构信息的不完全反馈的不完全反馈。反馈功能反馈功能：状态反馈在功能上远优于输出反馈状态反馈在功能上远优于输出反馈。改善输出反馈的途径改善输出反馈的途径：扩展输出反馈（动态输出反馈）扩展输出反馈（动态输出反馈）BCAx xyu并联补偿器并联补偿器串联补偿器串联补偿器反馈实现上反馈实现上，输出反馈要优越于状态反馈。输出反馈要优越于状态反馈。解决状态反馈物理实现的途径解决状态反馈物理实现的途径：引入状态观测器引入状态观测器BCAx xyu状态观测器状态观测器Kx 扩展状态反馈和扩展输出反馈的等价性扩展状态反馈和扩展输出反馈的等价性。5.3 5.3 状态反馈的能控性和能观测性状态反馈的能控性和

9、能观测性线性定常系统方程为线性定常系统方程为CxyBuAxx （6）引入状态反馈引入状态反馈KxVu（7）CxyBVBK)xAx(则有则有（8）定理定理5-15-1 线性定常系统（线性定常系统（6）引入状态反馈后，成为系统（）引入状态反馈后，成为系统（8），不），不改变系统的能控性。改变系统的能控性。对任意的对任意的K 矩阵，均有矩阵，均有证明证明 IKIBAIBBKAI0)(BAIBBKAIrank)(rankIKI0因为因为 满秩，所以对任意常值矩阵满秩，所以对任意常值矩阵K 和和 ，均有，均有（9）（9）式说明，引入状态反馈不改变系统的能控性。但是，状态）式说明，引入状态反馈不改变系统的

10、能控性。但是，状态反馈可以改变系统的能观测性，见例反馈可以改变系统的能观测性，见例5-1。5.4 5.4 极点配置极点配置定理定理 线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配置的充分必要条线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配置的充分必要条件是：系统状态完全能控。件是：系统状态完全能控。状态反馈状态反馈KxVu（11）线性定常系统线性定常系统CxBAxxyu（10）CxbbK)xAxyV(状态反馈系统方程状态反馈系统方程（12）因为因为A 和和 b 一定，确定一定，确定K 的就可以配置系统的极点。的就可以配置系统的极点。经过线性变换经过线性变换 ，可以使系统具有能控标准形。，可以使系统具有能控标准

11、形。xPx1（13）uaaan100100001000010110 xxx110ny系统传递函数：系统传递函数：)()()(011101221111ssasasasssssssgnn-nnn-nn- bAICbAIC（14）（15）引入状态反馈引入状态反馈xKxKPKxVVVu1令令1101nkkkKPK（16）其中其中 为待定常数为待定常数110,nkkk)()()(1001010010010111100110110nnnnkakakakkkaaaKbA状态反馈系统特征多项式为状态反馈系统特征多项式为)()()()(det)(0011111kaskaskasssnnnnKKbAI（17）设状

12、态反馈系统希望的极点为设状态反馈系统希望的极点为nsss,21其特征多项式为其特征多项式为*0*11*11*)()(asasassssnnnniiK（18）比较（比较（17）式和（）式和（18）式，选择）式，选择 使同次幂系数相同。有使同次幂系数相同。有ik1*11*10*0nnaaaaaaK（19）而状态反馈矩阵而状态反馈矩阵110nkkkPKK例例5-35-3 某位置控制系统（伺服系统）简化线路如下某位置控制系统（伺服系统）简化线路如下DiiiKu 为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机TG，通过霍尔电流传感器测得电枢电流通过霍尔电流传

13、感器测得电枢电流 ，即，即 。已知折算到电。已知折算到电动机轴上的粘性摩擦系数动机轴上的粘性摩擦系数 、转动惯量、转动惯量 ；电；电动机电枢回路电阻动机电枢回路电阻 ；电枢回路电感；电枢回路电感 ；电动势系数；电动势系数为为 、电动机转矩系数为、电动机转矩系数为 。选择。选择 、 、 作为状态变量。将系统极点配置到作为状态变量。将系统极点配置到 和和 ，求，求K 阵。阵。TGTGKuDim/(rad/s)N1 f2mkg1DJ1DRH1 . 0DLV/(rad/s)1 . 0eKm/AN1mKoDi31j10解解 1. 建立系统状态空间模型建立系统状态空间模型)(oiKuoAAuKuAPDuK

14、u DDDDeDddiRtiLKuFDmDddTiKftJtdoDo321ixxxx 为恒定的负载转矩为恒定的负载转矩FT2o1ddxtxDFDDmD2ddJTiJKJftxDeDDDDDD31ddLKuLiLRtix 将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为FD32132101010001010110010Tuxxxxxx321001xxxy2. 计算状态反馈矩阵计算状态反馈矩阵9901001011010010002bAAbbQC3rankCQ所以系统能控所以系统能控计算出状态反馈矩阵计算出状态反馈矩阵 1 . 02 . 142

15、10KKKK状态反馈系统的状态图如图（状态反馈系统的状态图如图（c）所示（没有画出）所示（没有画出 ）。）。FT经过结构变换成（经过结构变换成（d）图所示的状态图）图所示的状态图10K因为位置主反馈因为位置主反馈，其他参数的选择应该满足：，其他参数的选择应该满足：440PAKKKKP12 . 1KK P21 . 0KK 验证验证：求图（：求图（d）系统的传递函数，其极点确实为希望配置的极）系统的传递函数，其极点确实为希望配置的极点位置。点位置。极点配置是一类最为典型和最为简单的综合问题。极点配置是一类最为典型和最为简单的综合问题。 问题的提法问题的提法给定连续线性时不变单输入受控系统给定连续线

16、性时不变单输入受控系统BuAxx 控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。因此作控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。因此作为综合系统性能指标的一种形式，往往是给出一组为综合系统性能指标的一种形式，往往是给出一组期望闭环极点组期望闭环极点组。极点配置问题极点配置问题，就是通过选择线性反馈增益矩阵，将闭环系统的极点就是通过选择线性反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所期望的动态性能。恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所期望的动态性能。 任意指定期望闭环极点组：任意指定期望闭环极点组： 1*, 2*, , n* 在状态反馈下，控制输入为：u

17、 =Kx+，KRpnBxBKAx)(闭环系统为：其特征值满足其特征值满足： i(A-BK) = i* , i=1,2, n 期望闭环极点组(1)期望闭环极点组的性能指标属性期望闭环极点组的性能指标属性二重性二重性理论计算：期望闭环极点组理论计算：期望闭环极点组控制工程：直观性能指标控制工程：直观性能指标(2)控制工程中基本类型的性能指标控制工程中基本类型的性能指标时间域：时间域： ，ts，tr，td，tp频率域：频率域：Mr , r , cc可以相互转化可以相互转化(3)基本类型性能指标和期望闭环极点组的主导极点对的关系基本类型性能指标和期望闭环极点组的主导极点对的关系2211,nnjss(4

18、)期望闭环极点组的确定期望闭环极点组的确定工程型的性能指标工程型的性能指标2211,nnjssn-2个期望闭环极点个期望闭环极点Re(si) =(4 6)Re(s1) , i=3,4, n 极点配置定理极点配置定理 对单输入对单输入n 维连续时间线性时不变受控系统：维连续时间线性时不变受控系统： buAxx系统全部系统全部n个极点可个极点可任意任意配置的充分必要条件为配置的充分必要条件为（A，b）完全能控完全能控。 极点配置算法极点配置算法思路：思路： 在受控系统能控条件下，将状态空间描述化为能控规范型，在受控系统能控条件下，将状态空间描述化为能控规范型，由于 0111)(ssssssnnnc

19、AIAI注：注：当系统不完全能控时，若不能控部分特征值属于期望闭环特征值当系统不完全能控时，若不能控部分特征值属于期望闭环特征值 ， 仍然能够配置系统的全部闭环极点仍然能够配置系统的全部闭环极点xPx1xxbuPAPxPxccccyubA1111,1111nnnbAbbAP*0*11*1*1*)()(sssssnnnini极点配置算法极点配置算法Step1: 判别（判别（A，b）能控性）能控性Step2: 计算矩阵计算矩阵A特征多项式特征多项式det(sI-A)= (s)=sn+ n-1sn-1+ 1s+ 0Step3: 计算由期望闭环特征值计算由期望闭环特征值 *1,n决定的期望特征多项式决

20、定的期望特征多项式 *0*11*1*1*)()(sssssnnniniStep4: 计算计算1*11*10*0,nnkxPkxkkx1uQkk 11,1111nnnbAbbAPStep5：计算能控规范性变换矩阵：计算能控规范性变换矩阵 Step6：计算：计算 Q = P -1Step7：计算：计算 Qkk Step8：停止计算：停止计算 注释注释: 对于一个给定的系统，矩阵对于一个给定的系统，矩阵K不是唯一的，而是依赖于选择期望闭环不是唯一的，而是依赖于选择期望闭环极点的位置（这决定了响应速度与阻尼），这一点很重要。极点的位置（这决定了响应速度与阻尼），这一点很重要。注意，所期望的闭环极点或所

21、期望状态方程的选择是在误差向量的快注意，所期望的闭环极点或所期望状态方程的选择是在误差向量的快速性和干扰以及测量噪声的灵敏性之间的一种折衷。也就是说，如果加快速性和干扰以及测量噪声的灵敏性之间的一种折衷。也就是说，如果加快误差响应速度，则干扰和测量噪声的影响通常也随之增大。误差响应速度，则干扰和测量噪声的影响通常也随之增大。如果系统是如果系统是2阶的，那么系统的动态特性（响应特性）正好与系统期望阶的，那么系统的动态特性（响应特性）正好与系统期望的闭环极点和零点的位置联系起来。对于更高阶的系统，所期望的闭环极的闭环极点和零点的位置联系起来。对于更高阶的系统，所期望的闭环极点位置不能和系统的动态特

22、性（响应特性）联系起来。点位置不能和系统的动态特性（响应特性）联系起来。因此，在决定给定系统的状态反馈增益矩阵因此，在决定给定系统的状态反馈增益矩阵K时，最好通过计算机仿时，最好通过计算机仿真来检验系统在几种不同矩阵（基于几种不同的所期望的特征方程）下的真来检验系统在几种不同矩阵（基于几种不同的所期望的特征方程）下的响应特性，并且选出使系统总体性能最好的矩阵响应特性，并且选出使系统总体性能最好的矩阵K。 例例1连续时间线性时不变状态方程为连续时间线性时不变状态方程为uxx0011210061000期望闭环极点为期望闭环极点为jj112*3*2*1计算状态反馈阵计算状态反馈阵K解：容易判断解：容

23、易判断 系统能控系统能控sssssAsI72181210061000)det(23计算由期望闭环极点组决定的特征多项式计算由期望闭环极点组决定的特征多项式 464)1)(1)(2()()(2331*sssjsjssssii 0= 0， 1= 72， 2=18 0*= 4， 1*= 6， 2*=414,66, 4,2*21*10*0k001011211872118720118001001016100111,2122bAbbAP计算计算 14418112101001PQ1220186,14144181121010014,66, 4 Qkk如果是低阶系统（如果是低阶系统（n 3），则将线性反馈增益矩

24、阵），则将线性反馈增益矩阵K直接代入期望的直接代入期望的特征多项式，可能更为简便。特征多项式，可能更为简便。 12100610011210061000210210kkkkkkBKA由期望闭环极点组决定的特征多项式由期望闭环极点组决定的特征多项式 464)1)(1)(2()()(2331*sssjsjssssii210102031272)7218()18(kkkskksksBKAsI)(*sBKAsI4127267218418210100kkkkkk1220186,14k i(A-BK) = i* , i=1,2, n 多输入情形的极点配置在研究思路和计算方法都要复杂一些。多输入情形的极点配置在

25、研究思路和计算方法都要复杂一些。系统的循环性系统的循环性定义：循环矩阵和循环系统 当系统矩阵A的特征多项式 (s)和最小多项式 (s)之间只存在常数类型的的公因子k，即有 (s)= k (s) ，则A为循环矩阵，系统为循环系统。(1)循环系统的约当规范型当且仅当系统矩阵A的约当规范型中相应于每个不同特征值仅有一个约当块。(2)循环系统的特征值属性若系统矩阵A的特征值为两两互异，则系统为循环。(3)循环系统的能控属性对多输入n维连续时间线性时不变循环系统 ，至少存在一个n为列向量b，使向量组b，Ab，An-1b张满整个n维空间，即A，b为完全能控。 结论：结论：BuAxx(4)循环系统的能控属性

26、对多输入n维连续时间线性时不变循环系统 ， A，B为完全能控，则对几乎所有的p1实向量 ，使单输入矩阵对A，B 为完全能控。(5)非循环系统的循环化对多输入n维连续时间线性时不变非循环非循环系统 ， A，B为完全能控，则对几乎所有的pn实常阵K，可使ABK 为循环。BuAxxBuAxx极点配置定理：极点配置定理：对多输入n维连续时间线性时不变系统 BuAxx系统可通过状态反馈任意配置全部n个极点的充分必要条件为A,B完全能控。 极点配置算法：极点配置算法： 对于多输入n维连续时间线性时不变受控系统，可以采用多种多种算法确定极点配置状态反馈矩阵K。假定受控系统为完全能控。控制工程中几乎所有受控系

27、统都为能控！控制工程中几乎所有受控系统都为能控！极点配置算法极点配置算法1：（化多输入系统为单输入系统极点配置）（化多输入系统为单输入系统极点配置）给定n维多输入连续时间线性时不变受控系统A,B和一组任意期望闭环特征值 *1,n要求确定一个pn状态反馈矩阵K，使 niBKAii, 2 , 1,)(*step1.判断A的循环性，若非循环，选取一个pn实常阵K1，使 )(1BKAA为循环；若循环，表 AA step2:选取一个p1实常向量 ，表b=B ，使 bA, 为完全能控 step3.对等价单输入系统 ，利用单输入情形极点配置算法，计算状态反馈向量k。 bA,step4.对A为循环，K k；对

28、A为非循环，K kK1 注： 由于K1和 的不惟一性，状态反馈矩阵K不惟一和秩1性，通常希望 K1和 的选取使K的各个元尽可能小。step5.停止计算例例1连续时间线性时不变状态方程为uxx10111001期望闭环极点为21*2*1，计算状态反馈阵K解：解：容易判断 系统能控2) 1(1001)det(sssAsI10101111ABBQc(1)判断A的循环性11001) 1(10011001)(2ssssssAsI11 (s) k (s)A不是循环矩阵任意选取一个pn实常阵K111001K01121BKAA2) 1()det(sAsI2) 1(211)(sssAsI1A是循环矩阵注：最小多项

29、式注：最小多项式 (s)= 1det()sIAdsd1是最大公因式是最大公因式adj（）（）21(2)选取一个p1实常向量 ，表b=B ，使 bA,为完全能控 11151KkK21221212bAbQc221Bb当 1=1， 2=0时，bA,为完全能控 0101Bb(3)对等价单输入系统 ，利用单输入情形极点配置算法，计算出状态反馈向量 k = 5 1 。 bA,(4) A为非循环，K kK1 (5) 校核)2)(1(123)det(ssssBKAsI由于K1， 的不惟一性，使K非唯一。例如：10011K1062011KkKk = -2 5 K的这种非唯一性是的这种非唯一性是多输入多输入系统与

30、单输入系统极点配置问题主要区别之一系统与单输入系统极点配置问题主要区别之一。如何充分利用K的自由参数,以满足系统其它性能的要求,是多输入系统状态反馈设计的一个活跃的研究领域。3332313035343332312928272621202322211918171615141311101100000000010000000001000000000010000000000100000000010ASSA极点配置算法极点配置算法2：给定n维多输入多输入连续时间线性时不变受控系统A,B和一组任意期望闭环特征值 *1,n要求确定一个pn状态反馈矩阵K，使 niBKAii, 2 , 1,)(*step1.将

31、能控矩阵对 A,B化为龙伯格龙伯格能控规范型。设；100000000000010000010000001BSB33*3332*3231*3130*302928272621*2120*20291928182717261621*211520*201412*1211*1110*1000)()(000000Kstep3: 对龙伯格龙伯格能控规范型 ，按如下形式选取pn状态反馈矩阵 ，例如：AKstep2: 将期望闭环特征值组 ，按龙伯格龙伯格能控规范型 的对角块阵个数和维数，分组并计算每组对应的特征多项式 ，例如：*1,n*10*112*123*31*1)()(sssssii*20*212*54*2)

32、()(ssssii*30*312*323*334*96*3)()(ssssssiiBA,step5.计算所求状态反馈矩阵 。注： 此算法有两个优点：(1)计算过程规范(2)状态反馈矩阵的元比算法1小得多。step6.停止计算step4: 计算化A,B为为龙伯格龙伯格能控规范型 的变换矩阵 。1SBA,1SKK极点配置算法极点配置算法3：给定n维多输入多输入连续时间线性时不变受控系统A,B和一组任意期望闭环特征值 *1,n要求确定一个pn状态反馈矩阵K，使 niBKAii, 2 , 1,)(*，并引入附加限制：niAii, 2 , 1),(*Step1.任意选取一个nn实常阵F ，使满足 niF

33、ii, 2 , 1,)(*Step1.任意选取一个nn实常阵F ，使满足 niFii, 2 , 1,)(*作为参考，F阵可按如下方式选取，由期望闭环特征值组 导出相应特征多项式 *1,n*0*11*1*1*)()(sssssnnnini引入任意非奇异实常阵H，可将F阵取为：11101000001000010HHFnStep2.任意选取一个Pn实常阵 ，使 为能观测。KKF,Step3.对给定矩阵A,B,F和 ，求解希尔维斯特(sylvester)方程。KKBTFAT的nn非奇异解阵T。step4.判断T非奇异性。若T非奇异，继续，否则返回step2重新选择 。Kstep6.计算所求状态反馈矩阵

34、 。注： 此算法有两个特点：(1)相对于算法2，避免了化A,B为为龙伯格龙伯格能控规范型 的过程。(2)主要计算步骤为求解希尔维斯特(sylvester)方程非奇异解阵T 。step7.停止计算step5: 计算 。1T1TKKBA,状态反馈对系统传递函数矩阵零点的影响状态反馈对系统传递函数矩阵零点的影响 结论：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统，引入状态反馈任意配置传递函数全部n个极点的同时，一般不影响其零点。 注：实际上，通过状态反馈有可能将g(s)的部分极点配置为与g(s)的零点相重，构成零极点对消从而对零点产生影响。这也是对状态反馈不能保证能观测性的一个直观解释。单输入单

35、输出情形单输入单输出情形结论：对完全能控n维多输入多输出连续时间线性时不变系统，状态反馈在配置传递函数矩阵全部n个极点同时，一般不影响其零点。定义：设完全能控能控多输入多输出连续时间线性时不变系统 CxyBuAxx其传递函数矩阵G(s)=C(SI-A) -1 B, G(s)的极点为其特征方程式的根。 零点定义零点定义: 使得使得 ),min(0qpnCBASIrank的所有的所有s值值 多输入多输出情形多输入多输出情形注：实际上，G(s)的每个元传递函数的零点有可能改变。推论1：对相同极点配置的不同K1和K2，其对应的闭环传递函数矩阵C(SI-A+BK1) -1 B和C(SI-A+BK2) -

36、1 B一般不同，从而系统的状态响应和输出响应也不同。推论2：在极点配置综合问题中，一个状态反馈矩阵被称为是较好的状态反馈矩阵被称为是较好的，如果其元反馈系数总体较小反馈系数总体较小和闭环系统的响应较好闭环系统的响应较好。算法2：基于龙伯格能控规范型的算法较好。结论：对完全能控连续时间线性时不变受控系统 CxyBuAxx采用输出反馈 vFyu，一般不能任意任意配置系统全部极点。 结论：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变受控系统 CxyBuAxx采用输出反馈 ，只能使用闭环系统极点配置到根轨迹上，而不能任意配置到根轨迹以外位置上。 vFyuniBFCAii, 2 , 1,)(*Cxytx

37、xBxBFCAx0)0()(:0yf 通过合理选取补偿器结构和特性，可对带补偿器输出反馈系统的全部极点进行任意任意配置。 BCAx xyu并联补偿器并联补偿器串联补偿器串联补偿器5.5 5.5 镇定问题镇定问题镇定问题镇定问题 非渐近稳定系统通过引入状态反馈，实现渐近稳定非渐近稳定系统通过引入状态反馈，实现渐近稳定（23）定理定理5-25-2 SISO线性定常系统方程为线性定常系统方程为CxbAxxyu显然，能控系统可以通过状态反馈实现镇定。显然，能控系统可以通过状态反馈实现镇定。如果系统不能控，引入状态反馈能镇定的充要条件为：不能控的状如果系统不能控，引入状态反馈能镇定的充要条件为：不能控的

38、状态分量是渐近稳定的。态分量是渐近稳定的。那么，如果系统不能控，还能不能镇定呢？请见定理那么，如果系统不能控，还能不能镇定呢？请见定理5-2。CCC12CCCCxxAAbuxx0A0CCCCxyCC x有能控分解得有能控分解得系统系统 （23）不能控且状态）不能控且状态 有有 个状态分量能控，个状态分量能控，则存在线性变换则存在线性变换 ，使其变换成下面形式，使其变换成下面形式x1nxPxC显然显然CCCC1CCxA xb uyC xCCC2CCxA xyC x能控能控不能控不能控显然，显然， 的特征值有 和 的特征值共同组成。C12CCCdetIAdetIAIA-AdetdetIAdetIA

39、0IAssssss引入状态反馈，令反馈矩阵为引入状态反馈，令反馈矩阵为 ，则有，则有ACACA12KkkC12CC112C2C12CCAAAbAbbA-bK0A0A0kkkkCC1CdetI(A-bK)detIAbdetIAssks负实部负实部当系统满足可镇定的条件时，状态反馈阵的计算步骤为当系统满足可镇定的条件时，状态反馈阵的计算步骤为1） 将系统按能控性进行结构分解，确定变换矩阵将系统按能控性进行结构分解，确定变换矩阵1PCA2）确定）确定 ，化，化 为约当形式为约当形式2PCA3） 利用状态反馈配置利用状态反馈配置 的特征值，计算的特征值，计算1A1K4） 所求镇定系统的反馈阵所求镇定系

40、统的反馈阵1210PPKK 例例5-55-5 系统的状态方程为系统的状态方程为u011500020001xx 试用状态反馈来镇定系统。试用状态反馈来镇定系统。解解 矩阵矩阵A 为对角阵，显然系统不能控。不能控的子系统特征值为为对角阵，显然系统不能控。不能控的子系统特征值为-5，因此，系统可以镇定。，因此，系统可以镇定。能控子系统方程为能控子系统方程为uuCCCCC112001xbxAx引入状态反馈引入状态反馈CVuxK其中其中21kkK为了保证系统是渐近稳定的，设希望极点为为了保证系统是渐近稳定的，设希望极点为222, 1js84)(2*sssK2121221122)3(11200100det

41、)(det)(kkskkskkssssCKKbAI同次幂系数相等，得同次幂系数相等，得131k202k例例 系统的状态方程为系统的状态方程为0100100 x001 x1,0011000u yx 试用输出反馈来镇定系统，如不能，说明理由试用输出反馈来镇定系统，如不能，说明理由解解 系统特征多项式为系统特征多项式为310sI-A01110ssss显然显然 系统是不稳定的。再有系统是不稳定的。再有2010100001bAbA b 显然显然 秩为秩为3 3能观矩阵加入输出反馈，u=-Hy+r, 其中 ，代入原系统可得12120100100A-bHC0011001100001001100hhhh 故，

42、闭环系统的特征多项式为故，闭环系统的特征多项式为3121210()1(1)10ssIAbHChshsh shs由于缺少由于缺少s s2 2 项，不项，不能使得系统稳定能使得系统稳定2100001010100001010CCACA显然显然 秩为秩为3 3，即系统，即系统是完全能控能观的是完全能控能观的12Hhh5.6 5.6 状态重构和状态观测器状态重构和状态观测器问题的提出：状态反馈可以改善系统性能，但有时不便于检测。问题的提出：状态反馈可以改善系统性能，但有时不便于检测。如何解决这个问题？如何解决这个问题？答案是：重构一个系统，用这个系统的状态来实现状态反馈。答案是：重构一个系统，用这个系统

43、的状态来实现状态反馈。（24）系统方程为系统方程为)0()(0 xxCxyBuAxxt（25）重构一个系统，该系统的各参数与原系统相同重构一个系统，该系统的各参数与原系统相同xCyBuxAx（24）式减去（）式减去（25）式）式) () (xxCyyxxAxx（26）当两个系统的初始状态完全一致，参数也完全一致，则当两个系统的初始状态完全一致，参数也完全一致，则 。但。但是实际系统总会有一些差别，因此实际上是实际系统总会有一些差别，因此实际上 。xxxx（27）当当 时，时， 也不为零，可以引入信号也不为零，可以引入信号 来校正系统来校正系统（25），它就成为了状态观测器。），它就成为了状态观

44、测器。 xxy-y) (y-yGyBuxGCAxxGCBuxAyyGBuxAx)() () (其中，其中， 为为 矩阵矩阵Gnn（24）式减去（）式减去（27）式）式) )()(x-xGCAGyBuxGCABuAxx-x（28）由（由（28）式可知，如果适当选择）式可知，如果适当选择G 矩阵，使矩阵，使(A-GC) 的所有特征值的所有特征值具有负实部，则具有负实部，则式（式（27）系统就是式（）系统就是式（24）系统的状态观测器，）系统的状态观测器， 就是重构的状态。就是重构的状态。0) (limxxtx 定理定理5-3 系统的状态观测器存在的充分必要条件是：系统能观测，系统的状态观测器存在的

45、充分必要条件是：系统能观测，或者系统虽然不能观测，但是其不能观测的子系统的特征值具有负或者系统虽然不能观测，但是其不能观测的子系统的特征值具有负实部。实部。（证明请参见教材（证明请参见教材167页）页）定理定理5-4 线性定常系统线性定常系统 的观测器的观测器 CxyBuAxxGyBuxGCAx)(（30）可任意配置极点的充分必要条件是系统能观测并且能控。可任意配置极点的充分必要条件是系统能观测并且能控。例例5-6 系统方程为系统方程为u101200120001xx x011y要求设计系统的状态观测器，其特征值为要求设计系统的状态观测器，其特征值为3、4、5。解解首先判断系统的能观测性首先判断

46、系统的能观测性441121011CQ3rankCQ系统能观测，可设计观测器。系统能观测，可设计观测器。设：设：210gggG其中其中 ， 待定待定ig)2, 1, 0( i希望特征值对应的特征多项式希望特征值对应的特征多项式604712)5)(4)(3()(23*sssssssG)424()834()5(det2102102103gggsgggsggssGGCAI而状态观测器的特征多项式而状态观测器的特征多项式同次幂系数分别相等，可以得出同次幂系数分别相等，可以得出210103120210gggG几点说明：几点说明：1） 希望的特征值一定要具有负实部，且要比原系统的特征值更希望的特征值一定要具

47、有负实部，且要比原系统的特征值更负。这样重构的状态才可以尽快地趋近原系统状态。负。这样重构的状态才可以尽快地趋近原系统状态。2）状态观测器的特征值与原系统的特征值相比，又不能太负，否）状态观测器的特征值与原系统的特征值相比，又不能太负，否则，抗干扰能力降低。则，抗干扰能力降低。3）选择观测器特征值时，应该考虑到不至于因为参数变化而会有）选择观测器特征值时，应该考虑到不至于因为参数变化而会有较大的变化，从而可能使系统不稳定。较大的变化，从而可能使系统不稳定。5.7 5.7 降阶观测器降阶观测器1. 降阶观测器的维数降阶观测器的维数定理定理 5-5 若系统能观测，且若系统能观测，且rankC =

48、m，则系统的状态观测器的最，则系统的状态观测器的最小维数是小维数是(n-m)。（证明略）（证明略）21CCCmCrank因为有因为有m 维可以通过观测维可以通过观测 y 得到，因此有得到，因此有(n-m)维需要观测。维需要观测。CxyBuAxx对系统方程对系统方程采用变换矩阵采用变换矩阵210CCIP进行线性变换，进行线性变换，Pxx 1 PAPAPBB 1 CPC（31）得到如下形式的系统方程得到如下形式的系统方程221212122211211210 xxxIyuBBxxAAAAxx可见可见 可以通过可以通过 观测到，需要对观测到，需要对 维的维的 进行估计。进行估计。2xy)(mn1x因此

49、，降阶观测器的维数为因此，降阶观测器的维数为(n-m)2. 降阶观测器存在的条件及其构成降阶观测器存在的条件及其构成将（将（31）式改写成）式改写成uByAxAuBxAxAx11211112121111（32）（33）uByAxAyx2221212（34）令令121222xAuByAyy 于是有于是有(n-m) 阶的子系统：阶的子系统：121xAy u)ByAxAx1121111(（35）以下构造这个子系统的状态观测器以下构造这个子系统的状态观测器（36）yGyAGAuBGBxAGAyGuByAxAGAx12211221112111111121211111)()()()()(因为子系统能观测，

50、所以，通过选择因为子系统能观测，所以，通过选择 的参数，可以配置的参数，可以配置的特征值。的特征值。1G)(21111AAG为了在观测器中不出现微分项，引入以下变换，为了在观测器中不出现微分项，引入以下变换，（37）yGxz11yGxz11yGzx11yGzx11即即（37）式代入（）式代入（36），得），得yAGAGAGAuBGBzAGAz)()()(2211212111121121111由于由于21xxx故故00limlim111 xxyyGzxtt（38）因此，因此， 是是 的估计。的估计。 yyGz1x（39）yzyGQQxQxPx1211状态图中状态图中)(221121211111A

51、GAGAGAG已知系统：已知系统： xyuxx12110001试构造一降维观测器试构造一降维观测器解解 系统完全能观测系统完全能观测 令令 01212112101QQ1011110011CQCQBBQAQA设降维观测器的特征值为设降维观测器的特征值为-10，H=hhAHAI)(2111希望的特征多项式为希望的特征多项式为+10，故，故H=10，降维观测器为：，降维观测器为： ywyIHwIxxxyuwwyHAHAAHAuBHBwAHAw101010110910)()()(2121112212212111原系统状态向量估计值为原系统状态向量估计值为 ywxQx101211211原系统及其降维观测

52、器如下原系统及其降维观测器如下 s11x 10 x1xs12x 20 x2x21s1w 0ww10110921211101 x2 xuyxyuxx12110001yuww110910原系统原系统降维观测器降维观测器现提出两个问题：现提出两个问题：1，用状态估计进行状态反馈和用，用状态估计进行状态反馈和用x进行状态反馈对系统特进行状态反馈对系统特性的影响是否一致，或者说系统的闭环传递矩阵是否一致？性的影响是否一致，或者说系统的闭环传递矩阵是否一致？2，进行状态反馈设计时的，进行状态反馈设计时的K阵和观测器设计时的阵和观测器设计时的G阵能否阵能否分开设计？分开设计？（A、B、C）状态观测器Kx y

53、uv5.8 5.8 带有状态观测器的状态反馈系统带有状态观测器的状态反馈系统SISO线性定常系统线性定常系统CxBAxxyu（40）全阶状态观测器全阶状态观测器yuGbxGCAx)(（41）状态反馈状态反馈xKVu（42）还有还有VbxbKAxxVbxbKGCAGCxx)(Cxy写成矩阵形式写成矩阵形式VbbxxbKGCAGCbKAxx（43）xxC0y作线性变换作线性变换IIIP0IIIP01xxxxxxxIIIxxP0（44）其中其中 为误差估计为误差估计xxx对（对（43）式进行线性变换，得到如下方程）式进行线性变换，得到如下方程VV00000bxxGCAbKbKAbbIIIxxIIIb

54、KGCAGCbKAIIIxxxxCxxIIIC000y（45）)det()det(0detGCAsIbKAsGCAsIbKbKAsII（46）xx bKAGCAGCAbKA由上式可见，由上式可见， 的特征值与的特征值与 的特征值可以分别配置，的特征值可以分别配置，互不影响。互不影响。 这种这种 的特征值和的特征值和 特征值可以分别配置，特征值可以分别配置，互不影响的方法，称为分离定理。需要注意：互不影响的方法，称为分离定理。需要注意： 的特征值应该的特征值应该比比 的特征值更负，一般为四倍左右，才能够保证的特征值更负，一般为四倍左右，才能够保证 尽快跟尽快跟上上 ，正常地实现状态反馈。，正常地

55、实现状态反馈。bKAGCA这时传递函数为这时传递函数为bbKAsCbGCAsIbKbKAsC11000)(IIsgK设系统的传递函数为设系统的传递函数为 )6(1)(sssG希望利用状态反馈使闭环极点为希望利用状态反馈使闭环极点为-4j6，并求实现这个反馈的二维及一，并求实现这个反馈的二维及一维观测器。维观测器。 解解 1：建立能观测标准形实现：建立能观测标准形实现 xyuxx10016100系统也是能控的系统也是能控的 2：求状态反馈阵：求状态反馈阵K，设，设K=k1，k2，系统特征方程，系统特征方程式：式：06)6()(2112kksksbKAsI希望的特征方程式希望的特征方程式0528)

56、64)(64(2ssjsjsK=2，40 3：求二维观测器，设其极点为：求二维观测器，设其极点为s1=s2=- -10，H=h1，h2T 221()(6)0sIAGcsh sh希望的特征方希望的特征方程式程式 010020)10(22sssG=100，14T观测器方程观测器方程 yuxxHyBuxHcAx14100012011000)(系统结构图系统结构图 )6(1sss11 x1001 xs12 x2 x100201414240uyv-4：求一维观测器，设其极点为：求一维观测器，设其极点为s1=-10，G=h 1121()0sIAGAsh希望的特征方程式希望的特征方程式s+10=0G=10

57、1121121222112112()()()() 104010wAGAwBGB uAGAAGAG ywwuyxwyxxy 观测器方程观测器方程系统结构图系统结构图 )6(1sss1w 40w2 x1024010101 xyuv-5.9 5.9 渐近跟踪与干扰抑制问题渐近跟踪与干扰抑制问题5.9.1 渐近跟踪问题渐近跟踪问题右图所示反馈控制系统右图所示反馈控制系统)()()(sdsnsggg)()()(sdsnsgCCC一般很难做到在所有时间上都有一般很难做到在所有时间上都有 ， 但但 ， 就有可能做到，即：就有可能做到，即：)()(trtyt)()(trty0)()(lim)(limtytrt

58、ett稳态时，实现了稳态时，实现了 跟踪跟踪 ，称为渐近跟踪。，称为渐近跟踪。)(ty)(tr在经典控制理论中，已经讨论过典型输入信号时的情况。在经典控制理论中，已经讨论过典型输入信号时的情况。)(ty)(tr 但是，对于但是，对于 不是典型输入信号，则不是典型输入信号，则 跟踪跟踪 的条件是什的条件是什么？么？)(tr输入和误差信号的拉氏变换式分别为输入和误差信号的拉氏变换式分别为)()()(sdsnsRrr)()()()()()()()()(sdsnsnsnsdsdsdsdsErrCgCgCg显然，输入信号的分母显然，输入信号的分母 中那些实部为负的根，当中那些实部为负的根，当 时时对稳态

59、误差无影响；只有那些位于对稳态误差无影响；只有那些位于 右半闭平面（包括虚轴的右半右半闭平面（包括虚轴的右半平面）的根，对稳态误差有影响。平面）的根，对稳态误差有影响。0)(sdrts当当 的全部极点位于的全部极点位于 左半开平面时，要使左半开平面时，要使s)(ssE0)()()()()()()()(lim)(lim)(lim00sdsnsnsnsdsdsdsdsssEteerrCgCgCgsstss必须有必须有1） 的所有根实部均为负。的所有根实部均为负。0)()()()(snsnsdsdCgCg)(sdr2） 在在 右半闭平面的零点也是右半闭平面的零点也是 的零点。的零点。s)()(sds

60、dCg上面两个条件成立时，就实现了渐近跟踪，即上面两个条件成立时，就实现了渐近跟踪，即 有有 。其中，第其中，第2个条件就是著名的内模原理。个条件就是著名的内模原理。t)()(trty5.9.2 内模原理内模原理)()(ssdrg假定假定 的某些根具有零实部或正实部，令的某些根具有零实部或正实部，令 是是 中不稳定的中不稳定的极点构成的多项式。极点构成的多项式。 和和 互质。则互质。则)(sdr)(sr)(sR)(sng)()()()()()()()()()()()()(sdssnsnsdssdsnsdsdsYsRsErrgCgrCrgC)(snC 由于由于 中的不稳定的零点均被中的不稳定的零