第六章流体动力学积分形式基本方程

1、流流 体体 力力 学学顾伯勤 主编研 究 生 教 材 退 出中国科学文化出版社第二篇 流体动力学基本原理及流体工程 流体动力学微分形式基本方程 流体动力学积分形式基本方程 伯努利方程及其应用 量纲分析和相似原理 流动阻力与管道计算 边界层理论 流体绕过物体的流动 气体动力学基础 第五章第六章第七章第八章第九章退 出返 回第十章第十一章第十二章 流体动力学的基本方程可以对系统建立，也可以对控制体建立，所谓系统是指确定不变的物质的组合。所谓控制体是指相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称为控制面。三大守恒定律的原始形式是对系统建立的，但在许多流体力学实际问题中如对控制体建立方程，应用起来

2、更为方便。所以流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体建立的。求解对有限控制体建立的积分形式基本方程，可以给出流体动力学问题的总体性能关系，如流体与物体间作用的合力和总的能量交换等。本章讨论流体动力学的积分形式基本方程。 第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第1页页第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第2页页第一节 连续性方程如图6.1所示，令为控制体体积，A为控制面面积，n为Ad法线单位向量，w和分别为流体速度和密度。将质量守恒定律应用于控制体可知，控制面外其数学表达式为ddtAAnw式（6.1）称为积分形式连续性方程。对于定常流动，上式等号右边为零。若控制体由流

3、管及其进出口横截面A1，A2构成，且假设进出口1、2、1w、2w均为常数，则（6.1）式变为（6.1）截面上流动参数均匀，即mAwAw222111（6.2）式中m 为流管内的质量流量（kg/s）。该式仅适用于定常流动。如流体是不可压缩的，则（6.2）式可写成QAwAw2211 （6.3）第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第3页页第一节 连续性方程图6.1 控制体和控制面wnpndAAn1n2w2A2A1w1qRdRRoFq式中Q为流管内的体积流量（m3/s）。应该指出，对不可压缩流体，0ddtt所以（6.3）式也适用于不定常流动。应该指出，对不可压缩流体，如图6.1所示，令 为

4、流体应力，即外部作用于 控制面上单位面积的力，p为压力， 为外部作用于 控制体上单位质量流体的质量力。在重力场中 ， 为重力加速度。将动量守恒定律应用于控制体 可知， 第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第1页页第二节 动量方程 npAdFdgF g一、静止控制体的动量方程作用于控制体上的力为dF作用于控制面上的力为AnAdp单位时间内控制体内动量的增量为dwt单位时间内通过控制面流入控制体的动量为AAdwnw第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第2页页第二节 动量方程 按照动量守恒定律可写出静止控制体的动量方程：ddddwpFwnwtAAAnA对于定常流动0d w

5、t，则（6.4）式变为AnAAAdddpFwnw（6.5）（6.4）（6.5）式表示定常流动时作用于控制面和控制体上的力之和等于单位定常流动时作用于控制面和控制体上的力之和等于单位时间内流出控制体的动量时间内流出控制体的动量。例题例题6.1 如图6.2所示，不可压流体定常流过截面积为A的等截面弯管，求流体作用于弯管上的力F。已知进出口截面流动均匀，忽略质量力，且已知w1，A，p1，p2及出口截面方向。第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第3页页第二节 动量方程 图6.2 流体流过等截面弯管p1w2 yw1Fyxp2Fxo解解：选取流体与弯管壁面的交界面及进出口截面为控制面，并选取

6、xoy坐标系。已知in1，sincos2jin，111pnnp，222pnnp， inw1111wwsincos2222jinwww，21，21AA ，0dg，bAnAdpF，这里Ab为弯管壁面面积，代入（6.5）式得sincossincos2221212211jiiFjiiAwAwApAp又由连续性方程（6.3）可知12112wAAww第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第4页页第二节 动量方程 代入上式得到流体对弯管的作用力sincos1cos2122121AwpAwppFFyxjijiF二、运动控制体的动量方程控制体速度为u，流体在控制体内运动的相对速度为rw，其绝对速度为

7、rwuw ，参照静止控制体的动量方程（6.4），可推导出 运动控制体的动量方程。流入控制体的动量为ArArrArrAAAAAddddnwuwnwwnuwwnw单位时间内控制体内动量的增加dddddddtttttttrrruuwuwuww（b）（a）第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第5页页第二节 动量方程 将式（a），（b）代入式（6.4）得到dddddddtttAAArAnArArruuwpFnwuwnw由连续性方程可知0ddArAtnwuu，则（c）式变为dddddttAArAnArruwpFwnw（6.6）式称为运动控制体的动量方程。（c）（6.6）例题例题6.2 求如图

8、6.3（a）所示的以速度U垂直上升的火箭的加速度。解：首先求火箭发动机排出气体对火箭壳体的作用力。选取燃烧室内的气体作为控制体，由于火箭不需要空气，所以控制面没有进口。 第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第6页页第二节 动量方程 w图6.3 垂直上升的火箭U p pamRFxAw pAmRgFdFx papm (b)(a)(c)火箭发动机喷嘴的截面积为A，燃烧室内气体的质量为mf ，排出气体的质量流率为 、相对速度为w、压力为p，火箭壳体对气体的作用力为Fx，大气压力为pa，如图6.3（b）所示。若燃烧室内的流动是稳定的，则由（6.6）式可以得到pm tUmwmppAFfpax

9、dd)(现在考虑火箭壳体的受力，火箭的质量为mR、受阻力Fd（图6.3（c），则tUmgmFFRRdxdd第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第7页页第二节 动量方程 由于燃烧室内气体的质量相对于火箭总质量为一微量，则由上面两式可以求得火箭运动的加速度为RRdapmgmFAppwmtU)(dd第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第1页页第三节 动量矩方程 如图6.1所示，o为某一参考点，R为为o点到控制面Ad或控制体d的向径，其它符号同前。将动量矩守恒定律应用于控制体 可知：单位时间内流入控制体的动量以及作用于控制体与控制面上的外力对参考点o之矩等于单位时间内控制体

10、内对同一点的动量矩的增量。 作用于控制面上的力矩为AnAdpR作用于控制体上的力矩为dFR通过控制面流入控制体的动量矩为AAdwRnw单位时间内控制体内动量矩的增量dwRtddddwRFRpRwRnwtAAAnA按动量矩守恒定律得到其数学表达式为（6.7）（6.7）式称为积分形式的动量矩方程，对于定常流动，（6.7）式等号右端为零。 处叶轮进出口圆周为控制面，由于对称性，当对轴心取力矩时，重力和压力的力矩为零。第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第2页页第三节 动量矩方程 2图6.4 离心压缩机叶轮u2r2u1c2w2 1c1w1r1o例题例题6.3 如图6.4所示，离心压缩机叶

11、轮转速为 ，带动流体一起旋转，圆周速度为 ，流体沿叶片流动速度为 ，流量为Q，流体密度为 ，求叶轮传递给流体的功率。uw解解：流体绝对速度为wuc当叶片足够多时，可认为流动是稳定的。取1r，2r设叶轮作用于流体的力矩为M，由（6.7）式可以得到0coscos222111rcQrcQM 第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第3页页第三节 动量矩方程 上式化简得到111222coscosrcrcQM因为MN 所以所求叶轮传递给流体的功率为111222111222coscoscoscosucucQrcrcQN第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第1页页第四节 能量方程 一

12、、能量方程的建立如图6.1所示， 为外部给予控制面 上单位时间单位面积的传导热， 为外部给予控制体 上单位时间单位质量流体非热传导的热, 如辐射热、化学生成热等，e为单位质量流体的广义内能，如热力学中的内能，电磁能等，z为向上度量的铅垂高度，其它符号意义同前。将能量守恒定律应用于控制体可知：单位时间内流入控制体的能量，外部传入的热量以及外力所作的功的总和等于单位时间内控制体内能量的增加。其数学表达式为qAdRqdd2d2dddd22wetAweAqAqAAnRAnwwFwp（6.8）式称为积分形式的能量方程。（6.8）第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第2页页第四节 能量方程

13、二、能量方程的简化对于定常（0t）、绝热（0Rqq）、质量力有势（UF理想流体（pnnp）的流动，（6.8）式简化为）、0d2dd2AweUApAAnwwwn但dddwwwUUU而AAUUddwnw由连续性方程，定常流动时0w，因而0dwU。于是有0d22AAUpwenw（6.9）（广义高斯定理）第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第3页页第四节 能量方程 （6.9）式是定常绝热理想流体质量力有势时的能量方程。式中 可视为单位质量流体的总能量，它是内能e、动能 、压力势能 和质量力势U 的总和。（6.9）式的物理意义是单位时间流进和流出控制面的总能量的代数和为零。重力场中 称为单

14、位质量的位能。Upwe2222wpgzU 对于细小流管，其截面上参数可认为是均匀的，于是由（6.9）式可得到const22Upwe（6.10）式可理解为定常绝热理想流体质量力有势条件下，沿流线单位质量流体的总能量保持不变。这就是伯努利方程。（6.10）对于质量力为重力、理想不可压缩流体非绝热定常流动，若满足0q则控制体内流体内能的增量将由辐射热提供，于是有teqRdd，即dddddddetteqR（6.11）第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第4页页第四节 能量方程 据系统导数公式（输运公式），有AeetetAdddddnw稳定流动时由式（6.11）、（6.12）可得AeqAR

15、ddnw即由热辐射引起的控制体内流体内能的增量等于通过控制面的流体所具有的内能之和。将式（6.13）代入式（6.8），有0d22AAgzwpwn（6.14）（6.12）（6.13）对于微小流管及其任意两个流通截面构成的控制体，上式为const22gzpw这就是常用的重力场中理想不可压缩流体的伯努利方程式。（6.15）第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第5页页第四节 能量方程 im 图6.5 充气中的容器 piTip0，T0，V例题例题6.4 如图6.5所示一容器体积为V，通过管道充气，容器入口处的压力为ip，温度为iT，质量流量为im ，容器内初始状态为0p、0T绝热，不计重力

16、及进口动能，求容器内温度的变化规律。解：解：取容器内气体为控制体。由连续性方程，AtAd)(dnw即imtmdd上式积分得到t时刻容器内流体的质量为：tmmmi0由理想气体状态方程000RTMmVp得到第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第6页页第四节 能量方程 000RTVMpm 由题意知0Rqq，0F，022w，则可由（6.8）式得到emtmempiiiiddivvimTCtTCtmmtmetememtdddddddd0因为ipiiiiiiiiTCmepmmemp所以ipiivviTCmmTCtTCtmmdd0上式化简为tmmTkTmtTiii0dd其中k为绝热指数，vpCCk （a）第六章 流体动力学积分形式基本方程 退 出返 回第第7页页第四节 能量方程 （a）式积分得到CtmmTkTiil