补充的数学知识自动控制原理

1、 补充数学知识: 拉普拉斯变换 一个线性系统可以用线性微分方程描述,也可以用复数域的拉氏变换描述。拉氏变换计算方便。 一.定义 dtetfsFst0js sF为象函数, tf为原函数as 1ate21st1!nsnnt22stsin22sstcos21as attersas1rtateear1 sF tf t1 t1s1常用拉氏变换的对应函数二 基本定理定理1（线性定理）设 为常数,则 sFsFtftfL2121 sFtfL11 sFtfL22设定理3（复位移定理）则 asFetfLat0Re as sFtfL为常数a,设定理2（相似定理） 为大于零的常数 sFtfL设sFtfL1或sFtfL

2、则定理6（象函数微分定理）则 sFsFdsdttfL同理 sFtftLnn sFtfL设定理5（原函数微分定理） sFtfL则 0fssFtfL同理 00001221nnnnnnfsffsfssFstfL设定理4（实位移定理）则 sFetfLs sFtfL,为任意正数设定理7（原函数积分定理） sFtfL同理则 sdttfssFdfLtt00 0101011211nnnnnnfsfsfssFstdtfL定理8（象函数积分定理） sFtfL则 sdssF,且 存在 ttfLdssFs设设定理9（初值定理） sFtfL则 ssFtffsslimlim00 ssFslim,且 存在定理11（卷积定理

3、） sFtfL sGtgL则 为 的卷积,记为 0dtgf tgtf, tgtf*有 sGsFdtgfLtgtfLt0*设定理10（终值定理）则 ssFfs0lim sFtfL,且 存在 tftlim设设三 拉氏反变换是象函数还原到原函数的变换1.零、极点概念 定义: dssFejtfjcjcst21 应用定义公式很麻烦,所以可以查P.369表求反变换,还可以应用部分分式法.例 32421sssssF为二阶零点, 为一阶极点, 为一阶极点, 1s0s4s2s为三阶极点. msFsssFm,100ss sFsF, 01sp如 为整数, 在 平面处有 个零点,当 时 为 的零点， m0ss 0,s

4、F0,ss sFn nsssFsFn,010ss sFsF, 01sp如 为整数, 在 平面处有 阶极点,当 时0ss sF,0ss 。为 的极点。 sF则拉氏反变换为2.部分分式法 tsntstsnnneaeaeassassassaLsFLtf2121221111naaa,21式中 为待定系数,分别为 在极点 的留数。 sFnsss,21已知 ,且 为有理多项式, 的阶数不 sAsBsF sAsB, sB高于 的阶数。 sA nisAsBsssAsBaiissiii, 2 , 1 iissisAsBdssdAsAi故拉氏反变换可以写成 ninitsiitsiiiesAsBeatf11 nns

5、sassassasF2211如果 只含不同实数的极点，展开 后 sF sF(A)解:例 213ssssF 2121sasasF2232113111ssssssssa1132123222ssssssssa 2112sssF tteetf22 112121ssssasasssssF nnssassassssasasAsBsF332121如果 含有共轭复数极点，(即 的根存在共轭复数) sF 0sA(B)naa,3式中 为一对共轭复数根, 为互不相同的实根,21,ssnss ,3求法与前述相同, 的求法如下:21,aa将 乘上式两边,令 代入上式,则式为21ssss1ss 例 求 112sssssF

6、 tf解: sassasasF322110,866.05 .0,866.05 .0321sjsjs将 乘上式,有12 ss 11121211ssssssasasssssF即866.05 .021866.05 .01jsjsasass将 代入整理后1s866.05 .0866.05 .0866.05 .0221jajaj实部相等215 .05 .05 .0aa 21866.0866.0866.0aa 虚部相等联立求得0, 121aa同样求得13a 22222866.05 .05 .0866.05 .05 .0111sssssssssF查反变换表得 tetesFLtftt866.0sin578.0

7、866.0cos15 .05 .01 sAsBsF如果 含有多重极点，(即 有多重根) sF 0sA(C) nrrsssssssA11而其中 为 的 重极点,这时 的部分分式为1ss sFr sF nnrrrrrssassassassassasF11111211求 的方式为,将 乘等式两边,令raa,1rss11ss rssrsssssFdsdasssFa121111lim,lim则 rrrssrrsssssFdsdrasssFdsda1111223!11lim!21lim11而 的求法同前。nraa,1解:例 求 2213ssssF 1223221sasasasF 113212322221s

8、sssssssa 22311132ssssssFa 1222212ssssF ttteetetf22221,2321sss为重极点 tf 213212322222ssssssssa用拉氏变换求线性微分方程四1 步骤p对方程中每一项求拉氏变换，微分方程变成代数方程；p求代数方程；p将代数方程进行拉氏反变换得微分方程的时间解。 0,0 xx2 举例 求 微分方程， tftxtxtx1001 .001.0 tf为初始条件， 为单位阶跃函数。解：根据原函数微分定理对上式求拉氏变换 000121nnnnnffsfssFstfL原函数微分定理则 0001.001.02xsxsXstxL 01 .01 .0

9、 xssXtxL sXtxL stLtfL11 sxxsxsXssXsXs10001 .0001.0001.01 .001.02故则 11 .001.0001.001 .001.011 .001.010022ssxxsssssX对 求拉氏反变换 sX 11 .001.0001.001 .001.011 .001.010021211ssxxsLsssLsXLtx右边第一项特征方程的根及留数为10, 1, 1,355, 03213,21aaajss对上式右边各项进行部分分式运算22222235533535551100100101011001001010000sssssssssss tftxtxtx

10、1001 .001.0 原式同理 22222355353500535550100100010sxxssxssxxs根据拉氏反变换公式得 texxtextetesxxssxLssssLsXLtxtttt35sin3503035cos035sin310035cos1001003553535030355503553351003555100100555522221222211如果初始条件为零，即 235sin32110035sin235cos233210010035sin310035cos1001005555tettetetetxtttt 000 xx本次课程作业本次课程作业（2）自动控制原理自动控制原理1)(sesXs)3()2(1)(3ssssX)22(1)(2sssssX1)(tetx1) 2) 3) 24131834432222ttttee