CH7数学物理定解问题

1、1 第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程2 数学物理方程常常来自于物理学、其它自然科学、技数学物理方程常常来自于物理学、其它自然科学、技术科学中，许多实际研究对象所涉及到的变量不仅仅是一术科学中，许多实际研究对象所涉及到的变量不仅仅是一个变量问题，可能会涉及到很多变量，这些多变量函数所个变量问题，可能会涉及到很多变量，这些多变量函数所满足的方程称为偏微分方程，有时也包括与此有关的积分满足的方程称为偏微分方程，有时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程。如：方程、微分积分方程。如： 描写电磁场运动的描写电磁场运动的Maxwell方程组方程组波传播满足的波动方程波传播满足的波动方程热传导满足的传

2、导方程热传导满足的传导方程粒子扩散满足的扩散方程粒子扩散满足的扩散方程电流、电压满足的电报方程电流、电压满足的电报方程描写微观粒子运动的描写微观粒子运动的 方程和方程和 方程方程dingeroSchr Dirac等等等等3重点重点1、定解问题的概念、定解问题的概念2、系统的边界条件和初始条件的写法；、系统的边界条件和初始条件的写法；3、行波法研究一维波动方程解的方法和解的表示、行波法研究一维波动方程解的方法和解的表示 形式、以及解的物理意义。形式、以及解的物理意义。第七章第七章 数学物理定解问题数学物理定解问题4 数学物理方程是从物理问题中导出的反映客观物理量在数学物理方程是从物理问题中导出的

3、反映客观物理量在各个地点、各个时刻之间相互制约关系的数学方程。换言之，各个地点、各个时刻之间相互制约关系的数学方程。换言之，是物理过程的数学表达。如是物理过程的数学表达。如 牛顿定律、热传导定律、热量牛顿定律、热传导定律、热量守恒定律、电荷守恒定律、高斯定律、电磁感应定律、胡克守恒定律、电荷守恒定律、高斯定律、电磁感应定律、胡克定律。定律。 同一问题不同环境下，其方程形式相同，即方程反映的同一问题不同环境下，其方程形式相同，即方程反映的是物理过程变化的规律。是物理过程变化的规律。 本篇介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关的定解本篇介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关的定解问题和这些问题的几

4、种常见解法。问题和这些问题的几种常见解法。第七章第七章 数学物理定解问题数学物理定解问题一、数学物理方程一、数学物理方程5二、边界问题二、边界问题-边界条件边界条件 对于具体的系统，要解出满足该系统所处条件下的方对于具体的系统，要解出满足该系统所处条件下的方程，必须考虑到系统周围的环境，不同系统，其周围环境程，必须考虑到系统周围的环境，不同系统，其周围环境不同，不同，即边界的区别。即使它们的满足同样的方程，但它即边界的区别。即使它们的满足同样的方程，但它们的解不应该相同。因此，需要知道系统周围环境所处的们的解不应该相同。因此，需要知道系统周围环境所处的状态。体现边界状态的数学方程称为边界条件。

5、状态。体现边界状态的数学方程称为边界条件。三、历史问题三、历史问题-初始条件初始条件 历史上的扰动对以后的状态会有很大的影响。比如：历史上的扰动对以后的状态会有很大的影响。比如：分别用薄的物体和厚的物体敲击同一弦，研究其后的振动。分别用薄的物体和厚的物体敲击同一弦，研究其后的振动。虽然，它们满足相同的数学方程，但初始情况不同，方程虽然，它们满足相同的数学方程，但初始情况不同，方程的解不应该相同。要求解方程必须知道初始扰动的情况。的解不应该相同。要求解方程必须知道初始扰动的情况。体现历史状态的数学方程称为初始条件。体现历史状态的数学方程称为初始条件。6定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了

6、问题的定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。特殊性，即个性。泛定方程：不带有边界他条件的方程称为泛定方程。泛定方程：不带有边界他条件的方程称为泛定方程。 它反映了问题的共性。它反映了问题的共性。具体的问题的求解的一般过程：具体的问题的求解的一般过程：1 1、根据系统的内在规律列出泛定方程、根据系统的内在规律列出泛定方程 客观规律客观规律2 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件初始条件 求解所必须用的求解所必须用的73 3、求解方法、求解方法 行波法、分离变量法、积分变行波法、分离变量法、积分变

7、换法、格林函数法、保角变换法换法、格林函数法、保角变换法1、常见的数学物理方程；、常见的数学物理方程；2、系统的边界条件和初始条件；、系统的边界条件和初始条件；3、将数学物理方程进行分类；、将数学物理方程进行分类；本章研究的问题有：87.1 7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出导出步骤：导出步骤：1 1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻 近部分与它的相互作用。近部分与它的相互作用。2 2、根据物理规律，以算式表达这个作用。、根据物理规律，以算式表达这个作用。3 3、化简、整理。、化简、整理。9一一、典型的方程的导出、典型

8、的方程的导出（自学第七章第一节）（自学第七章第一节）1、拉普拉斯方程、拉普拉斯方程2、泊松方程、泊松方程3、传导方程、传导方程4、波动方程、波动方程5、亥姆霍兹方程、亥姆霍兹方程10泊松方程泊松方程在充满了介电常数为在充满了介电常数为的电解质，电荷的体密度为的电解质，电荷的体密度为（x,y,z) )，研究该区域的静电场。研究该区域的静电场。 1.1.势函数势函数u(x,y,z)是根本量是根本量,;,;2.2.在所研究的区域中，任作一闭合曲面在所研究的区域中，任作一闭合曲面s s，围出一空间，围出一空间，由高斯定理：由高斯定理： dEddEsddsdssEE11因为因为所以所以11 uuEE若所

9、讨论区域无电荷，则为若所讨论区域无电荷，则为0 u u所以所以-此即泊松方程此即泊松方程-laplace-laplace方程方程四、方程的分类四、方程的分类121.数学物理方程的一般形式数学物理方程的一般形式0221221211fcuububuauauayxyyxyxx 其中11a，12a， 22a，1b，2b，c,f 只是 x,y 的函数 2.2.方程的分类方程的分类; ;按其符号，将方程化为三种类型按其符号，将方程化为三种类型; ; 二阶偏微商项的三个系数二阶偏微商项的三个系数 、11a、12a22a组成了一个判别式组成了一个判别式1211212aaa13(1)、双曲型02211212aa

10、a （2） 、抛物型02211212aaa （3）椭圆型02211212aaa 由判别式式知; 椭圆型抛物型双曲型 0u0u022xxtxxttuauau 3.3.三种典型方程的用途三种典型方程的用途141) 双曲型方程双曲型方程(Hyperbolic Equation)以波动方程以波动方程为代表的方程为代表的方程 它描绘了各向同性的弹性体中的波动、振动过程，或声它描绘了各向同性的弹性体中的波动、振动过程，或声波、波、电磁波的传播规律电磁波的传播规律 2) 抛物型方程抛物型方程(Parabolic Equation)：以热传导方程（或输运方程）以热传导方程（或输运方程）为代表为代表的方程的方程

11、 它主要描述扩散过程和热传导以及物质传输过程所满足的规律它主要描述扩散过程和热传导以及物质传输过程所满足的规律 fuaut2fuautt215双曲型方程和抛物型方程双曲型方程和抛物型方程都是随时间变化（或发展）的，都是随时间变化（或发展）的，有时也称为发展方程有时也称为发展方程. 3 3）椭圆型方程（）椭圆型方程（Elliptic EquationElliptic Equation）以泊松方程以泊松方程为代表的方程为代表的方程 它是描述物理现象中稳定过程规律的偏微分方程它是描述物理现象中稳定过程规律的偏微分方程. .在物理在物理现象中，它很好地描述了重力场、静电场、静磁场、稳恒流现象中，它很好

12、地描述了重力场、静电场、静磁场、稳恒流的速度势等规律的速度势等规律 当当 ， 即退化为拉普拉斯方程即退化为拉普拉斯方程0),(zyxf),(zyxfu 167 7、2 2 定解条件定解条件 一 初始条件 ：1.1.定义：定义： 是对所研究系统的在开始计时时刻的系统状态初是对所研究系统的在开始计时时刻的系统状态初 始分布始分布2.2.初始条件的特征：初始条件的特征： 偏微分方程的阶数对应于初始条件中的数目偏微分方程的阶数对应于初始条件中的数目: 一阶含时偏微分方程一阶含时偏微分方程 有一个初始条件有一个初始条件二阶含时偏微分方程二阶含时偏微分方程 有两个初始条件有两个初始条件1702 xxttu

13、au),(| ),(10zyxftzyxut ),(| ),(20zyxftzyxutt 3 3 、注意问题：、注意问题： 1 1）初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不）初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是一点处的情况。是一点处的情况。18 研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处的特定的特定“环环境境”，而周围环境的影响常体现为边界上的物理状况，即边，而周围环境的影响常体现为边界上的物理状况，即边界条件界条件 常见的线性边界条件分为三类：常见的线性边界条件分为三类：二二 边界条件边界条件 ：1.1.定义：定义： 系统的物理量始

14、终在边界上具有的情况。系统的物理量始终在边界上具有的情况。2.2.分类：分类： 第一类边界条件第一类边界条件: :直接给出了所研究的物理量在边界上的数值；直接给出了所研究的物理量在边界上的数值；第二类边界条件第二类边界条件: :给出了所研究的物理量在边界外法线方向给出了所研究的物理量在边界外法线方向 上方向导数的数值；上方向导数的数值； 第三类边界条件第三类边界条件: :给出了所研究的物理量及其外法向导数的给出了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值线性组合在边界上的数值. .19（1 1）第一类边界条件）第一类边界条件： 直接给出系统边界上物理量的函数形式直接给出系统边界上物理

15、量的函数形式 比如：弦的两端固定比如：弦的两端固定0| ),(| ),(0 lxxtxutxu若弦两端按某规律运动若弦两端按某规律运动)(| ),()(| ),(0tgtxutftxulxx 对于一维：对于一维： ),(0001,000tzyxfuzyx )(| ),(10tftxux 20（2 2）、第二类边界条件：）、第二类边界条件： 规定了系统边界上物理量法向方向上的方向导数的规定了系统边界上物理量法向方向上的方向导数的 函数形式。函数形式。|nu ),(0002,000tzyxfzyx 例例2 2：杆在杆在x= =a处绝热。处绝热。xqxuk axxq |0|axxuk 所以 0|ax

16、xu 0|axxu xx+dxx热流21例例3 3、弦振动中，在、弦振动中，在x= =a端为自由端。端为自由端。自由端说明弦在自由端说明弦在x= =a 处的受力处的受力无垂直于无垂直于x方向分量方向分量F=0|axxuT 0|axxu T1T2Bxa2a1uxx+dx22例例4:4:热传导的杆在热传导的杆在x=ax=a端自由冷却，自由冷却的意思是：端自由冷却，自由冷却的意思是：界面法向方向上的热流与杆端温度和环境的温差成正比界面法向方向上的热流与杆端温度和环境的温差成正比axnku |)|(axuh（环境为度） （u+hnu ）000,|zyx=),(0003tzyxf （ 3 33 3）、第

17、三类边界条件：）、第三类边界条件： 给出系统在边界上给出系统在边界上 u和和 的线性关系。的线性关系。 可写为可写为 unu23例例5 : 如图如图一个弹簧所施加的力一个弹簧所施加的力F(t)=-ku(l,t)，如图，如图所示，其所示，其 中中k是弹簧的劲度系是弹簧的劲度系数数. .给出边界条件给出边界条件. . 这种边界条件给出了边界上的这种边界条件给出了边界上的导数值与函数值之间的线性导数值与函数值之间的线性关系，即为第三类边界条件关系，即为第三类边界条件0),(| tlkuxuYSlx0|0 xxuYSx24边界条件概括为：边界条件概括为：总结：总结：)(| )(tfunuau 0a时时

18、 第一类边界条件第一类边界条件=0=0时时 第二类边界条件第二类边界条件0, 0a时，第三类边界条件时，第三类边界条件25（3 3）、系统几个边界就有几个边界条件）、系统几个边界就有几个边界条件3 3 注意的问题：注意的问题：（1 1）、边界条件中不是系统的初始条件）、边界条件中不是系统的初始条件（2 2）、边界条件只是时间的函数）、边界条件只是时间的函数1 1、定义：由于某种原因，物理量在某些点上发生突变，则使、定义：由于某种原因，物理量在某些点上发生突变，则使系统分为两部分或多部分，使偏微分方程为两部分或多部分。系统分为两部分或多部分，使偏微分方程为两部分或多部分。每个部分都满足同样的偏微分方程，但在这点（或