定积分计算功、水压力和引力

1、第五节第五节 功、水压力和引力功、水压力和引力 一、变力沿直线所做的功一、变力沿直线所做的功 二、水压力二、水压力 三、引力三、引力 四、小结四、小结 由物理学知道，如果物体在作直线运动的由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离物体移动了距离s时，力时，力F对物体所作的功为对物体所作的功为sFW . 如如果果物物体体在在运运动动的的过过程程中中所所受受的的力力是是变变化化的的，就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用

2、用“微微元元法法”思思想想.一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功例例 1 1 把把一一个个带带 q 电电量量的的点点电电荷荷放放在在 r 轴轴上上坐坐标标原原点点处处，它它产产生生一一个个电电场场这这个个电电场场对对周周围围的的电电荷荷有有作作用用力力由由物物理理学学知知道道，如如果果一一个个单单位位正正电电荷荷放放在在这这个个电电场场中中距距离离原原点点为为 r 的的地地方方，那那么么电电场场对对它它的的作作用用力力的的大大小小为为 2rqkF （k是是常常数数） ，当当这这个个单单位位正正电电荷荷在在电电场场中中从从 ar 处处沿沿 r 轴轴移移动动到到 br 处处时时，计计算算电

3、电场场力力 F 对对它它所所作作的的功功解解取取r为为积积分分变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 取任一小区间取任一小区间,drrr ,功元素功元素,2drrkqdw 所求功为所求功为drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa 2 arkq1.akq 点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例 2 2 一圆柱形蓄水池一圆柱形蓄水池高为高为 5米，底半径为米，底半径为3 米，池内盛满了水米，池内盛满了水.问要把池内的水全部问要把池内的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作多少功？解解建立坐标系

4、如图建立坐标系如图xdxx 取取x为积分变量，为积分变量，5 , 0 xxo5取取任任一一小小区区间间,dxxx ,xoxdxx 5这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dx238 . 9 功元素为功元素为,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦) 由物理学知道，在水深为由物理学知道，在水深为h处的压强为处的压强为hp ，这里，这里 是水的比重如果有一面积为是水的比重如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一处，那么，平板一侧所受的水压力为侧所受的水压力为ApP 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中

5、，由由于于水水深深不不同同的的点点处处压压强强p不不相相等等，平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想二、水压力二、水压力例例 4 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为设桶的底半径为R，水的比重为，水的比重为 ，计算桶的一端面，计算桶的一端面上所受的压力上所受的压力解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo取取x为积分变量，为积分变量，, 0Rx 取取任任一一小小区区间间,dxxx xdxx 小小矩矩形形片片上上各各处处的的压压强强近近似似相相等等

6、 小矩形片的面积为小矩形片的面积为 .222dxxR ,xp 小小矩矩形形片片的的压压力力元元素素为为dxxRxdP222 端面上所受的压力端面上所受的压力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R 由物理学知道，质量分别为由物理学知道，质量分别为21, mm相距为相距为r的两个质点间的引力的大小为的两个质点间的引力的大小为221rmmkF ，其中其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向连线方向 如果要计算一根细棒对一个质点的引力，如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化那么，

7、由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算就不能用此公式计算三、引力三、引力例例 5 5 有一长度为有一长度为l、线密度为、线密度为 的均匀细棒， 在的均匀细棒， 在其中垂线上距棒其中垂线上距棒a单位处有一质量为单位处有一质量为m的质点的质点M，计算该棒对质点，计算该棒对质点M的引力的引力 2l2l xyoMa解解 建立坐标系如图建立坐标系如图取取y为积分变量为积分变量取任一小区间取任一小区间,dyyy ,2,2 lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy rydyy

8、 小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm 由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为. 0 yF利用利用“微元法微元法”思想求变力作功、思想求变力作功、水压力和引力等物理问题水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）（注意熟悉相关的物理知识）四、小结四、小结思考题思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与球浸

9、没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？压力与它在水中受到的浮力有何关系？思考题解答思考题解答 该球面所受的总压力方向向上（下半球该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关球浸没的深度无关一、一、 直径为直径为20厘米，高为厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强厘米的圆柱体内充满压强为为310厘米厘米牛牛的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽的蒸汽，设

10、温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？体积缩小一半，问需要作多少功？ 二、二、 一物体按规律一物体按规律3tcx 作直线运动，媒质的阻力与作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由速度的平方成正比，计算物体由0 x移至移至ax 时，克服媒质阻力所作的功时，克服媒质阻力所作的功 . . 三、三、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长610 米和米和米，高为米，高为20米，较长的底边与水面相齐米，较长的底边与水面相齐. .计算闸门计算闸门的一侧所受的水压力的一侧所受的水压力 . . 练练 习习 题题四、四、 半径为半径为的球沉的球沉r入水中，

11、球的上部与水面相切，入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同， 现将球从水中取出， 需要作多球的比重与水相同， 现将球从水中取出， 需要作多少功？少功？ 五、五、 一块一块a高为高为 ，b底为底为的等腰三角形薄板，垂直的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力板每面所受的压力 . . 六、六、 设有一半设有一半R径为径为， 中心， 中心 角为角为的圆弧形细棒， 其的圆弧形细棒， 其线密度为线密度为 常数常数，在圆心处有，在圆心处有一质一质的的量为量为 m质点质点M，试求这细棒对质，试求这细棒对质M点点的引力的引力 . . 七、七、 油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流速越小，实验测定，某处的流速越小，实验测定，某处的流与与速速 v流处到管子流处到管子中心的距中心的距之间之间离离 r有关系式有关系式)(22rakv , ,其中其中为比例为比例k常数，常数，为油管为油管a半径半径. .求通过油管的流求通过油管的流量量 （注： 当流速为常量时， 流量（注： 当流速为常量时， 流量 = = 流速流速 截面积）截面积） . . 一、一、2ln800