第二章 化工过程系统的稳态模拟与分析

1、主讲人：左春玲主讲人：左春玲E-mail:齐齐哈尔大学化工学院化工系齐齐哈尔大学化工学院化工系大型稀疏非线性方程组大型稀疏非线性方程组降维求解降维求解线性化后，联立求解线性化后，联立求解误差误差线性化后方程组的解线性化后方程组的解迭代迭代1、线性化方法、线性化方法对于对于n维非线性方程组维非线性方程组 F(x) = 0BAxQL1作台劳展开可得到牛顿迭代解（下标作台劳展开可得到牛顿迭代解（下标NR）：）：)()(11kkkkNRxFJxx该拟线性方程组的解（用下标该拟线性方程组的解（用下标QL表示）为：表示）为：用用n维线性方程组逼近维线性方程组逼近 F( x) Ax + B = 0F( x)

2、 Ax + B = 0)()(11kkkkNRxFJxx)()(11kkkkkkNRBxAJxx1111)()()(kQLkkkkkkkkNRxBABxAAxx令令J=A式中式中J为雅可比矩阵：为雅可比矩阵：牛顿迭代具有二阶收敛特性。下面方程也具有二阶收敛。牛顿迭代具有二阶收敛特性。下面方程也具有二阶收敛。kkkQLBAx11)(系数系数A和和B均是向量均是向量x的函数。的函数。从从x的第的第k次近似解次近似解xk可以计算得到可以计算得到Jk、F(xk)，从而得到，从而得到Ak和和Bk。将。将Ak和和Bk代入，得到线性方程组。代入，得到线性方程组。过程系统的模型方程组一般由线性方程和非线性方程

3、组过程系统的模型方程组一般由线性方程和非线性方程组成，因而线性化的对象应该是非线性方程。成，因而线性化的对象应该是非线性方程。kkkBxA12、稀疏线性方程组的解法、稀疏线性方程组的解法稀疏非线性方程组稀疏非线性方程组稀疏线性方程组稀疏线性方程组常规消去法：常规消去法：不经济的不经济的计算效率低计算效率低通常采用下列两方面的技术通常采用下列两方面的技术a.只对非零元素进行计算只对非零元素进行计算b.只存储非零元素只存储非零元素（如压缩存储技术）（如压缩存储技术）用高斯消去法进行消元过程的同时，会在原来零元素处引用高斯消去法进行消元过程的同时，会在原来零元素处引入非零元素入非零元素 。填充量：填

4、充量：新出现的非零元素称作填充量，填充时与消元成零的非零新出现的非零元素称作填充量，填充时与消元成零的非零元素之差称作填充增量。填充量与主元选取的次序有关。元素之差称作填充增量。填充量与主元选取的次序有关。高斯消去法高斯消去法就是通过矩阵的行变换达到消元的目的，从就是通过矩阵的行变换达到消元的目的，从而将方程组的系数矩阵由对称矩阵变为三角矩阵，最后而将方程组的系数矩阵由对称矩阵变为三角矩阵，最后获得方程组的解。获得方程组的解。假定假定a a111100，我们首先保留矩阵的第一行，并利用它来，我们首先保留矩阵的第一行，并利用它来消去其余三行中的第一列。消去其余三行中的第一列。 1)1(1ili（

5、其中（其中(1)和和i分别为矩阵中分别为矩阵中(1)行和行和i行），得行），得第一行与第一列非零元素间的交叉点会出现新的填充量第一行与第一列非零元素间的交叉点会出现新的填充量 在求解大型稀疏线性方程组时，应尽可能在求解大型稀疏线性方程组时，应尽可能减少填充减少填充，否，否则会使则会使计算效率下降计算效率下降。 减少填充与提高数值稳定性和计算精度是矛盾的减少填充与提高数值稳定性和计算精度是矛盾的。如，。如，为减少填充，需把为减少填充，需把55作为主元素，但如果它的绝对值很小，作为主元素，但如果它的绝对值很小，会引入较大的误差，使计算精度、数值稳定性变差。会引入较大的误差，使计算精度、数值稳定性变

6、差。 通常把绝对值最大的元素作为通常把绝对值最大的元素作为主元主元，进行消元。目，进行消元。目的是提高计算精度。但如果这样选取的主元导致较大的的是提高计算精度。但如果这样选取的主元导致较大的填充，将引起计算效率的下降。填充，将引起计算效率的下降。往往选择一个绝对值不往往选择一个绝对值不是最大，且不会引起填充量过大的元素作为主元是最大，且不会引起填充量过大的元素作为主元。主元容限：主元容限： 人为规定一个界限人为规定一个界限0。当矩阵元素的绝对值大于。当矩阵元素的绝对值大于，该元素就具备了作为主元的资格，若它引入的填充，该元素就具备了作为主元的资格，若它引入的填充量也不是很大，就可定为主元。这个

7、界限称为量也不是很大，就可定为主元。这个界限称为主元容限主元容限。经验给定，但应满足提高计算精度和减少填充量的统一经验给定，但应满足提高计算精度和减少填充量的统一要求。要求。 该算法是在全元消去法的基础上派生出来的一种求解该算法是在全元消去法的基础上派生出来的一种求解稀疏线性方程组的算法。稀疏线性方程组的算法。其核心是避免填充，同时保证计其核心是避免填充，同时保证计算的精度。算的精度。b.橫列（橫列（rank）：未用过的方程中包含的未用过的变量数；：未用过的方程中包含的未用过的变量数；Bending-Hutchison算法：算法：a.用过的用过的：凡与被选作主元的元素有关的方程和变量都称：凡与

8、被选作主元的元素有关的方程和变量都称作作“用过的用过的”，反之为，反之为“未用过的未用过的”；c.纵列（纵列（file）：未用过的变量在未用过的方程中出现的次数。：未用过的变量在未用过的方程中出现的次数。定义：定义： 如果橫列最小的方程不止一个，则选择绝对值最大的如果橫列最小的方程不止一个，则选择绝对值最大的 元素作为主元；元素作为主元；挑选主元素的过程：挑选主元素的过程： 选择纵列最小的变量，如不止一个，任选其一；选择纵列最小的变量，如不止一个，任选其一； 在与此变量有关的方程中，选择橫列最小的方程所对在与此变量有关的方程中，选择橫列最小的方程所对 应的元素作为主元；应的元素作为主元； 上述

9、过程中，步骤上述过程中，步骤和和都是为了避免填充。而都是为了避免填充。而步骤步骤和和是为了保证计算精度和系数矩阵非奇异。是为了保证计算精度和系数矩阵非奇异。 检验选出主元的绝对值是否大于用户给出的主元容限。检验选出主元的绝对值是否大于用户给出的主元容限。不大于，则返回不大于，则返回,否则进行下一步；否则进行下一步； 用这样选择出的主元进行常规的高斯消元，然后返回用这样选择出的主元进行常规的高斯消元，然后返回。 列列2和列和列8只含一个元素，即纵列只含一个元素，即纵列=1。这两个元素分别为方。这两个元素分别为方程程1和和8的主元。这两列中无其它元素，不用执行消元过程。的主元。这两列中无其它元素，

10、不用执行消元过程。 第第3，5，7，9列均含两个非零元素，即纵列列均含两个非零元素，即纵列=2。选列。选列3，非，非零元素存在于方程零元素存在于方程2和和9中，方程中，方程2橫列橫列=2，方程，方程9橫列橫列=3，选方，选方程程2中的该元素为主元。中的该元素为主元。 消去方程消去方程9中第中第3列的元素，这将导致方程列的元素，这将导致方程9中的第一列产生中的第一列产生一个非零元素。一个非零元素。 反复进行上述过程，然后进行回代过程。反复进行上述过程，然后进行回代过程。完成主元选择后的增广矩阵完成主元选择后的增广矩阵回代后得到的变量值回代后得到的变量值方程的主元素选择过程方程的主元素选择过程两种

11、系统模拟方法的比较两种系统模拟方法的比较Comparison of two system simulation methods 联立模块法与序贯模块法的共同之处在于联立模块法与序贯模块法的共同之处在于面向模块面向模块；与面向方程；与面向方程法共同法共同在于联立求解过程系统模型方程在于联立求解过程系统模型方程。内容内容序贯模块法序贯模块法面向方程法面向方程法占用存储空间占用存储空间小小大大迭代循环圈迭代循环圈多多少少计算效率计算效率低低高高指定设计变量指定设计变量不灵活不灵活灵活灵活对初值要求对初值要求低低高高计算错误诊断计算错误诊断易易难难编制、修改程序编制、修改程序 较易较易较难较难2.4.

12、1 联立模块法的原理Principle of Simutaneous modular method由于简化模型是严格模块的近似，所以计算结果往往不是由于简化模型是严格模块的近似，所以计算结果往往不是问题的解，必须用严格模块对这组解进行计算，修正简化模问题的解，必须用严格模块对这组解进行计算，修正简化模型的系数。重复这一过程，直到收敛到原问题的解。型的系数。重复这一过程，直到收敛到原问题的解。严格模块严格模块12n简化模型方程简化模型方程联立解联立解状态变量状态变量图图2-24 联立模块法联立模块法.2.4.1 联立模块法的原理Principle of Simutaneous modular m

13、ethod 把序贯模块法中最费时、收敛最慢的回路迭代计算，把序贯模块法中最费时、收敛最慢的回路迭代计算，用由用由简化模型简化模型组成的方程组的联解而代之，使计算加速，尤组成的方程组的联解而代之，使计算加速，尤其是处理有多重再循环流或有设计规定要求的问题时具有较其是处理有多重再循环流或有设计规定要求的问题时具有较好的收敛行为。因此，好的收敛行为。因此，联立模块法计算效率较高。联立模块法计算效率较高。特点：特点： 能能利用大量原有的丰富的序贯模块软件利用大量原有的丰富的序贯模块软件。可在原有。可在原有序贯模块模拟器上修改得到联立模块模拟器。序贯模块模拟器上修改得到联立模块模拟器。 因单元模块数比之

14、过程方程数要少得多，所以简化因单元模块数比之过程方程数要少得多，所以简化模型方程组的维数比面向方程法也小得多，模型方程组的维数比面向方程法也小得多，求解起来也容易求解起来也容易得多。得多。2.4.1 联立模块法的原理Principle of Simutaneous modular method优点：优点： 计算效率较高；计算效率较高； 对初值要求较低；对初值要求较低； 迭代循环圈较少；迭代循环圈较少； 计算出错时诊断较容易；计算出错时诊断较容易； 能利用大量原有的软件。能利用大量原有的软件。 2.4.1 联立模块法的原理Principle of Simutaneous modular meth

15、od2.4.1 联立模块法的原理Principle of Simutaneous modular method初值的选取方法：初值的选取方法：（1） 猜值；猜值；（2）用序贯模块法迭代求解几次，得到个点的初值。）用序贯模块法迭代求解几次，得到个点的初值。联立模块法的计算效率主要依赖于联立模块法的计算效率主要依赖于简化模型的形式简化模型的形式。2.4.2 建立简化模型的切断方式建立简化模型的切断方式Establishment of tearing mode for simple model （1）以过程单元为基本单位建立简化模型；）以过程单元为基本单位建立简化模型； （2）以回路为基本单位建立简

16、化模型。）以回路为基本单位建立简化模型。 简化模型对象范围的划分：简化模型对象范围的划分：这两种划分策略分别与两种切断方式相对应：这两种划分策略分别与两种切断方式相对应：（1）联结物流全切断方式；）联结物流全切断方式； （2）回路切断方式。）回路切断方式。2.4.2 建立简化模型的切断方式建立简化模型的切断方式Establishment of tearing mode for simple model联结物流全切断方式：联结物流全切断方式： 这种方式相当于把所有过程单元之间的联结物流全这种方式相当于把所有过程单元之间的联结物流全部切断，形成一系列互相独立的过程单元。部切断，形成一系列互相独立的

17、过程单元。x4y4y3y1y2x1x2x32.4.2 建立简化模型的切断方式建立简化模型的切断方式Establishment of tearing mode for simple model 流股全切断方式类似于面向方程法。主要区别在流股全切断方式类似于面向方程法。主要区别在于后者是严格模型方程，变量数也要大得多。于后者是严格模型方程，变量数也要大得多。 因此，对于较大系统，流股全切断方式建立的简因此，对于较大系统，流股全切断方式建立的简化模型方程数是很大的。化模型方程数是很大的。回路切断方式：回路切断方式： 相当于把若干个单元作为一个相当于把若干个单元作为一个“虚拟单元虚拟单元”处理，处理，

18、建立虚拟单元的简化模型。建立虚拟单元的简化模型。 虚拟单元所包含的各单元间的连接流股变量则不虚拟单元所包含的各单元间的连接流股变量则不出现在简化模型中，从而大大降低了简化模型的维数。出现在简化模型中，从而大大降低了简化模型的维数。2.4.2 建立简化模型的切断方式建立简化模型的切断方式Establishment of tearing mode for simple model 通常以循环回路为一个虚拟单元，切断再循环流通常以循环回路为一个虚拟单元，切断再循环流股，故称为回路切断方式。股，故称为回路切断方式。312y=G（x）x虚拟单元xy=G（x）查找甲苯加氢脱烷基过程的合成查找甲苯加氢脱烷基

19、过程的合成 工艺路线及工艺参数工艺路线及工艺参数作业：作业：化工过程分析的作用化工过程分析的作用传递方程传递方程Equations of transport相平衡相平衡Phase-equilibria化学反应动力学化学反应动力学Chemical kinetics物料衡算物料衡算Material balance能量衡算能量衡算Energy balance适当的操作条件适当的操作条件(温度、压力）温度、压力）1.定态：不随时间变化定态：不随时间变化2.确定未知的定态条件确定未知的定态条件下的温度、压力和总流下的温度、压力和总流率。率。1.动态：随时间变化动态：随时间变化2.确定动态条件下的操确定动

20、态条件下的操作条件，作为扰动和操作条件，作为扰动和操作点变化的响应。作点变化的响应。定态模拟定态模拟动态模拟动态模拟基本方案设计的基本方案设计的工艺流程工艺流程过程合成的任务过程合成的任务集成后工艺流程集成后工艺流程早期步骤后不完整早期步骤后不完整工艺流程工艺流程模拟软件模拟软件未知压力未知压力未知温度未知温度未知流率未知流率工艺流程和模拟流程工艺流程和模拟流程Process flowsheets and Simulation flowsheetsS2蒸汽蒸汽过热炉（器）过热炉（器）H1新鲜原料新鲜原料精馏塔精馏塔D1S1S3S4S9反应器反应器R1S5轻馏分轻馏分S7S6闪蒸器闪蒸器F1产物

21、产物S8图图4.1 工艺流程图工艺流程图物料流和能量流物料流和能量流模拟流程：是一组代表模拟过程单元的计算机程序（子程模拟流程：是一组代表模拟过程单元的计算机程序（子程序或模型）的模拟单元，和代表模拟单元之间的信息流的序或模型）的模拟单元，和代表模拟单元之间的信息流的曲线。曲线。重点为信息流。重点为信息流。工艺流程和模拟流程工艺流程和模拟流程Process flowsheets and Simulation flowsheetsHEATERH1MIXERM1RSTOICR1FLASH2F1DISTLD1S2S3S4S5S6S7S8S1SOLVEROS9S10图图4.2 ASPEN PLUS模拟

22、流程（方框图）模拟流程（方框图）工艺流程和模拟流程工艺流程和模拟流程Process flowsheets and Simulation flowsheetsH1M1R1F1D1S2S3S6S9S8S7S4S1S5图图4.3 ASPEN PLUS模拟流程（图标）模拟流程（图标）v通过调用模拟软件中的模块（子程序），完成工艺流程通过调用模拟软件中的模块（子程序），完成工艺流程向模拟流程的转化。向模拟流程的转化。计算顺序计算顺序Order of calculation确定最终参数确定最终参数加热器加热器H1HEATER混合器混合器M1MIXER反应器反应器R1RSTOIC闪蒸罐闪蒸罐F1FLASH2

23、精馏塔精馏塔D1DISTL甲苯加氢脱烷基过程的合成甲苯加氢脱烷基过程的合成Synthesis of the Toluene Hydrodealkylation Process反应部分反应部分 Reaction section主反应主反应C7H8 + H2 C6H6 + CH4副反应副反应 2C6H6 2C12H10 + H2反应器部分、原料和两股循环流的条件如图所示，急冷反应器部分、原料和两股循环流的条件如图所示，急冷物流的流率应达到使反应器流出物被急冷到物流的流率应达到使反应器流出物被急冷到1150 的要的要求。甲苯在反应器中转化率为求。甲苯在反应器中转化率为75%（mol）。第一步反）。第一步反应后物料中苯有应后物料中苯有2%（mol）转化为联苯。应用过程