Lect 24_Chapter 12 动能定理(一)

1、1/42Lecture 24Chapter 12动能定理动能定理理论力学理论力学 Ch.12 Ch.12 曾岩曾岩 (zengyan_)12.1 力的功力的功12.2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能Chapter 12动能定理12.3 动能定理动能定理12.4 功率功率功率方程功率方程机械效率机械效率12.5 势力场势力场势能势能机械能守恒定律机械能守恒定律2/42Ch.12 动能定理动能定理简简 介介矢量动力学矢量动力学: 动量定理动量定理 质心运动定理质心运动定理 动量矩定理动量矩定理标量动力学标量动力学 (功和能量功和能量): 动能定理动能定理动能定理：动能(运动相关) 功(外力相

2、关)3/42Ch.12 动能定理动能定理12.1 力的功力的功1. 功的定义功的定义力的功是力的功是力沿路程的累积效应力沿路程的累积效应的度量的度量功功是代数是代数量量 1) 常常力在直线运动中的力在直线运动中的功功cosWFs F s单位单位: J (焦耳焦耳) 1 J = 1 Nm FAA1A2s4/42Ch.12 动能定理动能定理元功元功 2) 变变力的力的功功cosWdFdsFr力力F在质点经历微小位移量在质点经历微小位移量dr的过程中可以看的过程中可以看作是常量作是常量WddtFrF vddtrvOM1MxyzM2dsFrdrrdrv1r2r12.1 力的功力的功1. 功的定义功的定

3、义5/42Ch.12 动能定理动能定理WddtFrF vOM1MxyzM2dsFrdrrdrv1r2r221112WWdrrrrF r从从M1到到M2过程中做的功过程中做的功FxyzFFFddxdydzFijkrijk2112()MxyzMWF dxF dyF dz12.1 力的功力的功 2) 变变力的力的功功1. 功的定义功的定义6/42Ch.12 动能定理动能定理 从从M1到到M2过程中做的功过程中做的功Gddxdydzrijk211212()zzWmgdzmg zz2. 特殊特殊力的力的功功 1) 重力重力的的功功OM1(x1,y1,z1)MxyzM2(x2,y2,z2)GFx = Fy

4、 = 0 , Fz = G= mg此时，功与运动轨迹无关，其等于质点的重量与垂此时，功与运动轨迹无关，其等于质点的重量与垂直位移的乘积。直位移的乘积。12.1 力的功力的功7/42Ch.12 动能定理动能定理 2) 弹性力弹性力的的功功刚度系数刚度系数 k (N/m)0()/rrk rlr Feer弹簧力做的功弹簧力做的功2112AAWdFr210()ArAk rlder弹簧力弹簧力Fk12.1 力的功力的功2. 特殊特殊力的力的功功8/42Ch.12 动能定理动能定理rddrrrer21120()rrk rlWdr2212()2k()2drr r 2()2d rdrr110220rlrlMa

5、rk此时，功同样与运动轨迹无关。此时，功同样与运动轨迹无关。21120()ArAWk rlder12.1 力的功力的功2. 特殊特殊力的力的功功 2) 弹性力弹性力的的功功9/42Ch.12 动能定理动能定理 3) 万有引力万有引力的的功功OA1A2A1r2rrFdrF2/rrMmfrr Feer113-1 -226.673 10m kg sMmFffr21122rrrMmWfdr er212122111()rrWfMmrfrrMmdr 此时，功仍然与运动轨迹无关。此时，功仍然与运动轨迹无关。12.1 力的功力的功2. 特殊特殊力的力的功功10/42注意与重力作功的区别注意与重力作功的区别Ch

6、.12 动能定理动能定理3. 刚体刚体上力系的上力系的功功元功元功 1) 力作用于平动刚体上的功力作用于平动刚体上的功CWddFrFrFrvOxAyzCCvdrCdr质心从质心从C1运动到运动到C2做的功做的功221112CCCCCCWddtFrF vorCWdtdtF vF v12.1 力的功力的功11/42Ch.12 动能定理动能定理 2) 力作用于定轴转动刚体上的功力作用于定轴转动刚体上的功2112zWM d1221()zWM如果如果 Mz 是常量是常量ztMFRzWM dttWdFdsFRdFr 从从 1运动到运动到 2做的功做的功FFOxAd yznFtFbFrdr12.1 力的功力

7、的功3. 刚体刚体上力系的上力系的功功12/42Ch.12 动能定理动能定理 在在A的元功的元功iF所有的元功所有的元功( )iiCCiWWdMdFrFiiAiCiACWdddFrFrFrACACrrrACACdddrrrRCCdM dFrcos( )iACiCidFAC dMdFrFiFOxyCrACd ArACrCvCvACvAv 12.1 力的功力的功3. 刚体刚体上力系的上力系的功功 3) 力作用于平面运动刚体上的功力作用于平面运动刚体上的功13/42Ch.12 动能定理动能定理RCCWdM dFr其中: 为力系主矢， 为力系对质心的主矩 RFCM当质心由 ，转角由 时，力系的功12C

8、C12即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和221112CRCCCWdM dFr12.1 力的功力的功3. 刚体刚体上力系的上力系的功功 3) 力作用于平面运动刚体上的功力作用于平面运动刚体上的功14/42Ch.12 动能定理动能定理说明：1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；2、C点不是质心，而是刚体上任意一点时， 上述结论也成立； 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含 不作功的力、力矩。 221112CRCCCWdM dFr12.1 力的功力的功3. 刚体刚体上力系的上力系的功功 3) 力作用于平面运动刚体上的功力作用于平面

9、运动刚体上的功15/42Ch.12 动能定理动能定理图示均质圆盘质量为m，半径为R，其外缘上缠绕很多圈无重细绳，绳头上用常力F作用使圆盘沿水平直线纯滚动。求当盘心C走过路程s时圆盘所受力系的功。RsCCF 例例12-112.1 力的功力的功16/42Ch.12 动能定理动能定理12.2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能1. 质点质点的的动能动能212Tmv 单位单位：J (焦耳)212iiTmv2. 质点系质点系的的动能动能17/42Ch.12 动能定理动能定理3. 刚体刚体的的动能动能 1) 平移刚体平移刚体212iiTmv212CTmv 即 CvAA1A2s212Civm12.2 质点

10、和质点系的动能质点和质点系的动能18/42Ch.12 动能定理动能定理 2) 定轴转动刚体定轴转动刚体(b)AzriOiv212i iTmv212zTJ2212iimr2212i imr12.2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能3. 刚体刚体的的动能动能19/42Ch.12 动能定理动能定理 2) 定轴转动刚体定轴转动刚体A，B两轮质量相同，以相同的角速度绕圆心O转动OOeCABA轮为匀质圆盘、B轮质心在C点。两轮动能是否相同？12.2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能3. 刚体刚体的的动能动能20/42Ch.12 动能定理动能定理 3) 平面运动刚体平面运动刚体2i i12mTv21

11、2PJ2ii1()2Pm r22i i12Pmr2PCCJJmr221122CCTmvJACPrcriP Cviv即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和3. 刚体刚体的的动能动能12.2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能21/42Ch.12 动能定理动能定理4. 柯尼希定理柯尼希定理C: 质心质心Cx y z : 平移结构平移结构OAxyzzyxCrCrirCvivirvCv() ()2iCirCirmvvvv222iiiiimvmTvv22iiCCiCiririrmmmvvvvvviCirvvv12.2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能22/42Ch.12

12、 动能定理动能定理OAxyzzyxCrCrirCvivirvCv22iiCCiCiririrmmTmvvvvvv即，即，质点系在绝对运动中的动能质点系在绝对运动中的动能, ,等于它随质心一起平动时的等于它随质心一起平动时的动能动能, ,加上它在以质心速度做平动的坐标系中相对运动的动能加上它在以质心速度做平动的坐标系中相对运动的动能 2r2CmvTT2211()222iCCiCCmm vmvvv11()()222iCiriirCCrCmmmvvvvvv2122iriririirmTmvvv04. 柯尼希定理柯尼希定理12.2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能23/42Ch.12 动能定理动能

13、定理已知滑块A的质量为m1，质点B的质量为m2 , AB杆的长度为l、不计质量，以角速度AB绕A点转动，滑块的速度为vA。求系统的动能。Am1Oxxym2BlyABAv 例例12-212.2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能24/42Ch.12 动能定理动能定理Am1Oxxym2BlyABAv1. 运动分析与速度分析BABAvvvBAABvlcos ABxBAlvsinABy BAlvAvBAv 解 例例12-212.2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能25/42Ch.12 动能定理动能定理Am1Oxxym2BlyABAvAvBAv2. 计算系统动能滑块A的动能21121AvmT 质点

14、B的动能22221BvmT 222)sin()cos(21ABABAllvm系统的总动能2222221cos)(21ABABAAlmlvmvmmT 解 例例12-212.2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能26/42Ch.12 动能定理动能定理已知滑块A的质量为m1；匀质杆AB的长度为l、质量为m2，以角速度AB绕A点转动。圆盘B的质量为m3 , 半径为r，与杆固连；滑块的速度为vA，求系统的动能。动能。m1Oxxym2BlyABCrAv12.2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能 思考思考27/42Ch.12 动能定理动能定理12.3 动能定理动能定理1. 质点的动能定理质点的动能定理

15、M1FvaM2Mt将 两端点乘ddt vrd dmtvF21dd(),d2mmvWvvFr由于21d()2mvW因此ddm vvFr得上式称为质点动能定理的微分形式即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功d dmmtvaFF28/42Ch.12 动能定理动能定理1. 质点的动能定理质点的动能定理M1FvaM2Mt21d()2mvW2221121122mvmvW称为质点动能定理的积分形式：在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功对上式从M1到M2积分，有12.3 动能定理动能定理29/42Ch.12 动能定理动能定理2. 质点系的动能定理质点系的动能定理称为质点系动能定理

16、的微分形式：质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和 对系统内任一质点，有21d()2i iimvW21d()2iiimvW累加求和diTW得21d()2i iimvW即12.3 动能定理动能定理30/42Ch.12 动能定理动能定理diTW称为质点系动能定理的积分形式：质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和对上式积分，有21iTTW(*)式右端包不包含内力的功?内力作不作功?(*)2. 质点系的动能定理质点系的动能定理12.3 动能定理动能定理31/42Ch.12 动能定理动能定理3. 理想约束与内力的功理想约束与内力的

17、功1) 理想约束: 约束力作功等于零的约束光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、柔索类等约束的约束力作功等于零对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可NPdrdr FFxFyFdrNdrN12.3 动能定理动能定理32/42Ch.12 动能定理动能定理2) 内力作功Ar FFBAOBrddABWFrFrddAB F rF rd()ABFrrd()BAF 只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零，因此不可伸长的柔索、刚体内力作功之和为零3. 理想约束与内力的功理想约束与内力的功12.3 动能定理动能定理33/42Ch.12 动能定理动能定理图示系统中，鼓轮II的小半径上悬挂一重物，轮I

18、、II之间不打滑(纯滚动)，轮I上作用矩为M的力偶，试分析两轮之间的接触点A处的摩擦力是否作功。IIIO1O2rRrAM 例例1212-312.3 动能定理动能定理34/42研究对象：轮II正功轮I负功整体不作功Ch.12 动能定理动能定理CRyxAF均质圆盘半径为R，质量为m，外缘上缠绕无重细绳，绳头水平地固定在墙上，如图所示。盘心作用一较大的水平力F，使盘心C向右加速运动。圆盘与水平地面间动滑动摩擦因数为f，力F为常量，初始静止。求当盘心走过路程s时，圆盘的角速度、角加速度及盘心C的加速度。 例例1212-412.3 动能定理动能定理35/42Ch.12 动能定理动能定理1) 受力分析如图

19、示2) 只有F和F d作功且力已知，应用动能定理122WFsmgfs10T 2222211 13()22 24CCTmvmRmvCvR21TT2324CFsmgfsmv2(2)3CsvFsmgfmCAFTFdFNFmg 解12.3 动能定理动能定理 例例1212-436/42Ch.12 动能定理动能定理CAFTFdFNFmg3) 求角速度、角加速度及质心加速度2324CFsmgfsmv上式两边对时间求导，可得2(2)3CaFmgfm2(2)3CvsFsmgfRRm2(2)3CaFmgfRmR如何求绳索拉力？ 解12.3 动能定理动能定理 例例1212-437/42Ch.12 动能定理动能定理已知质量为m的质点，自高h处自由落下，落到下面有弹簧支持的板上，如图所示。设板和弹簧的质量不计，弹簧的刚度系数为k。求弹簧的最大压缩量。 例例1212-512.3 动能定理动能定理38/42Ch.12 动能定理动能定理120,0TT2maxmax0 0()2kmg h 22ma