钢结构_有限差分法

1、第五章 稳定计算的近似分析法学习内容:能量守恒原理势能驻值原理最小势能原理有限差分法5.2 能量守恒原理5.2 能量守恒原理能量守恒原理：如果贮存在结构体系中的应变能等于外力所做的功，则该保守系统处于平衡状态。WU应变能外力做功第五章 稳定计算的近似分析法5.2 能量守恒原理WU应变能外力做功dxyEIUdxEIMUlyEIMl2020)(2121 dxdx221)cos1 (dxydxll020)(21)cos1 (dxyPPWl02)(21dxydxyEIPll 0202)()(屈曲荷载5.2 能量守恒原理对于承受任意荷载的构件l可先以假定合适的变形曲线l变形曲线尽可能接近实际曲线l必须符

2、合构件的边界条件),(21naaafy),(21naaafy),(21naaafy ),()(21102nlaaaFdxyEI ),()(21202nlaaaFdxy),(),(212211nnaaaFaaaFP5.2 能量守恒原理对于承受任意荷载的构件),(),(212211nnaaaFaaaFP，解上述方程组得，只有有选参要求crn2cr1cr2122211211212112122111222121112121,0 0 0 00)(1)(10 , , 0 , 0PPPaFPaFaFPaFaFPaFFaFPaFFaFFFaFFFaFFaFFaPaPaPaPnnn曲荷载。其中最小值即为构件屈5

3、.3 势能驻值原理和最小势能原理 5.3 势能驻值原理和最小势能原理5.3.1 势能驻值原理势能驻值原理： 其位移有微小变化而总的能量不变，即总势能有驻值时，则该结构体系处于平衡状态。即：外力势能内力势能外力作功其中： 5.3 势能驻值原理和最小势能原理如图：B点：弹簧铰rB、抗侧移弹簧kB；A点：弹簧铰rA。当体系由(a)直杆状态过渡到(b)微弯状态时，体系的应变能为：外力势能为： 5.3 势能驻值原理和最小势能原理则总势能为：利用势能驻值原理，对上式取一阶变分得：进行分部积分，结合边界条件： 5.3 势能驻值原理和最小势能原理自然边界条件平衡方程 5.3 势能驻值原理和最小势能原理5.3.

4、2 最小势能原理能量守恒原理屈曲荷载势能驻值原理平衡方程平衡形式是稳定的、不稳定的还是中性的？最小势能原理设 为结构体系的总势能，当位移有微小变化时，其总势能为 。 ( )x()xx 232323( )1( )1( )()( )()().2!3!dxdxdxxxxxxxdxdxdx 5.3 势能驻值原理和最小势能原理结构处在平衡状态，因此 ( )0dxdx总势能的增量为：2323231( )1( )()( )()().2!3!dxdxxxxxxdxdx0 当 时，总势能有极小值，平衡时稳定的。22( )0dxdx，平衡是稳定的；22( )0dxdx，平衡是不稳定的；22( )0dxdx，可得到

5、屈曲荷载，但平衡的稳定性需考虑其后第三和第四项。基本思想：5.6 有限差分法 将连续的构件用有限个离散点来代替，结合边界条件，将连续的微分方程用离散变量函数来近似表示，并求解代数方程组。5.6 有限差分法基本步骤：1.建立微分方程。2.区域离散化，即将杆件分段，形成网格。3.用有限差分公式代替格点导数，建立代数方程组。4.求解代数方程组，得到屈曲近似解。5.6.1 任意点函数的差分式5.6 有限差分法ayyyiii1ayyyiii1ayyyiii211前进差分:后退差分:中间差分:21112ayyyayyyiiiiii 22211422ayyyayyyiiiiii 5.6 有限差分法5.6.2

6、 边界点的差分式5.6 有限差分法00y02110ayyy铰接端: ;固定端: ;自由端:0221010 ayyyy00 y00y00 y0221010 ayyyy11yy11yy1012yyy5.6.3 提高屈曲荷载精确度的外推法5.6 有限差分法差分法分段数多计算量大分段数少误差大对于弹性弯曲屈曲荷载，误差的大小与分段数的平方成反比。211nppcr222nppcr2122211222nnnpnppcr例5.6：求两端铰接的轴心受压构件的屈曲荷载5.6 有限差分法建立平衡方程： （1）02 ykyEIPk 2其中：21112ayyyayyyiiiiii （2）将（2）式带入（1）式得：0)

7、2(1221iiiyyaky（3）例5.6：求两端铰接的轴心受压构件的屈曲荷载5.6 有限差分法2la （3）将结构等分两段，即 ，则分点1处 的差分方程为：0)2(1221iiiyyaky0)2(01222yyaky又有002 yy可得屈服条件：0222ak得：218lEIpcr与精确值：22lEIpcr相差-18.9%。例5.6：求两端铰接的轴心受压构件的屈曲荷载5.6 有限差分法4la （3）将结构等分四段，即 。分点1处的 差分方程为：0)2(1221iiiyyaky0)2(01222yyaky又 ；00y则：1得：2与精确值相差-5%。1分点处：则0)2(1222yaky0)2(12223yyaky又 ；13yy 2分点处：02)2(1222yyak则（4）（5）222ak222ak021835. 9lEIpcr例5.6：求两端铰接的轴心受压构件的屈曲荷载5.6 有限差分法外推法与精确值 相差-0.35%。 222222835. 924284376. 9lEIlEIpcr22287. 9lEIlEIpcr有限差分法小结：5.6 有限差分法建立微分方程构件分段差分方程代数方程组屈曲荷载精度要求？NO得到结果YES有限差分法的优缺点：5.6 有限差分