附录A平面图形的几何性质

1、附录附录 A 平面图形的几何性质平面图形的几何性质A. .1 形心和静矩形心和静矩A. .2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径A. .3 平行移轴定理平行移轴定理A. .4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩材料力学材料力学平面图形的几何性质平面图形的几何性质 反映平面图形的反映平面图形的形状形状与与尺寸尺寸的的几何量几何量附录附录A A 平面图形的几何性质平面图形的几何性质NF A NElFl A如：如：本章介绍：本章介绍： 平面图形几何性质的平面图形几何性质的定义定义、计算方法计算方法和和性质性质 T pI GTl p I1. .在轴向拉（压）中：在轴向拉（压）中：2. .在扭

2、转中：在扭转中：A. .1 形心和静矩形心和静矩一、静一、静矩矩二、形心二、形心三、组合图形的静矩和三、组合图形的静矩和形心形心四、静矩的性质四、静矩的性质附录附录A A 平面图形的几何性质平面图形的几何性质一、静一、静矩矩A. .1 形心和静矩形心和静矩整个图形整个图形 A 对对 x 轴的静矩：轴的静矩：整个图形整个图形 A 对对 y 轴的静矩：轴的静矩：ydA微面积微面积 dA 对对 x 轴的静矩轴的静矩xdA微面积微面积 dA 对对 y 轴的静矩轴的静矩定义：定义：（面积矩）（面积矩）其值：其值：+ +、- -、0 单位：单位：m3 AxAySd AyAxSdxyOAydAx 讨论水平面

3、的一块均质薄讨论水平面的一块均质薄板重心与形心重合，通过板重心与形心重合，通过求重心的方法来求形心求重心的方法来求形心dAxt AAtx设板厚度为设板厚度为t，单位体积重为，单位体积重为 ，O-xy平面为水平面。平面为水平面。xyOdAxy设形心为设形心为C根据合力矩定理，有根据合力矩定理，有：dAt x AAt x dyAAxx AS dxAAyy AS同理或写成或写成C(xc)(yc)xydyAx ASxAA= xcdxAy ASyAA=yc举例举例求半径为求半径为 r 的半圆形对其直径轴的半圆形对其直径轴 y 的静矩及其形心坐标的静矩及其形心坐标0Cy 3223423yCSrrzAr0z

4、S 22d2dArzz解解:z 轴是对称轴，轴是对称轴， 通过形心。通过形心。dyASz A2202rzrz dz323rzdzdA22zr yzro三、组合图形的三、组合图形的静矩和形心静矩和形心 组合图形组合图形由几个简单图形由几个简单图形（如矩形、圆形等）（如矩形、圆形等） 组成组成的平面图形的平面图形如：如：A. .1 形心和静矩形心和静矩1. .静矩静矩 AxAySd nAAAy1d niAiAy1d nixiS12. .形心形心CyA 1AxAxCiniiC niCiiyA1xyOCxCyC niyiySS1CxA niCiixA1 1AyAyCiniiC A. .1 形心和静矩形

5、心和静矩四、四、静矩的性质静矩的性质形心轴形心轴 图形对形心轴的静矩为零图形对形心轴的静矩为零xSyS0 CyA CxA 0 通过图形形心的坐标轴通过图形形心的坐标轴反之，反之，图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴xyOACxyCc 性质性质 1 ：0 Cx0 CyA. .1 形心和静矩形心和静矩2002003030ASyxC 例例 1 确定形心坐标确定形心坐标mm 2302001003020021530200 mm 5 .157 2211yAyA 21AA x（参考轴）yyCC解：解： 取参考坐标系取参考坐标系 xyA. .2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性

6、积 惯性半径惯性半径一、一、惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积二、惯性二、惯性矩与极惯性矩的关系矩与极惯性矩的关系附录附录A A 平面图形的几何性质平面图形的几何性质三、惯性积的性质三、惯性积的性质四、惯性半径四、惯性半径一、惯性一、惯性矩与惯性积矩与惯性积A. .2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径整个图形整个图形 A 对对x 轴的惯性矩轴的惯性矩整个图形整个图形 A 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩y2dA微面积微面积 dA 对对 x 轴的惯性矩轴的惯性矩x2dA微面积微面积 dA 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩定义：定义：其值其值：+ + 单位单位：m4 AxAyId 2 AyAxI

7、d2xyOAydAx1. .惯性矩惯性矩整个图形整个图形 A 对对 x 轴和轴和 y轴的惯性积轴的惯性积定义：定义： xydA微面积微面积 dA 对对 x 轴和轴和 y 轴的惯性积轴的惯性积 的坐标轴的坐标轴其值：其值：+ +、- -、0 单位：单位：m4 AxyAxyId假设：假设： x 轴和轴和 y 轴为一对轴为一对相互垂直相互垂直一、惯性一、惯性矩与惯性积矩与惯性积2. .惯性积惯性积xyOAydAxA. .2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径二、惯性二、惯性矩与极惯性矩的关系矩与极惯性矩的关系即：即： AAId2p xyIII p AAAyAxdd22 平面图形对平面图形对

8、任意一点任意一点的极惯性矩的极惯性矩等于等于该图形对通过该图形对通过该点的任意一对该点的任意一对相互垂直相互垂直的坐标轴的惯性矩的坐标轴的惯性矩之和之和 性质性质 2 ：xyOAydAx AAyxd22若若 x 、 y 轴为一对轴为一对正交正交坐标轴坐标轴A. .2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径1.1. 矩形截面矩形截面xI 12 3bh 12 3hbIy 1xIxCyydydAOx1y 222dhhybyh2_h2_b2_b2_ AAy d2 AAy d2 hyby02d33bh 常用图形的惯性矩：常用图形的惯性矩：A. .2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径2.

9、 圆形截面圆形截面D324D pIIIyx 由对称性由对称性 yxII 21pI 444416464 DdD 644D 3. 环形截面环形截面dxyO p21 IIIyxA. .2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径2dxAIyAniAxiI1121222dddnnA AAAAAyAyAyA即，各个分面积对某轴的惯性矩之和等于它们的组合截面对同一轴的惯性矩。 1 inAyyiII同理，niAxyxyiII1 三、惯性三、惯性积的性质积的性质当当 x 、 y 轴中轴中有一轴为对称轴有一轴为对称轴xyO AxyAxyId niiiiiiiAAyxAyxi10lim niiiiAAyxi2

10、10lim0 xyA xyA - 在一对正交轴中，只要在一对正交轴中，只要有一个对称轴有一个对称轴，则该图形，则该图形对这对轴的对这对轴的惯性积为零惯性积为零。 性质性质 3 ：A. .2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径 惯惯 性性 矩矩对对某一轴某一轴而言而言 极惯性矩极惯性矩对对某一点某一点而言而言特别指出：特别指出： 惯惯 性性 积积对对某一对正交轴某一对正交轴而言而言A. .2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径图形对图形对 x 轴的轴的惯性惯性半径半径 单位：单位： mAIixx AIiyy 2 AIxxi2 AIyyi四、四、 惯性半径惯性半径 在力学计算中

11、，有时把在力学计算中，有时把惯性矩惯性矩写成写成即：即：图形对图形对 y 轴的轴的惯性惯性半径半径A. .2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径注意：注意：试问：试问：即：即：? Cxyi ? d 222CxAxyAiAAyI Cxyi Cyxi A. .2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径A. .3 平行轴定理平行轴定理一、定理推导一、定理推导二、应用二、应用附录附录A A 平面图形的几何性质平面图形的几何性质A. .3 平行轴公式平行轴公式一、定理推导一、定理推导yOAxCdAyxxccybacyxcbxxC 2AaIICxx ayyC CxI AxAyId2 ACA

12、ayd)(2 AACAaaAyd 2d22 ACAy d0 Aa2 即：即： 2AaIIcxx 2abAIIAbIICCCyxxyyy CyyII CxxII 显然：显然：性质性质 3：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩 中，以对形心轴的惯性矩为最小。中，以对形心轴的惯性矩为最小。同理同理惯性矩和惯性积的平行轴定理惯性矩和惯性积的平行轴定理yOAxCdAyxxccybacyxcA. .3 平行轴公式平行轴公式解：解： ccczzzIII12200303 47mm 1005. 2 12302003 IIIa1a2yC1yC22002003030yCc

13、zc157.512302003 47mm 1003. 2 42mm 302005 .57 12 1AIIccyy 1a47mm 1098. 3 22 2AIIccyy 2a cccyyyIII47mm 1001. 6 cyIczI例例 1 求求 和和A. .4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩一、公式推导一、公式推导二、主惯性矩二、主惯性矩附录附录A A 平面图形的几何性质平面图形的几何性质A. .4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩一、公式推导一、公式推导规定：规定： 角逆时针转向为角逆时针转向为 + xyOdAyxA sincos1yxx 两组坐标系之间的关系：两组坐标系之间的关系：

14、sincos1xyy 代入代入 AyxAyAxAyxIAxIAyId ,d ,d1121211111x1y1x11y 2cos2sin2 2sin2cos22 2sin2cos22 1111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII xyOdAyxA x1y1x11y一、公式推导一、公式推导规定：规定： 角逆时针转向为角逆时针转向为 + 两组坐标系之间的关系：两组坐标系之间的关系：A. .4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩显然显然 11yxyxIIII const pI xyOdAyxA x1y1x11y 2cos2sin2 2sin2cos22 2sin2c

15、os22 1111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII A. .4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩显然显然const pI 性质性质5：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个 惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯 性矩。性矩。xyOdAyxA x1y1x11y 11yxyxIIII A. .4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩二、主惯性矩二、主惯性矩 1. .定义定义主惯性轴主惯性轴惯性积为零的一对坐标轴，惯性积为零的一对坐标轴，简称简称主轴主轴主惯性矩主惯性矩图形对

16、主惯性轴的惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩形心主惯性轴形心主惯性轴通过图形形心的主惯性轴通过图形形心的主惯性轴形心主惯性矩形心主惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩性质性质6：图形的对称轴是形心主惯性轴图形的对称轴是形心主惯性轴A. .4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩2. .主惯性轴的方位主惯性轴的方位 设主惯性轴的方位为设主惯性轴的方位为 0，对应的坐标轴为，对应的坐标轴为 x0、y0令令得到得到02cos2sin20000 xyyxyxIIII 22tg 0yxxyIII A. .4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩3. . 主惯性矩主惯性矩因因故故 22tg 0

17、yxxyIII xyxyxyxy220 220422sinxyyxxyIIII 22042cosxyyxyxIIIII 有有 4)(212 2200 xyyxyxyxIIIIIII A. .4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩4. .主惯性矩的性质主惯性矩的性质 当当Ix1取极值时，取极值时，对应对应的方位为的方位为 1 得到得到 11dd xI0 112cos22sin)( xyyxIIIyxxyIII 22tg1 02tg 即：即：01 性质性质7：主惯性矩为极值惯性矩，其中一个为极大惯性主惯性矩为极值惯性矩，其中一个为极大惯性 矩矩Imax，另一个为极小惯性矩，另一个为极小惯性矩Imi

18、n。令令 A. .4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩解：解：例例 2 求图示图形的形心主惯性矩。求图示图形的形心主惯性矩。yz120108010IIIC zcyycz_212211AAyAyAy cm 171215 . 4175 . 0121 cm 97. 1 212211AAzAzAz cm 171215 . 0176121 cm 97. 3 1. .确定确定形心位置形心位置解：解：例例 2 求图示图形的形心主惯性矩。求图示图形的形心主惯性矩。yz120108010IIIC zcyycz_ 2. .求求 、 和和CyICzICCzyI1211AaIICCyy 12197. 361212123 45.193 4cm2222AaIICCyy 715 . 097. 3121723 87.84 4cm 32.278 CCCyyyIII4cm解：解：例例 2 求图示图形的形心主惯性矩。求图示图形的形心主惯性矩。yz120108010IIIC zcyycz_ 2. .求求 、 和和CyICzICCzyI CCCzzzIII22212121AbIAbICCzz 1215 . 097. 11211223 7197. 15 . 4127123 4cm 32.100 解：解：例例 2 求图示图形的形心主惯性矩。求图示图形的形心主惯性矩。