高二数学选修2-2合情推理

1、教学重点：能利用归纳和类比等进行简单的猜想和推理教学难点：用归纳和类比进行作出猜想.知识点一、归纳推理1. 归纳推理的概念1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=161+3+5+7+9=25。由此猜想：1+3+5+7+。（2n-1）= n2归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。观察等式：，能得出怎样的结论？思考：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？(ii)归纳推理有何作用？ (iii)归纳推理的结果是否正确？ 2. 归纳推理的应用题型一、数列的归纳例题：1已知数列的第1项，且，试归纳出通项公式.A变式1 猜想数列的通项公式是 .A变式2.已知m0

2、，不等式x2，x3，x4，可推广为xn1，则m的值为_解析x，x，易得其展开后各项之积为定值1，所以可猜想出x，也满足各项乘积为定值1，于是mnn.A变式324；×24；3；×3；4；×4；，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为_A变式4 在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn.(1) 求a1，a2，a3；(2) 由(1)猜想数列an的通项公式；B变式1已知数列an满足a12，an1(nN*)，则a3_，a1·a2·a3··a2007_B变式2 如图是一个数表，第一行依次写着

3、从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行，第10个数为_解析观察数表可知，每行数分别构成公差为20,21,22,23，的等差数列，所以第13行的公差为212.又每行第一个数分别为1,321×20,8222×2,20233×22,48244×23,256255×24，故第13行第一个数为21212×2117×212，第10个数为7×2129×21216×212216.B变式3 已知函数f（x）满足：f（1）

4、=3，f（2）=6，f（3）=10，f（4）=15，则f（12）的值为（）二类比推理类比推理是由特殊到特殊的推理.题型二、从平面到空间的类比例题1(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？(iii)由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. 圆的概念和性质 球的类似概念和性质 圆的周长 圆的面积 圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两线相等；与圆心距离不等的两弦不等 距圆心较近的弦较长以点（a,b）为圆心，r为半径的圆的方程为小结：平面空间，圆球，线面，周长面积，

5、面积体积，2维3维 内切圆 内切球 平方一般不变 当不确定时可以计算出来检验一下A变式1 在平面上，若两个正三角形的边长之比1：2，则它们的面积之比为1：4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1：2，则它的体积比为（）A1：4B1：6C1：8D1：9分析：由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可解答：解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的底面积之比为1：4，对应高之比为1：2，所以体积比为 1：8故选C点评：本题

6、主要考查类比推理类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去A变式2 对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于各面正三角形的什么位置（）A各正三角形的中心B各正三角形的某高线上的点C各正三角形内一点D各正三角形外的某点考点：类比推理菁优网版权所有专题：计算题分析：立体几何中的四面体，可以与平面几何中的三角形类比，四面体的面可以与三角形的边类比，因此可得结论解答：解：四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，故选A点评：本题主要考查类比思想的运用，有平面到空间，应注意相类比的元素，属

7、于基础题A变式3在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外切圆面积为S2，则 =，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则 =（）ABCD考点：类比推理菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离分析：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到，类比平面几何的结论，确定正四面体的外接球和内切球的半径之比，即可求得结论解答：解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a，则AE=，DE=设OA=R，OE=r，则R=，r=正四面体的外接球和内切球的半径之比是 3：1故正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体

8、积为V2之比等于故选C点评：本题考查类比推理，考查学生的计算能力，正确计算是关键B.变式1.已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为s=（a+b+c）r；四面体的四个面的面积分别为s1，s2，s3，s4，内切球的半径为R类比三角形的面积可得四面体的体积为（）A=（s1+s2+s3+s4）RB=（s1+s2+s3+s4）RC=（s1+s2+s3+s4）RD=（s1+s2+s3+s4）R分析：根据三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，进行猜想解答：解：根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比：A

9、BC的面积为s=（a+b+c）r，对应于四面体的体积为V=（s1+s2+s3+s4）R故选B点评：本题考查了立体几何和平面几何的类比推理，一般平面图形的边、面积分别于几何体中的面和体积进行类比，从而得到结论B变式2平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）ABCD考点：类比推理菁优网版权所有专题：规律型；空间位置关系与距离分析：由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间

10、中体的性质固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质解答：解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 ，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=，BO=AO=aOE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故选B点评：本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力B变式3 在平面几何

11、里，有勾股定理：“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则|AB|2+|AC|2=|BC|2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可得”（）A|AB|2+|AC|2+|AD|2=|BC|2+|CD|2+|BD|2BS2ABC×S2ACD×S2ADB=S2BCDCSABC2+SACD2+SADB2=SBCD2D|AB|2×|AC|2×|AD|2=|BC|2×|CD|2×|BD|2分析：斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方

12、和，边对应着面解答：解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：SBCD2=SABC2+SACD2+SADB2故选C点评：本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理小结：归纳推理和类比推理统称为合情推理. n400.数列型的用求数列的通项公式题型三、等差数列与等比数列的类比例题3 设等差数列的前n项和为则成等差数列.类比以上结论有:设等比数列的前n项积为则 , 成等比数列. 解析 由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和、差有关,等比数列与积、商有关,因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时,类比到等比数列为依次每4项的积成等比数列.下面证明该结论的正确性: 设等比数列的公比为q

13、,首项为 则 即 故成等比数列. 答案 小结 ：等差类比等比 加 乘 减 除 算术平均数 几何平均数A变式1若数列an是等差数列，则数列也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为（）ABCD分析：利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论解答：解：数列an是等差数列，数列=也为等差数列正项数列cn是等比数列，设首项为c1，公比为q=是等比数列故选D点评：本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可A变式2在公差为d的等差数列an中，我们可以得到an=am+（nm）d （m，n

14、N+）通过类比推理，在公比为q的等比数列bn中，我们可得（）Abn=bm+qnmBbn=bm+qmnCbn=bm×qmnDbn=bm×qnm考点：类比推理菁优网版权所有专题：探究型分析：因为等差数列an中，an=am+（nm）d （m，nN+），即等差数列中任意给出第m项am，它的通项可以由该项与公差来表示，推测等比数列中也是如此，给出第m项bm和公比，求出首项，再把首项代入等比数列的通项公式中，即可得到结论解答：解：在公比为q的等比数列bn中，设其首项为b1，则，所以则故选D点评：本题考查了类比推理，类比推理就是根据两个不同的对象在某些方面的相似之处，从而推出这两个对象在

15、其他方面的也具有的相似之处，是基础题A变式3在等差数列an中，也成等差数列，那么在等比数列bn中，下列推断正确的是（）A数列成等差数列B数列成等比数列C数列成等比数列D数列成等比数列分析：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列an是等差数列，则当时，数列cn也是等差数列类比上述性质，若数列bn是各项均为正数的等比数列，则当时，数列dn也是等比数列解答：解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理

16、为几何平均数等，故我们可以由数列an是等差数列，则当时，数列cn也是等差数列类比推断：若数列bn是各项均为正数的等比数列，则当时，数列dn也是等比数列故选D点评：本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）B变式1 在等差数列an中，若an0，公差d0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，q1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）Ab4+b8b5+b7Bb5+b7b4+b8Cb4+b7b5+b8Db4+b5b7+b8分析：类比等差数列an与等

17、比数列bn均为各项为正数的递增数列，等差数列中的“和”运算类比等比数列中“积”运算，由此即可得到答案解答：解：在等差数列an中，an0，公差为d0，所以an为各项为正数的递增数列，由于4+6=3+7时有a4a6a3a7，而在等比数列bn中，bn0，q1，则bn为各项为正数的递增数列，由于4+8=5+7，所以应有b4+b8b5+b7，b4+b8b5+b7故选：A点评：本题考查类比推理，考查学生的观察、分析、类比能力，考查推理论证能力，属中档题B.变式2若an是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，有正确的结论：（mn）ap+（np）am+（pm）an=0，类比上述性质，相应地，若等比数列bn，

18、m，n，p是互不相等的正整数，有bp mn×bmnp×bnpm=1考点：类比推理；等比数列的性质菁优网版权所有专题：压轴题；探究型分析：仔细分析题干中给出的不等式的结论：（mn）ap+（np）am+（pm）an=0的规律，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此等比数列类比到等差数列的：bp mnbmnpbnpm=1成立解答：解：等差数列中的（mn）ap可以类比等比数列中的bp mn等差数列中的（np）am可以类比等比数列中的bm np等差数列中的（pm）an可以类比等比数列中的bn pm等差数列中的“加”可以类比等比数列中的“乘”故bp mn×bmnp×bnpm=1故答案为bp mn×bmnp×bnpm=1点评：本题主要考查等差数列类比到等比数列的类比推理，类比推理一般步骤：找出等差数列、等比数列之间的相似性或者一致性用等差数列的性质去推测物等比数列的性质，得出一个明确的命题（或猜想）B 变式3若an是等差数列，m，n，p