量纲分析法与无量纲化

1、量纲分析法与量纲分析法与无量纲化无量纲化量纲分析法与无量纲化量纲分析法与无量纲化 量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析，可以正确的分析各变量之间的关系，简化试验和便于成果整理。 在国际单位制中，有7个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为 M、L、T、I、 、J、和N；称为基本量纲基本量纲。任意一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积， 无量纲化(Dimensionle

2、ss)是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度，将有量纲量化为无量纲量达到减少参数，简化模型的效果。 动力学物理量的量纲动力学物理量的量纲长度长度 l 的量纲记的量纲记 L=l质量质量 m的量纲记的量纲记 M=m时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t动力学中动力学中基本量纲基本量纲M, L, T速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1导出量纲导出量纲122m mfGr加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2力力 f 的量纲的量纲 f=MLT-2万有引力常数万有引力常数 G 的量纲的量纲 G对无量纲量对无量纲量 ， =1(=M0L0T0)=M-1L3T-2量纲齐次原则量纲齐次原则描述物理规律的

3、表达式每一项必须具有相同的量纲描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲量纲分析量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系系201( )2S tSvtat例：求例：求单摆运动单摆运动周期周期 T 的表达式的表达式lmgm2lTg设物理量设物理量 T, m, l, g 之间有关系式之间有关系式(, ,)0f T m l g0)(F假设等价于假设等价于无量刚量无量刚量关系式关系式43122000yyyyT M LLTM LT342142000yyyyyM LTM LT001100010012 TM L TmM L TlM LTgM LT单摆运动中单摆运动中 T

4、, m, l, g 的一般表达式的一般表达式(, ,)0f T m l g234140020yyyyy1122Tlg()lTg12341122( ,)(1,0, )TTyy y y y基本解3124yyyyT m l gy1y4 为待定常数为待定常数, 为无量纲量为无量纲量0)(FmjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价, F未定未定Pi定理定理 (Buckingham)设设 f(q1, q2, , qm) = 0是与量纲单位无关

5、的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量纲是基本量纲, n m, q1, q2, , qm 的量纲可的量纲可以以表表示示为为,mnijaA定义定义量纲矩阵量纲矩阵rA rank若线性齐次方程组线性齐次方程组0Ay有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作mjyjssjq1为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量, 且且则则0 011101 1311 101 0212MALTl vgp l = L, v =LT-1, = ML-3, p = ML-1T-2, = ML-1T-1, g = LT-2量纲分析示例：量纲分析示例：（水头损失问题）（水头损失问

6、题）管道内不可压缩粘性流体的压强差管道内不可压缩粘性流体的压强差管道两端管道两端压强差压强差 pmjXqniaijij, 2 , 1,1管道长管道长l, 流速流速v, 粘性系数粘性系数 ,密度密度 重力加速度重力加速度g。mnijaAm=6, n=30( , , )pl vg 0),(21mqqqf选取物理量选取物理量123011212110010010001,yyyy211121213vlvl v gp Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r个基本解个基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmj

7、yjssjq1m-r 个无量纲量个无量纲量 F( 1, 2 , 3 ) = 0与与 (l,v, ,p, ,g) = 0 等价等价为得到差为得到差 p 的显式表达式的显式表达式F=0123(,) 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价222323(,)(,),pvv 211121213vlvl v gp 23Reynold numberFroude ne;umb rRe:lvvFrgl 隐函数定理g = LT-2, l = L, = ML-3, v = LT-1, s = L2, f = MLT-2量纲分析示例：量纲

8、分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力航船阻力航船阻力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1航船速度航船速度v, 船体尺寸船体尺寸l, 浸没面积浸没面积 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g。mnijaAm=6, n=3( , , , ,)0g lv s f0),(21mqqqf00 100 1113 12 12 0 01 02Ag lfv s 12300(1,0, )(0,1, )(0,0, ) 1TTTyyyflgslvl 1, 3, 1, 0, 2, 0, 0 , 2/ 1, 2/ 1Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解rank A

9、= 3rank A = rAy=0 有有m-r个基本解个基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 个无量纲量个无量纲量0),(21mqqqf( , , , ,)0g lv s f F( 1, 2 , 3 ) = 0与与 (g,l, ,v,s,f) = 0 等价等价flgslvl得到阻力为得到阻力 f 的显式表达式的显式表达式F=0),(213 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价221213,),(lsglvglf3.2 量纲分

10、析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 例例: 航船阻力的物理模拟航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力通过航船模型确定原型船所受阻力gvlsf, 模型船的参数模型船的参数(均已知均已知)13111121112211 1,()fl gvslgl 可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力132122(),fl gvslgl 111111,gvlsf 原型船的参数原型船的参数(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同2211,31311llff311lffl)(1 结论：结论：按一定尺寸比例造模型船，量测按一定尺寸比例造

11、模型船，量测 f， 可算出可算出 f1 物理模拟物理模拟221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至关重要的中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数基本量纲个数n; 选哪些基本量纲选哪些基本量纲有目的地构造有目的地构造 Ay=0 的基本解的基本解 方法的普适性方法的普适性函数函数F和无量纲量未定和无量纲量未定不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识3.3 无量纲化方法无量纲化方

12、法无量纲化方法是用数学工具研究物理问题的常用方法，通过选择恰当的变换可以减少参数，简化某些数学问题。r,K为正参数为正参数 x具有量纲具有量纲，且，且与与 K 量纲相同量纲相同, rt t时间无量纲化例例1：简化常微分方程：简化常微分方程xyKx-y 变量无量纲化无量纲化简化后的模型不含参数！便于理论分析和数值求解。简化后的模型不含参数！便于理论分析和数值求解。 t具有量纲具有量纲，且，且与与 1/r 量纲相同量纲相同卡丹公式（卡丹公式（Cardanos Formula ） 2323qp 令，231133 1 2 3 22, , .ikkkqqxke 3令bzxa例例2：简化三次方程：简化三次方程ckxbaxA3/1)(例例3：简化非线性参数方程：简化非线性参数