第7章应力状态和强度理论

1、1第第 七七 章章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论目录2目目录录目录3低碳钢低碳钢 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铸 铁铁目录4脆性材料扭转时为什么沿脆性材料扭转时为什么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢低碳钢铸铸 铁铁目录5x xxxy拉拉 中中 有有 剪剪xx根据微元的局部平衡：根据微元的局部平衡：目录6 xxxyyxyx目录7 重重 要要 结结 论论 不仅横截面上存在应力，斜截不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。上的应

2、力。 目录8应力的三个重要概念1 1、应力的点的概念、应力的点的概念; ;2 2、应力的面的概念、应力的面的概念; ;3 3、应力状态的概念、应力状态的概念. .目录9QFMzNF 横截面上正应力分析和切应力分横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即力各不相同，此即应力的点的概念应力的点的概念。目录10 xxyx xxx 微元平衡分析结果表明：即使同微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即同的，此即应力的面的概念应力的面的概念目录11哪一个面上哪一个面上？哪一点哪一

3、点？哪一点哪一点？哪个方向面哪个方向面？目录12目录13yxz x y z xy yx yz zy zx xz目录14xyx yyx目录15xyxxyyx目录16三向应力状态三向应力状态平面应力状态平面应力状态单向应力状态单向应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态特例特例特例特例目录17点的应力状态的描述点的应力状态的描述示例一示例一：FPl/2l/2S平面平面目录1854321 5432 11x 12 2x 2 23 3 3S S平面平面4PlFMz 2PF目录19示例二示例二FPlaS目录20 xzy4321S S平面平面目录FPlaS21pxWMyxzMzFSMx43211zzxWM 1 43

4、bISFWMZ*ZSpxpxWMzzxWM目录22F laS1pWT zzWM 3pWT zzWMzMzT4321yxM FlT Fa目录23123yxz x y z xy yx yz zy zx xz 单元体上没有切应力的面称为单元体上没有切应力的面称为主平面主平面；主平面；主平面上的正应力称为上的正应力称为主应力主应力，分别用分别用 表示，表示，并且并且 。该单元体该单元体称为称为主应力单元主应力单元。321,321 目录24空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：

5、两个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零123目录25x xy yx yyxa a 0 nF 0 tF y a axd dA Axy目录26 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxx 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxx y a axd dA Axy目录27利用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化简得化简得xy2sin2cos)(21)(21xyxyx2cos2sin)(21

6、xyx目录28xyx yyxa使微元顺时针方向使微元顺时针方向转动为正；反之为负。转动为正；反之为负。角角：由由x x 轴正向逆时针转轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反之为负。之为负。 y a axntxyx目录29xyxyx2222)2()2(这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆目录30 xyxyx2222)2()2(RCxyxR22)2(2yx目录31应力圆的画法应力圆的画法A( x , x)D( y , y)c xy 2RxyxR22)2(y yxADx目录32几种对应关系几种对应关系A( x , x)D( y ,

7、y)c xy 2 yyxxH ),(aaH 2目录33 y x y x oc20 AD0目录34 o o目录352214212xyxyx2224212xyxyx oc20 A目录1236yxx22tan0目录37A max2221minmax4212xyxc o min目录38xyx22tan112tan2tan100212451 1 时，主应力是否为零时，主应力是否为零 ？目录39bpl m t 两端密封的圆柱形压力容器，圆筒部分由壁厚为两端密封的圆柱形压力容器，圆筒部分由壁厚为 ，宽度为宽度为b的塑条滚压成螺旋状并熔接而成。圆筒的的塑条滚压成螺旋状并熔接而成。圆筒的内径为内径为D，且，且

8、D，容器承受的内压压强为，容器承受的内压压强为p，若，若熔接部分承受的拉应力不得超过塑条中最大拉应力熔接部分承受的拉应力不得超过塑条中最大拉应力的的80%，试求塑条的许可宽度。，试求塑条的许可宽度。解：解：（1 1）分析筒上任意点的应力状态，如图。）分析筒上任意点的应力状态，如图。计算环向和轴向应力计算环向和轴向应力 t 和和 m。m t 目录400 xF42DpDm lt2pt t m m 42dpp)( Dm0yF4pDm得：得：2pDt得：得：lDplt2目录41（在筒得内侧表面，存在沿径向的正应力（在筒得内侧表面，存在沿径向的正应力pr筒上各点均为筒上各点均为平面应力状态平面应力状态。

9、但当但当 0，试确定截面上各点主应，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置力大小及主平面位置q21345解：解：梁横截面上梁横截面上各点的弯曲正应各点的弯曲正应力和切应力分别力和切应力分别为：为：zzsxbISFzxIMy223122xxx）（主应力：主应力： 目录 1 15 5 3 31 1 3 3 1 13 3452 2 1 1 3 30 3 34 4 1 10 A1A2D2D1COA2 D2D1CA1O 2 0D2 D1CD1O2 0= 90 D2A1O2 0CD1A2 A2D2D1CA1O目录44求图示单元体的主应力及主平面的位置求图示单元体的主应力及主平面的位置 ( (单位：单位：M

10、Pa) )4532532595150解：解：(1)(1) 应力坐标系如图应力坐标系如图(3) AB的垂直平分线与的垂直平分线与 轴的交点轴的交点 C 即即是圆心，是圆心， 以以 C 为圆心，以为圆心，以 AC为为 半径画圆半径画圆 )325,45(B)325,95(A(2)(2)在在坐标系内画出点坐标系内画出点BAC 3 1 2 (MPa) (MPa)20MPa02 1 2 0目录45 3 1 2BAC (MPa)(MPa)O20MPa02 EDF4532532595150(4)(4)按按图计算图计算圆心坐标圆心坐标和和半径半径 OC =(=(A 横坐标横坐标+ +B 横坐标横坐标)/2= )

11、/2= 70020120321 ROCROC(5)(5)计算计算主应力及方位角主应力及方位角5022DCADACR60 20FCAFtgarc300 (6)(6)在在图上画主单元体、主应力图上画主单元体、主应力目录 1 2 046试求试求（1 1） 斜面上的应力；斜面上的应力； （2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。 y x x。30MPa，60 xMPa,30 x,MPa40y已知已知目录47解：解： （1 1） 斜面上的应力斜面上的应力)60sin(30)60cos(2406

12、0240602sin2cos22xyxyxMPa02. 92cos2sin2xyx)60cos(30)60sin(24060MPa3 .58y x x目录48（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面2yxxyx22)2(MPa3 .682yxxyx22)2( MPa3 .48MPa3 .48, 0MPa,3 .68321y x x目录49主平面的方位：主平面的方位：0.640606022tan0yxx,5 .150105.59015.5900代入代入 表达式可知表达式可知 主应力主应力 方向：方向：15 .150主应力主应力 方向：方向：3 5 .1050目录y x x50（3 3）主应力单元

13、体：）主应力单元体：y x x5 .1513目录51定义定义三个主应力都不为零的应力状态三个主应力都不为零的应力状态321 x y z xy yx yz zy zx xz231目录52IIIIII 1 2 3 x x max=zpypxp 1 2 3 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 3 1 3 2 3 2 1目录53最大主应力：最大主应力： max= 1极值切应力：极值切应力：222313132322121，最大切应力：最大切应力： max= 1,3极值切应力所在平面与主平面夹角极值切应力所在平面与主平面夹角 45目录54求图示单元体的主应力和最大剪应力求图示单元体的主应力和最大剪

14、应力（MPa）xyz504030ABC解：解：(1)(1)由图知由图知 yz 面为主平面之一面为主平面之一501（2 2）建立应力坐标系，画应力圆建立应力坐标系，画应力圆 （MPa ） （MPa ） 1 2 3 max2750583121 44max目录551. 1. 基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律xxE Exxyx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 G 目录5632111E1E1E2E3112323目录5723132111E13221E21331E目录58)(1zyxxEGxyxy )(1xzyyE)(1yxzzEGyz

15、yz Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xz目录59xyzxyzzyxxyxyzxyzzyxzxxyzxyzzyxyzxyzxyzzyxzxyzxyzzyxyxyzxyzzyxxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211xyxyzyxzzxzxzyxyyzyzzyxxCCCCCCCCCCCC663332315523222144131211正交各正交各向异性向异性各向异性各向异性 Cij = Cji目录6

16、0a1a2a3体积应变与应力分量间的关系体积应变与应力分量间的关系321aaaV )1 ()1 ()1 ()1 (321321332211aaaaaaV321VVV体积应变：体积应变：目录61)(21)(21321zyxEE代入本构关系，得到体积应变与应力分量间代入本构关系，得到体积应变与应力分量间的关系的关系: :对于平面纯剪应力状态，对于平面纯剪应力状态，1 1= -= -3 3 = = ，可可见，见，这种情况的这种情况的 = = 0目录62为测量薄壁容器所承受的内压力，用电阻应变片测得容为测量薄壁容器所承受的内压力，用电阻应变片测得容器表面环向应变器表面环向应变 t = =350l0-6

17、；容器平均直径；容器平均直径D = 500 mm，壁厚壁厚 =10 mm，E =210GPa， =0.25。 求：求：1.1.横截面和横截面和纵截面上的正应力表达式；纵截面上的正应力表达式； 2.2.内压力内压力pppx t mlpODxABy目录634pDm2pDt容器的环向和轴向应力为容器的环向和轴向应力为以应力应变关系求内压：以应力应变关系求内压： 241EpDEmttMPa36. 3)25. 02(5 . 01035001. 0102104)2(469DEpt t m目录64 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性

18、应变能，简称在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能应变能，用用V 表示表示。 某点处单位体积内的应变能称为该点的应变能密某点处单位体积内的应变能称为该点的应变能密度，用度，用 v 表示。表示。单向应力状态单向应力状态( (轴向拉伸轴向拉伸) )的的应变能密度：应变能密度：21v目录65空间应力状态空间应力状态( (轴向拉伸轴向拉伸) )的的应变能密度：应变能密度：形状改变能密度形状改变能密度vd体积改变能密度体积改变能密度vVdVvvv2321V621Ev213232221d61Evzxzxyzyzxyxyzzyyxxv2121332211目录66max,maxAFN（拉压）（拉压）ma

19、xmax WM（弯曲）（弯曲）*maxzzsbISF（弯曲）（弯曲）（扭转）（扭转）maxpWTmax max 目录67max max 满足满足max max 是否强度就没有问题了？是否强度就没有问题了？目录68强度理论：强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。理论。目录69 (1) (1) 脆性断裂：脆性断裂：材料无

20、明显的塑性变形即发生断裂，材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于关于屈服的强度理论：屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论最大切应力理论和形状改变比能理论 (2) (2) 塑性屈服（流动）塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于关于断裂的强度理论：断裂

21、的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论最大拉应力理论和最大伸长线应变理论目录701. 1. 最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论）u1 构件危险点的最大拉应力构件危险点的最大拉应力1 极限拉应力，由单拉实验测得极限拉应力，由单拉实验测得buu目录71b1 断裂条件断裂条件 nb1强度条件强度条件最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁拉伸铸铁扭转铸铁扭转目录722. 2. 最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论（第二强度理论）（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂, ,

22、都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。伸时的破坏伸长应变数值。 u1 构件危险点的最大伸长线应变构件危险点的最大伸长线应变1 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得uE/)(3211E/bu目录73实验表明：实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。更接近实际情况。)(321nb最大伸长拉应变理论最大伸长拉应变理论（第二强度理论）（第二强度理

23、论）断裂条件断裂条件EEb)(1321b)(321即即目录74 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。umax3.3.最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论） 构件危险点的最大切应力构件危险点的最大切应力max 极限切应力，由单向拉伸实验测得极限切应力，由单向拉伸实验测得u2/us2/ )(31max目录75s31 屈服条件屈服条件 ss31n强度条件强度条件最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢拉伸低碳

24、钢扭转低碳钢扭转目录76实验表明：实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。塑性变形或断裂的事实。)0(max局限性：局限性：2 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。1 1、未考虑、未考虑 的影响，试验证实最大影响达的影响，试验证实最大影响达15%15%。2最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论）目录77 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发

25、生屈服, ,都是都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。dudvv213232221d)()()(61Ev 构件危险点的形状改变比能构件危险点的形状改变比能dv2du31sEv 形状改变比能的极限值，由单拉实验测得形状改变比能的极限值，由单拉实验测得duv目录7822132322212)()()(s ss213232221)()()(21n目录791r,1)(321r,2)()()(21213232221r,4r31r,3r目录8035.7MPa0.17000163tWTMPa37. 6101 . 050432 AP2222)( MPa32393

26、5.7)26.37(26.372232MPa , 0 ,39MPa321 1AA A A目录81薄壁圆筒受最大内压时薄壁圆筒受最大内压时, 测得测得 x=1.88 10-4 ， y=7.37 10-4, 用第三强度理论用第三强度理论校核校核其其强度强度。( E = 210GPa, = 170MPa, = 0.3 )94.4MPa107.37)0.3(1.880.312.1)(1722yxxE183.1MPa101.88)0.3(7.370.312.1)(1722xyyE目录820 ,94.4MPa ,183.1MPa321 183.131r3 00r37.7170170183.1目录83l在纯

27、剪切应力状态下：在纯剪切应力状态下：l用第三强度理论求出：塑性材料的许用切用第三强度理论求出：塑性材料的许用切应力与许用拉应力之比应力与许用拉应力之比l用第四强度理论求出：塑性材料的许用切用第四强度理论求出：塑性材料的许用切应力与许用拉应力之比应力与许用拉应力之比 目录84解：解：在纯剪切应力状态下，三个主应力分别为在纯剪切应力状态下，三个主应力分别为1230 ,第三强度理论的强度条件为：第三强度理论的强度条件为：132 () 由此得：由此得： 2剪切强度条件为：剪切强度条件为： 按第三强度理论可求得：按第三强度理论可求得： 2目录85第四强度理论的强度条件为：第四强度理论的强度条件为：123

28、122232312()()() 由此得：由此得： 3剪切强度条件为：剪切强度条件为： 按第三强度理论可求得：按第三强度理论可求得： 3目录86 以各种应力状态下材料的破坏试验结果为依据，以各种应力状态下材料的破坏试验结果为依据，建立起来的经验性强度理论。建立起来的经验性强度理论。 图（图（a）中各应力圆）中各应力圆为材料在各种应力状态下为材料在各种应力状态下破坏时，由最大、最小主破坏时，由最大、最小主应力画出的应力画出的极限应力圆极限应力圆，它们的它们的包络线包络线ABC，即为，即为判断材料破坏与否的依据，判断材料破坏与否的依据，当某点的当某点的应力不超过应力不超过ABC时，则认为该点不破坏时

29、，则认为该点不破坏。（a）目录87 由于得到该包络线需要大量的试验，工程中常由于得到该包络线需要大量的试验，工程中常采用单向拉伸和压缩两个应力圆的切线代替该包络线。采用单向拉伸和压缩两个应力圆的切线代替该包络线。图（图（b）所示。）所示。（b）强度计算时引入适当的安强度计算时引入适当的安全因数，即全因数，即cctt目录88（c）对于图（对于图（c）应力圆）应力圆O3代表的代表的任意应力状态，任意应力状态，强度条件表达式为：强度条件表达式为： 3ct1t或写成：或写成： 3ct1rMrMt目录89填空题填空题 1 1 冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，其原冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，其原因

30、是冰处于因是冰处于 应力状态，而水应力状态，而水管处于管处于 应力状态。应力状态。三向压三向压二向拉二向拉目录90填空题填空题 2 2石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵截面裂开，这与第截面裂开，这与第 强度理论强度理论的论述基本一致。的论述基本一致。目录91填空题填空题 3 3一球体在外表面受均布压力一球体在外表面受均布压力 p = 1 MPa 作用，作用，则在球心处的主应力则在球心处的主应力 1 = MPa， 2 = MPa， 3 = MPa。目录92填空题填空题 4 4三向应力状态中，若三个主应力都等于三向应力状态中，若三个主应力都等于，材料的弹性模量

31、和泊松比分别为材料的弹性模量和泊松比分别为 E 和和 ，则三个主应变为则三个主应变为 。）（）（）（213313223211111EEE目录93填空题填空题 5 5第三强度理论和第四强度理论的相当应力第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为分别为r3及及r4，对于纯剪应力状态，恒有，对于纯剪应力状态，恒有r3r3 r4r4。1230 ,r3132 ()r4122232312123()()()目录3/294填空题填空题 6 6危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料，应选危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料，应选用用 强度理论进行计算，因为强度理论进行计算，因为此时材料的破坏形式为此时材料的破坏形式为 。目录95填空题填空题 7 7纯剪切应力状态下，各向同性材料单元体纯剪切应力状态下，各向同性材料单元体的体积改变有四种答案：的