第60讲 直(正)棱柱与正棱锥、平面

1、1.了解直（正）棱柱、正棱锥的基本了解直（正）棱柱、正棱锥的基本结构特征及基本性质，并能简单应用结构特征及基本性质，并能简单应用.2.能直观认识空间点、线、面的位置能直观认识空间点、线、面的位置关系，理解空间线、面位置关系的定义，关系，理解空间线、面位置关系的定义，并了解可作为推理依据的公理并了解可作为推理依据的公理(13).3.了解空间两条直线的位置关系，掌了解空间两条直线的位置关系，掌握异面直线所成的角的概念，会用平移法握异面直线所成的角的概念，会用平移法作出异面直线所成的角，并求角的大小作出异面直线所成的角，并求角的大小.1.以下命题中：以下命题中： 经过一条直线和这条直线外一点有且只经

2、过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；有一个平面； 经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面； 两条平行的直线可以确定一个平面；两条平行的直线可以确定一个平面； 三点可确定一个平面三点可确定一个平面. 其中正确的命题有其中正确的命题有( )CA.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个 由平面的基本性质知，由平面的基本性质知，正确正确.不在同一直线上的三点确定一个不在同一直线上的三点确定一个平面，故不正确，故选平面，故不正确，故选C.2.下列命题中，正确的是下列命题中，正确的是( )DA.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B.侧面都是

3、等腰三角形的棱锥是正棱锥侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D.底面为正多面边形，且有相邻两个侧底面为正多面边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱面与底面垂直的棱柱是正棱柱 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故故A、C都不够准确，都不够准确，B中对等腰三角形的中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确腰是否为侧棱未作说明，故也不正确.3.以下命题中：以下命题中： 点点A、B、C直线直线a,A、B平面平面,则则C; 点点A

4、直线直线a,a平面平面，则，则A; 、是不同的平面，是不同的平面，a,b，则，则a、b异异面；面； 三条直线两两相交三条直线两两相交,则这三条直线共面；则这三条直线共面； 空间有四点不共面空间有四点不共面,则这四点中无三点共线则这四点中无三点共线. 其中真命题的个数为其中真命题的个数为( )CA.0 B.1 C.2 D.3 由公理由公理1知，正确；知，正确；若若a=A,则则A，不正确；，不正确；若若A，Aa,Ab,则则a、b相交，相交，不正确；不正确；若三条直线是长方体相交的三条棱时，若三条直线是长方体相交的三条棱时，它们不共面，不正确；它们不共面，不正确；若空间四点中有三点共线，则这四点共若

5、空间四点中有三点共线，则这四点共面，正确，故选面，正确，故选C.4.给出下列命题：给出下列命题： 若平面若平面上的直线上的直线a与平面与平面上的直线上的直线b为为异面直线，直线异面直线，直线c是是与与的交线，那么的交线，那么c至至多与多与a、b中的一条相交；中的一条相交； 若直线若直线a与与b异面，直线异面，直线b与与c异面，则直异面，则直线线a与与c异面；异面； 一定存在平面一定存在平面同时和异面直线同时和异面直线a、b都平都平行行. 其中正确的命题为其中正确的命题为 ( )CA. B. C. D. 错，错，c至多可与至多可与a、b中的两条相交中的两条相交;错，因为错，因为a、c可能相交也可

6、能平行；可能相交也可能平行；对，例如过异面直线对，例如过异面直线a、b的公垂线段的中的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件点且与公垂线垂直的平面即可满足条件.故选故选C.5.如图，正方体如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中中.A1B1与与BC所成的角为所成的角为 ;A1C1与与AB所成的角为所成的角为 ;A1C1与与AB1所成的角为所成的角为 .904560一、直棱柱和正棱柱的结构及基本性质一、直棱柱和正棱柱的结构及基本性质1.直棱柱的定义直棱柱的定义:侧棱侧棱 底面的棱底面的棱柱叫直棱柱柱叫直棱柱.2.正棱柱的定义正棱柱的定义:底面是正多边形的直棱柱底面是正多边形的直棱柱叫正棱

7、柱叫正棱柱.3.棱柱的性质棱柱的性质:(1)棱柱的各个侧面都是棱柱的各个侧面都是 ,所所有的侧棱都有的侧棱都 ,直棱柱的各个侧面都是直棱柱的各个侧面都是 .正棱柱的各个侧面都是正棱柱的各个侧面都是 .垂直于垂直于平行四边形平行四边形相等相等矩形矩形全等的矩形全等的矩形(2)棱柱的两个底面与平行于底面的截面棱柱的两个底面与平行于底面的截面是是 多边形多边形.(3)过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是 . 4.特殊的四棱柱：特殊的四棱柱：平行六面体平行六面体: 的四的四棱柱棱柱;直四棱柱直四棱柱: 的四棱柱的四棱柱;直平行六面体直平行六面体: 的平行的平行六面体六面体;

8、长方体长方体: 的直平行六面体的直平行六面体;正方体正方体: 的方体的方体.对应边互相平行的全等对应边互相平行的全等平行四边形平行四边形底面是平行四边形底面是平行四边形侧棱垂直于底面侧棱垂直于底面侧棱与底面垂直侧棱与底面垂直1111底面是矩形底面是矩形1212棱长都相等棱长都相等 二、正棱锥的结构及基本性质二、正棱锥的结构及基本性质 1.棱锥的概念：棱锥的概念： 如果一个多面体的一个面是多边形，其如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是余各面是 ,那么这那么这个多面体叫做棱锥个多面体叫做棱锥.当底面是当底面是 ，且且 . ,是正棱锥是正棱锥. 2.棱锥的性质：棱锥的性质： 正棱锥各侧棱正棱锥

9、各侧棱 ,各侧面都是各侧面都是 . ，各等腰三角形底边上的高，各等腰三角形底边上的高 .(它叫做正棱锥的斜高它叫做正棱锥的斜高)1313有一个公共顶点的三角形有一个公共顶点的三角形1414正多边形正多边形1515顶点在底面的射影是底面正多边形的顶点在底面的射影是底面正多边形的1616相等相等1717全等全等的等腰三角形的等腰三角形中心时中心时1818相等相等 三、平面的基本性质三、平面的基本性质 1.公理公理1：如果一条直线上的两点在一个：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内平面内，那么这条直线在此平面内判断判断 的依据的依据. 2.公理公理2：过不在同一条直线上的三点，：

10、过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面有且只有一个平面(即可以确定一个平面）即可以确定一个平面）判断判断 的主要依据的主要依据. 3.公理公理3:如果两个不重合的平面有一个如果两个不重合的平面有一个公共点公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线公共直线判断判断 的主要的主要依据依据.1919直线是否在平面内直线是否在平面内2020点、线共面点、线共面2121线共点与作截面线共点与作截面 四、空间直线四、空间直线 1.空间四边形空间四边形:四个顶点不在四个顶点不在 的的四边形叫做空间四边形四边形叫做空间四边形. 2.等角定理等角定理:空间中空间中,如果

11、两个角的两边分别如果两个角的两边分别对应平行对应平行,那么这两个角那么这两个角 . 3.空间直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系: . . 4.异面直线所成的角：是指过空间任意一异面直线所成的角：是指过空间任意一点点O分别作两条异面直线的平行线，所得的两分别作两条异面直线的平行线，所得的两条相交直线所成的条相交直线所成的 ，它的取值范，它的取值范围是围是 .2222同一平面同一平面2323相等或互补相等或互补2424平行、平行、相交、异面相交、异面2525锐角或直角锐角或直角2626(0, 2例例1 下列命题中：下列命题中：若直线若直线a与与b没有公共点，则没有公共点，则ab;若直线若

12、直线b平面平面,直线直线a,则则ba;若平面若平面,b，a，则，则ba;若直若直线线a不在平面不在平面内，则内，则a;长方体长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面中，平面ABCD与平面与平面A1BC1只有一个公共点只有一个公共点B;直线直线a、b、c,若若ac,bc，则，则ab.其中真命题的个数是其中真命题的个数是( )A.0 B.1 C.3 D.4 平面几何的知识向立体几何推广的时平面几何的知识向立体几何推广的时候，要慎重候，要慎重.在直线与直线的位置关系中，空在直线与直线的位置关系中，空间中多了一种全新的异面关系，复习时应借间中多了一种全新的异面关系，复习时应借助熟悉的空间几何图形，理解

13、这种关系助熟悉的空间几何图形，理解这种关系.A 此题考查的是空间点、线、面的位置此题考查的是空间点、线、面的位置关系，解决此类问题要概念清晰，逐个分析，关系，解决此类问题要概念清晰，逐个分析，可借助熟悉的图形可借助熟悉的图形. 直线直线a与与b没有公共点，没有公共点，a、b可能平行可能平行或异面；直线或异面；直线b平面平面，直线，直线a，a、b可能平行或异面；若平面可能平行或异面；若平面，b，a，可知直线，可知直线b与与a无公共点，则无公共点，则a与与b可平可平行也可异面；若直线行也可异面；若直线a不在平面不在平面内，则内，则a与与相交或平行；平面与平面如果有公共相交或平行；平面与平面如果有公

14、共点，就不止一个，应该有一条过点，就不止一个，应该有一条过B的公共直的公共直线线.在空间内，考虑问题要脱离平面的束缚，在空间内，考虑问题要脱离平面的束缚，长方体的共点的三条棱两两垂直，便是反例长方体的共点的三条棱两两垂直，便是反例.据以上分析，故选据以上分析，故选A. 本题易错在本题易错在:（1）分析命题）分析命题时把平面几何中的结论直接照搬，不时把平面几何中的结论直接照搬，不加分析；（加分析；（2）分析命题时，只看到）分析命题时，只看到表面上只有一个交点，误以为这两个表面上只有一个交点，误以为这两个面只有一个交点面只有一个交点. 已知已知E,F,G,H是空间中的四个点，设是空间中的四个点，设

15、命题命题M:点点E,F,G,H不共面；命题不共面；命题N:直线直线EF和和GH不相交不相交.那么那么( )A.M是是N的充分不必要条件的充分不必要条件B.M是是N的必要不充分条件的必要不充分条件C.M是是N的充要条件的充要条件D.M既不是既不是N的充分条件的充分条件,也不是也不是N的必要条件的必要条件A 首先首先,M EF与与GH不相交不相交,可用反证可用反证法证明法证明;其次，因为若其次，因为若EFGH,点点E,F,G,H共面，共面，故故EF与与GH不相交不相交 / M，故选，故选A.例例2 在三棱锥在三棱锥S-ABC中中,SC=1,其余各棱其余各棱长均为长均为2.如果如果E、F分别是分别是

16、SC与与AB的中点的中点. (1)证明证明:EF与与SA为异面直线；为异面直线； (2)求异面直线求异面直线EF与与SA所成角的余弦值所成角的余弦值. 要求异面直线要求异面直线EF与与SA所成的角，把所成的角，把SA平移至与平移至与EF相交，易知取相交，易知取AC的中点即的中点即可可. (1)证明：假设证明：假设EF与与AS共面，则共面，则A、S、E、F.由题设由题设A、S、E三点不共线三点不共线,且确定平面且确定平面ASC,则平面则平面与平面与平面ASC为同一个平面为同一个平面.又又A平面平面ASC，F，即，即FASC.同时同时A、F直线直线AB，则，则AB平面平面ASC，所以所以B平面平面

17、ASC，与三棱锥，与三棱锥S-ABC矛盾，矛盾，故故EF与与AS异面异面.(2)如图如图,取取AC的中点的中点K,连接连接EK.因为因为E是是SC的中点的中点,故故EKSA,所以所以KEF(或其补角或其补角)是异面直线是异面直线EF与与SA所成的角所成的角.连接连接KF,也有也有KFBC.在在EKF中，中，EK=KF=1.又因为又因为SF=CF EFSC，所以所以EF2=SF2-SE2=3- = ，14114则则EF= ,所以所以cosKEF= = = ，所以异面直线所以异面直线EF与与SA所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .1141122222EKEFKFEK EF11411114 (1)判

18、定或证明两条直线为异面直线，判定或证明两条直线为异面直线，常用反证法常用反证法.(2)求异面直线所成的角，一般求异面直线所成的角，一般先通过平移作出相关角（如与中点有关，大先通过平移作出相关角（如与中点有关，大多可通过作中位线平移），再放入三角形中，多可通过作中位线平移），再放入三角形中，运用解三角形的相关知识求解运用解三角形的相关知识求解.例例3 如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AC=3,BC=4，AB=5，AA1=4. (1)求异面直线求异面直线AC1与与B1C所成的余弦值所成的余弦值; (2)求截面求截面C1AB分该分该 直三棱柱所成的两部直三棱柱所成的两部

19、分的体积比分的体积比. (1)取取AB的中点的中点D，连接，连接CD、B1D，设，设BC1B1C=E，连接，连接DE，则则DEAC1.所以所以CED为为AC1与与B1C所成的角所成的角.在在CED中，中，ED= AC1= ，CD= AB= ，CE= CB1=2 ，所以所以cosCED= = .所以异面直线所以异面直线AC1与与B1C所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .125212521228522 222 252 25(2)由直三棱柱由直三棱柱ABC-A1B1C1可知，可知，CC1平面平面ABC，即，即CC1为直三棱柱的高，也为三棱为直三棱柱的高，也为三棱锥锥C1-ABC的高的高.因此因此 =

20、 = ,从而从而 = = ,即截面分该直三棱柱的体积比为即截面分该直三棱柱的体积比为1 2或或2 1.1111CABCA B CABCVV锥柱1113ABCABCCCSCCS131111CABCA B C ABVV锥多面体11 111CABCA B CABCCABCVVV锥柱锥12 综合问题中涉及到正棱锥或直综合问题中涉及到正棱锥或直(正正)棱棱柱柱,其结构特征和基本性质往往是解决问题其结构特征和基本性质往往是解决问题的依据的依据. 已知正三棱锥已知正三棱锥S-ABC的底面边长为的底面边长为6，侧棱长为侧棱长为 ，求该三棱锥的体积，求该三棱锥的体积.15 设设H是正三角形是正三角形ABC的中心

21、，连接的中心，连接SH,则则SH底面底面ABC，即即SH的长为该正三棱锥的高的长为该正三棱锥的高.连接连接AH交交BC于于E,则则E为为BC的中点的中点,且且AHBC.因为因为ABC是边长为是边长为6的正三角形，的正三角形，所以所以AE= 6=3 ,所以所以AH= AE=2 ,所以所以SH= = = .又又SABC= BCAE= 63 =9 ,所以所以V正三棱锥正三棱锥= SABCSH= 9 =9.32323322SAAH15 123121233131333 如图，四面体如图，四面体A-BCD中，中，E、G分别分别为为BC、AB的中点，的中点，F在在CD上，上，H在在AD上，上，且有且有DF

22、FC=2 3，DH HA=2 3.求证：求证：EF、GH、BD交于一点交于一点. 连接连接GE、HF.因为因为E、G分别为分别为BC、AB的中点，的中点，所以所以GEAC.又因为又因为DF FC=2 3，DH HA=2 3，所以所以HFAC，GEHF,所以所以G、E、F、H四点共面四点共面.又因为又因为EG= AC，HF= AC，所以所以EF与与GH不能平行不能平行,设设EF与与GH交于交于O点点.因为因为O平面平面ABD，O平面平面BCD，而平面而平面ABD平面平面BCD=BD，所以，所以OBD,所以所以EF、GH、BD交于一点交于一点.1225 证线共点，常采用证两直线的交点在证线共点，常

23、采用证两直线的交点在第三条直线的方法，而第三条直线又往往第三条直线的方法，而第三条直线又往往是两个平面的交线是两个平面的交线.1.平面的三个基本性质是立体几何的平面的三个基本性质是立体几何的推理依据，要注意通过作图（特别是截推理依据，要注意通过作图（特别是截面图）的训练，加深对公理的掌握和理面图）的训练，加深对公理的掌握和理解解.确定平面的公理及三个推论是将立确定平面的公理及三个推论是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据体几何问题转化为平面几何问题的依据.2.证明若干个点共线的重要方法之一证明若干个点共线的重要方法之一是证明这些点分别是两个平面的公共点，是证明这些点分别是两个平面的公共点，再

24、由公理可知它们共线再由公理可知它们共线.3.证明点共面，线共面的基本途径是由证明点共面，线共面的基本途径是由满足确定平面条件的几个点或几条直线作满足确定平面条件的几个点或几条直线作出平面，再证明其他元素也在该平面内出平面，再证明其他元素也在该平面内.4.学习空间平行直线时，要掌握等角定学习空间平行直线时，要掌握等角定理，并能熟练地应用公理理，并能熟练地应用公理4论证有关直线平论证有关直线平行问题行问题.5.理解异面直线的定义理解异面直线的定义,对对“不同在任不同在任何一个平面内的两条直线何一个平面内的两条直线”要有深刻的认要有深刻的认识识.6.求两条异面直线所成角的大小的求两条异面直线所成角的

25、大小的具体步骤是：选点平移；证明所作具体步骤是：选点平移；证明所作角为异面直线的夹角；解三角形求角角为异面直线的夹角；解三角形求角.7.处理异面直线问题，通常的思路处理异面直线问题，通常的思路是将空间问题平面化处理是将空间问题平面化处理.学例1 ( 全国卷全国卷)已知正四棱锥已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，的侧棱长与底面边长都相等，E是是SB的中点，则的中点，则AE、SD所成的角的余所成的角的余弦值为（弦值为（ ） CA. B. C. D. 13233323 如图，连接如图，连接BD，取，取BD的中点的中点O，连接连接EO、AO，则，则EOSD，所以，所以AEO为异面直线为异面直线AE与与SD所成的角所成的角.设正四棱锥设正四棱锥的棱长与底