自考辅导《概率论与数理统计（经管类）》之概率论部分

1、第一局部概率论局部学员朋友们，你们好！应学员朋友们的要求，结合近几年考试的知识点再一次对本课程比拟有针对性的串讲。本次串讲没有完全按照课本的章节顺序进行，整个串讲分为两大局部：概率论局部和数理统计局部，每一局部分假设干专题。希望学员朋友们结合课本的章节内容收看本次串讲。 第一局部概率论局部专题一事件与概率I. 考点分析近几年试题的考点及分数分布最多分数分布最少分数分布平均分数分布事件，21古典概型2，223加法公式222条件概率，23全概公式21乘法公式81独立重复试验222合计22/10010/10017/100注：表示选择题及其分数，下同。II. 内容总结一、概念1.随机现象：不确定现象中

2、的一种。2.随机试验：i 可以在相同的条件下重复进行；ii 每次试验的结果不止一个，并事先知道试验的所有可能结果；iii 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。3.随机事件：随机试验的结果。4.根本领件或样本点：随机试验的一个不可分的结果，叫做一个根本领件或一个样本点；5.样本空间：所有根本领件的全体称为样本空间；6.必然事件、不可能事件：在每次试验中一定发生的事件称为必然事件，记做；每次试验都不可能发生的事件称为不可能事件，记做。二、事件的关系与运算1.事件的关系1包含关系：如果事件A发生必然导致事件B发生，那么事件B包含事件A，记做；对任何事件C，都有。2相等关系：假设且，那么事件A与

3、B相等，记做。3互不相容关系：假设事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为。4对立事件：称事件“A不发生为事件A的对立事件或逆事件，记做；满足且。 显然：；，。5二事件的相互独立性：假设 , 那么称事件A, B相互独立；性质1：四对事件其一相互独立，那么其余三对也相互独立；性质2：假设A, B相互独立，且。2.事件的运算1事件的和：称事件“A，B至少有一个发生为事件A与B的和事件，也称为A与B的并。 性质：。2事件的积：称事件“A，B同时发生为事件A与 B的积事件，也称为A与B的交，记做。 性质：。3事件的差：称事件“A发生而事件B不发生为事件A与B的差事件，记做A-B.

4、性质：。4事件运算的性质i交换律：；ii结合律：；iii分配律： iv摩根律对偶律三、事件的概率1.事件的频率: 相同条件下进行n次试验，事件A出现次，事件A的频率为；2.事件的概率描述性：当n很大时，事件A频率的稳定值p，事件A的概率；概率的性质： 对任意事件A，； ； ； 。注：事件的概率的精确定义见课本p11，定义11.3.古典概型：1 特点： 样本空间是有限的； 根本领件发生是等可能的；2计算公式；4.条件概率：事件 发生的条件下事件A发生的概率；5.全概公式和贝叶斯公式1全概公式：如果事件 满足 互不相容且 那么对于内的任意事件B，都有；2贝叶斯公式：条件同A，那么，。6.n重贝努利

5、试验:1特点： 每次试验可在相同条件下重复进行； 各次试验相互独立 每次试验只有两个结果，；2计算公式： n重贝努利试验中事件A发生k次的概率为。7.加法公式、乘法公式1加法公式： 公式: 推论1：假设事件A,B互不相容，那么 ；推论2：假设 ；推论3：假设A,B为对立事件，那么；推论4：假设 , 两两互不相容，那么；2乘法公式：。例1.设A、B为任意两个事件，那么有A.AB-B=A B.A-BB=AC.AB-BAD.A-BBA答疑编号918010101答案：C解析：利用文氏图可得答案。应选择C。例2.设A与B互为对立事件，且，那么以下各式中错误的选项是A.B.C. D.答疑编号9180101

6、02答案：B解析：此题考察对立事件、相互独立事件、互不相容事件概念。A：对立事件，B：相互独立事件，C：互不相容事件。例3. 设A，B为两个随机事件，且 ，那么A.B.C. D. 1答疑编号918010103答案：D解析：此题考察和事件、条件事件的概念及其概率。例4.设事件A, B满足P0.2，PA0.6, 那么PAB A.0.12答疑编号918010104答案：B解析：此题考察差事件的性质。，所以。例5.设每次试验成功的概率为p，那么在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为答疑编号918010105A.11p3B.p1p2C.D.pp2p3答案：A解析：此题考察求“至多、“至少类概率的方法，

7、即选择用正面事件还是对立事件能够简单地计算概率。此题选择用对立事件计算。例6.20件产品中，有2件次品，不放回地从中连续取两次，每次取一件产品，那么第二次到正品的概率为_.答疑编号918010106答案：解析：“第二次取正品“一次二正“一正二正，由加法原理得P第二次取正品P一次二正 一正二正 ，故填写。例7.一批产品，由甲厂生产的占，其次品率为5%，由乙厂生产的占，其次品率为10%，从这批产品中随机取一件，恰好取到次品的概率为_.答疑编号918010107答案：解析：此题考察“全概率公式。设产品由甲、乙厂生产分别为事件，产品为次品为事件B，那么由“全概率公式有。例8.设PA0.4, PB0.5

8、, 且P0.3, 求PAB. 答疑编号918010108答案：0.05解析：此题主要考察事件及其概率的运算，综合了专题一的内容。方法：列方程求概率。解：由条件概率，对立事件的概率，事件运算的对偶律及和事件的概率的公式，有,所以，专题二一维随机变量 近几年试题的考点分布和分数分布最低分数分布最高分数分布平均分数分布 分布律 22分布函数243概率密度 301分布 2 二项分布22，6 泊松分布 1均匀分布 1指数分布 61正态分布 22期望3，2，3方差22，2，3随机变量函数，82，42,2合计18/10042/10024/100注：各种分布的数字特征包含在该种分布中。一、随机变量的概念A.定

9、义：设E是随机试验，样本空间为，如果对于每一个结果样本点都有一个实数与之对应，定义在上的实数值函数 称为随机变量。B.特点：1取值的随机性，即一次取何值事先未知；2取值有统计规律，即取何值或某范围内的值的概率是完全确定的；3随机变量的作用，从研究事件到研究随机变量，从研究常量到研究研究变量，从而过渡到研究函数。二、一维随机变量1定义：设X是一个随机变量， x为任意实数，称函数为随机变量X的分布函数。2性质： ； 对任意 都有； 是单调非减函数； ； 右连续。2.一维离散型随机变量：1定义：随机变量的可能取值是有限个或至多无限可列多个；2概率分布： 分布律X概率 分布列的性质：i；ii3分布函数

10、：。4离散型随机变量的数字特征 离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量X的分布列为X概率如果级数 绝对收敛，那么称其为X的数学期望，记为 。 离散型随机变量的方差：定义式: ；计算式：离散型随机变量的标准差：5常用离散型随机变量的分布：A. 两点分布 分布列X01概率1-pp 数学期望： 方差：。B. 二项分布： 分布列： ； 数学期望： 方差：C. 泊松分布： 分布列： 数学期望： 方差：1定义：随机变量X的分布函数为, 存在非负可积函数，使对任意实数x有，那么称X为连续性随机变量，为概率密度函数密度函数。2密度函数性质 ； ； ； ； 设的连续点，那么存在，且。3连续型随机变量的数字特征

11、 设连续型随机变量X的密度函数为，如果广义积分绝对收敛，那么随机变量X的数学期望为。 连续型随机变量的方差：定义式：；计算式： 连续型随机变量的标准差：。4 常用连续型随机变量的分布A.均匀分布： 密度函数： , 分布函数： ， 数学期望：, 方差： 。B.指数分布： 密度函数： 分布函数： 数学期望： 方差： 。C.正态分布A正态分布： 密度函数： 分布函数： 数学期望：, 方差： ， 标准化代换： 假设。B标准正态分布： 密度函数： 分布函数： 数学期望： 方差： 标准正态分布的上a分位数： ，假设满足，那么为标准正态分布的上a分位数。4.数学期望及方差的性质1数学期望的性质 为常数； 为

12、常数； 为常数； 为常数。2方差的性质 为常数； 为常数； 为常数； 为常数。3方差的计算公式：5.随机变量函数的概率分布1随机变量的函数：设X为随机变量，为连续函数，那么为随机变量X的函数。显然，Y也是随机变量。2离散型随机变量函数的分布设X为离散型随机变量，其分布律为X概率那么的分布律为Y概率注：对相同者，须合并并把概率相加。3连续型随机变量函数的概率分布A.定理：设X为连续型随机变量，其概率密度为 。设是严格单调的可导函数，其值域为 ，那么的概率密度为。B.直接变换法：设随机变量X的概率密度为，求随机变量函数的概率密度。解法：设Y的分布函数为的反函数为，那么例1.设随机变量X的概率分布为

13、为其分布函数，那么= _.答疑编号918010201答案：解析：此题考核概率分布的性质及分布函数的概念。根据分布函数的定义，所以解法一：。解法二：例2.随机变量X的概率密度为，那么c=_。答疑编号918010202答案：解析：此题考察一维随机变量概率密度的性质： 。此题，故填。例3. 设函数在上等于sinx，在此区间外等于零，假设可以作为某连续型随机变量的概率密度，那么区间应为答疑编号918010203A.B.C. D.答案：B解析：此题考核连续型随机变量的概率密度 的性质：及。根据条件函数在上等于sinx及sinx在四个象限的正、负取值，淘汰A, D选项；再根据，验算选项C，淘汰C；或根据此

14、性质验算选项B，直接得到答案。例4.设随机变量X在区间2，4上服从均匀分布，那么.A. B.C. D.答疑编号918010204答案：C例5.设随机变量 ，标准正态分布数值，为使，那么常数a0. 试求U，V的相关系数。答疑编号918010312解析：此题考察协方差及相关系数的概念及性质。解：根据相关系数的定义有，又由方差的性质有再由协方差的性质有由，b，c，d为常数，Y为随机变量，那么应用协方差的计算公式有所以，其中，计算同上。因此， ，因为，所以 。拓展：此题U与X，V与Y均为正线性相关或负线性相关即表示为斜率同为正或同为负的一次函数，得到 ，即两对随机变量之间的相互关系程度是相同的。例8.

15、设二维随机变量，且X与Y相互独立，那么_。答疑编号918010313答案：0专题四大数定律及中心极限定理 近几年试题的考点分布和分数分布最低分数分布最高分数分布平均分数分布 切比雪夫不等式 2大数定律 中心极限定理 2合计0/1004/1001/100一、切比雪夫不等式：随机变量，那么对任意给定的，总有 。二、大数定律1贝努利大数定律：设m是n独立重复试验中事件A发生的次数，那么对任意给定的，总有2切比雪夫大数定律：随机变量序列 相互独立且具有有限的期望和方差，那么对任意给定的，总有三、中心极限定理1独立同分布序列中心极限定理：随机变量,相互独立，服从相同的分布且具有期望和方差，那么对随机变量的分布函数及任意x，总有2两个结论 定理说明，当n充分大时，不管独立同分布随机变量服从什么分布，其和近似服从正态分布； 定理说明：当n充分大时，不管独立同分布随机变量服从什么分布，其平均值 。3棣莫佛拉普拉斯中心极限定理设随机变量是n次独立重复试验中事件A发生的次数， P是事件A发生的A发生的的概率，那么对任意实数xIII. 典型例题例1 设随机变量X的方差DX存在，且 A.B.C.D.答疑编号918010401答案：C例2.设随机变量序列 ，独立同分布，且 ，i1，2，那么对任意实数x, 。答疑编号918010402答案：例3. 设是n次独立重复试验中事件A出现的次数，P是事件A在每