第五章2012概率论课件

1、第第五五章章 极限定理初步极限定理初步第五章第五章 极限定理初步极限定理初步第第五五章章 极限定理初步极限定理初步第第五五章章 极限定理初步极限定理初步设设Xn为随机变量序列，为随机变量序列，X为随机变量，为随机变量，如果对任给的如果对任给的 0,有有1|limXXPnn依概率收敛依概率收敛则称则称Xn依概率收敛于依概率收敛于X，记做，记做XXPn第第五五章章 极限定理初步极限定理初步例例1. . 1,.,max,.)2 , 1)(1 , 0()(21)(PnnnnnXXXXXnUXX证明独立同分布，设第第五五章章 极限定理初步极限定理初步设随机变量序列设随机变量序列Xn和随机变量和随机变量X

2、的分布的分布函数分别为函数分别为Fn(x) 和和F(x)，如果对，如果对F(x)的的任一连续点任一连续点x,有有)()(limxFxFnn依分布收敛依分布收敛则称则称Xn依分布收敛于依分布收敛于X，记做，记做XXLn第第五五章章 极限定理初步极限定理初步 大量的随机现象中平均结果的稳定性大量的随机现象中平均结果的稳定性 大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率第第五五章章 极限定理初步极限定理初步切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律niinXnP11)|1(|lim 设设 X1,X2, 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,

3、它们都有相它们都有相同的期望和方差同的期望和方差, E(Xi) =,D(Xi) =2, i=1,2, ，则对任意的则对任意的0，有，有切比雪夫大数定律表明：当切比雪夫大数定律表明：当n无限增大时无限增大时,n个独立同分布的随机变量的算术平均值个独立同分布的随机变量的算术平均值)(121nXXXnX几乎等于常数几乎等于常数因此可用算术平均值作为因此可用算术平均值作为的估计的估计18211894 第第五五章章 极限定理初步极限定理初步 设设nA是是n次独立试验中事件次独立试验中事件A发发生的次数，生的次数，p是事件是事件A在每次试验中在每次试验中发生的概率，则对任给的发生的概率，则对任给的 0，伯

4、努利大数定律伯努利大数定律1|limpnnPAn16541705 伯努利伯努利大数定律表明：当重复试验次数大数定律表明：当重复试验次数n充充分大时，事件分大时，事件A发生的频率发生的频率nA/n几乎等于几乎等于事事件件A的概率的概率p。因此可用事件发生的频率作。因此可用事件发生的频率作为相应概率的估计。为相应概率的估计。第第五五章章 极限定理初步极限定理初步设设 Xn 为独立同分布随机变量序列，若为独立同分布随机变量序列，若每个每个Xi的数学期望存在，即的数学期望存在，即E(Xi) =，i=1,2, ，则，则Xn服从大数定律服从大数定律,即对任即对任意的意的0，有，有辛钦大数定律辛钦大数定律P

5、niiXn11或1)|1(|lim1niinXnP(苏苏)18941959 第第五五章章 极限定理初步极限定理初步第第五五章章 极限定理初步极限定理初步 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总影响素所产生的总影响.例如：炮弹射击的落例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就点与目标的偏差，就受着许多随机因素的受着许多随机因素的影响影响.* 空气阻力所产生的误差，空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些对我们来说重要的是这些 随机因素的总影响随机因素的总影响.* 如瞄准时的误差，如瞄准时的误差，* 炮弹或炮身结构所引起的误差等等炮弹或炮身结构所引起的误

6、差等等.1lim( )lim nniiYnnXnFxPxn2-t2-1edt( )2xx 它表明，当它表明，当n充分大时，充分大时，n个具有期望和方差个具有期望和方差的独立同分布的的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布之和近似服从正态分布. 设设X1,X2, 是独立同分布的随机序列，且是独立同分布的随机序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，i=1,2,，令，令2 独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理(林德伯格林德伯格-列维列维中心极限定理中心极限定理)1niinXnYn则则Yn的分布函数收敛到标准正态分布函数，即的分布函数收敛到标准正态分布函数，即第第五五章章 极限定理初步极限定理

7、初步 例例1：作加法时，对每个加数四舍五入取整，作加法时，对每个加数四舍五入取整，各个加数的取整误差可以认为是相互独立各个加数的取整误差可以认为是相互独立的，都服从的，都服从( -0.5 , 0.5 )上均匀分布。现在有上均匀分布。现在有1200个数相加，问取整误差总和的绝对值个数相加，问取整误差总和的绝对值超过超过10的概率是多少？的概率是多少？ 第第五五章章 极限定理初步极限定理初步2.某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为10的泊松分布，若一年中有的泊松分布，若一年中有360天经营汽车销天经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一售，且每天出

8、售的汽车数是相互独立的，求一年中售出年中售出3700辆以上汽车的概率。辆以上汽车的概率。第第五五章章 极限定理初步极限定理初步高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验图中每一个粉红点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有n排钉子,从入口中间处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以1/2的概率滚向左边,也以1/2的概率滚向右边.如果n较大,可以看到许多珠子从入口处滚到钉板底端的格子的情形如图所示，堆成的曲线近似于正态分布.二项分布中心极限定理二项分布中心极限定理(棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理)lim( )lim (

9、1)nYnnXnpFxPxnpp设随机变量设随机变量 ，令，令( , )XB n p221( )2txedtx 定理表明，当定理表明，当n很大，很大，0p1是一个定值是一个定值时时,服从服从二项分布二项分布的的变量变量X近似服从正态分布近似服从正态分布N(np,np(1-p).(1)nXnpYnpp则则Yn的分布函数收敛到标准正态分布函数，即的分布函数收敛到标准正态分布函数，即棣莫弗棣莫弗1667-1754 第第五五章章 极限定理初步极限定理初步例例1. 某互联网站有某互联网站有10000个相互独立的用户，个相互独立的用户，已知每个用户在平时任一时刻访问网站的概率已知每个用户在平时任一时刻访问网站的概率为为0.2。求在任一时刻。求在任一时刻19002100个用户访问该个用户访问该网站的概率。网站的概率。第第五五章章 极限定理初步极限定理初步例例2. 某工厂有某工厂有200台同类机器，每台机器发生台同类机器，每台机器发生故障的概率为故障的概率为0.02,设各台机器工作是相互独设各台机器工作是相互独立的，分别用二项分布、泊松分布和正态分立的，分别用二项分布、泊松分布和正态分布计算发生故障的机器数不少于布计算发生故障的机器数不少于2的概率。的概率。0.9106