第四章 系统的运动稳定性

1、线性系统理论系统的运动稳定性1第四章 系统的运动稳定性Lyapunov意义下的运动稳定性线性时变系统的稳定性判定线性定常系统的稳定性线性系统理论系统的运动稳定性24.1 Lyapunov意义下的运动稳定性4.2 线性时变系统的稳定性判定4.3 线性定常系统的稳定性线性系统理论系统的运动稳定性34.1 4.1 LyapunovLyapunov意义下的运动稳定性意义下的运动稳定性4.1.1 系统的运动与平衡点 动。系统的常数解或静止运平衡状态为系统的一个平衡点或称若态引起的运动为：在唯一性条件，初始状若状态方程满足解的存的线性向量函数。为若系统为线性，。状态方程中不显含时间若系统为定常系统，则自治

2、系统。的系统，常限于研究无外作用研究运动稳定性问题时 eeettttttttttttAtttttxxfxxxxxxxxfxxxfx0000000000, 0),(),()(,)(,)() , (,)(),(线性系统理论系统的运动稳定性44.1.2 Lyapunov意义下的运动稳定性含义 意义下稳定的。为则称不等式出发的受扰运动都满足的任一初态使得满足都对应地存在一个实数对给定的任一实数，若为系统的一个平衡状态设意义下的稳定性：定义LyapunovttttttLyapunoveeeexxxxxxx0000000,|),(|),(|),(, 01稳定示意图线性系统理论系统的运动稳定性5一致稳定的。

3、是平衡状态选取无关，则进一步称的而与初始时刻的选取只依赖于若，意义下的稳定性定义中在上述意义下的一致稳定性：定义etLyapunovLyapunovx02一致稳定示意图线性系统理论系统的运动稳定性6),(,|),(|),(|, 0),(, 0),()2() 1 (3000000000tTttttttTtLyapunovLyapunoveeeexxxxxxx；足出发的受扰运动同时满态的任一初使得满足对应地存在实数和任意给定的实数对意义下稳定性的是称为渐近稳定的，如果衡状态系统的一个平意义下的渐近稳定性：定义渐近稳定示意图S S()S S()线性系统理论系统的运动稳定性7是一致渐近稳定的。，则称平

4、衡状态不依赖于初始时刻的选取和义中，若意义下的渐近稳定性定在上述性意义下的一致渐近稳定：定义etTLyapunovLyapunovx04一致渐近稳定示意图线性系统理论系统的运动稳定性8为不稳定的。称，；出发的运动满足不等式的任一使得由满足相应的实数都不可能找到大的有限实数衡状态，若对于不管多统的平为系设意义下的不稳定定义：定义全局渐近稳定。是大范围渐近稳定的则称；都是有界的，且满足；受扰运动为初态的态空间中任一有限点统的平衡状态，若以状为系设定性意义下的大范围渐近稳：定义eeeeeetettttttLyapunovttttLyapunovxxxxxxxxxxxxx000000000000,|)

5、,(|),(|),(, 06),(lim),(5不稳定示意图线性系统理论系统的运动稳定性9为全局指数稳定的。则称不等式出发的受扰运动都满足的任一初态使得满足和都对应地存在一个实数对给定的任一实数统的平衡状态，若为系设全局指数稳定的定义：定义为指数稳定的。则称不等式出发的受扰运动都满足的任一初态使得满足和都对应地存在一个实数对给定的任一实数统的平衡状态，若为系设指数稳定的定义：定义etteeeetteeettektttkttetttxxxxxxxxxxxxxx0)(000000)(00000,)(|),(|),(|, 00)(, 08,|),(|),(|, 0)(, 0700线性系统理论系统的运

6、动稳定性104.1.3 Lyapunov第二方法的主要定理具有无穷大性质。则称正定函数若上的一个正定函数。为定义在则称有和，并使得对任何满足：和连续的非减的标量函数有限正定，即存在两个均具有一阶连续偏导和关于上的一个标量函数，若是定义在有限区域，中包含原点的一个封闭是设：定义),(,|)(|lim),),(|)(|),(|(|000)0()0(|)(|)(|),()3(0), 0()2(),() 1 (),),(,9|000tVttVtVtttVtVttVttVRRnnxxxxxxxxxxxxxxx线性系统理论系统的运动稳定性11tVtVdtdVtVVVVVVVVRRnn),(),()(,)(

7、lim)(, 0)(0) 3(0)0()2()() 1 ()(,10|xfxxxxxxxxxxxx沿系统的全导数具有无穷大性质。则称正定函数若时不变正定函数。上的一个为定义在则称有对于连续偏导的所有分量均具有一阶关于上的一个标量函数，若是定义在有限区域，中包含原点的一个封闭是设：定义线性系统理论系统的运动稳定性12定的。衡点为全局一致渐近稳则系统的零平上一致有界一致负定，数在它沿系统的全导上的有界正定函数定义在性质的若存在一个具有无穷大：定理稳定的）。近一致稳定的（或一致渐则系统的零平衡状态是负定的），上为有界半负定的（或全导数在它沿系统的上的一个有界正定函数和定义在域若存在包含原点的某邻：定

8、理nnnRttVRtttVtR),),(),2),),(),10000 xx线性系统理论系统的运动稳定性13不稳定的。内为正定，则零平衡点它沿系统的全导数在存在一个正定函数内若原点的某邻域：定理稳定的。零平衡状态为全局渐近上为负定的，则系统的它沿系统的全导数在数性质的正定函上存在一个具有无穷大若在：定理近稳定。则系统的零平衡状态渐系统的非零解上非零，在中内为半负定的，但在它沿系统的全导数在存在一个正定函数内若原点的某邻域：定理定的）。局部稳定的（或渐近稳则系统的零平衡状态为的），内为半负定的（或负定它沿系统的全导数在存在一个正定函数内若原点的某邻域：定理),(6),(5)(),(4),(3xx

9、xxxVRVRVVVnn线性系统理论系统的运动稳定性144.2.1 线性系统稳定性的特殊性性等价。性与全局指数稳定：线性系统的指数稳定命题近稳定。稳定，则必为全局渐：线性系统的零解渐近命题点稳定。稳定，则其非零平衡：线性系统的零平衡点命题平衡点。降秩时，系统有无限个点。点，也可能有非零平衡原点为系统的一个平衡定常系统321,)(00AttAtttAxxxx4.2 4.2 线性时变系统的稳定性判据线性时变系统的稳定性判据线性系统理论系统的运动稳定性154.2.2 直接判据 0)(0000000000000,|),(|,)4(0|),(|lim)3(,|),(|,),),()2(,)(|),(|)

10、,(),),() 1 (),(0ttekttkkttttkttkttttttktttktttttttkt使得：和件是存在正常数一致渐近稳定的充要条：渐近稳定的充要条件是使得：存在正常数上有界，即在一致稳定的充要条件是使得：正常数上有界，即存在在稳定的充要条件是，则系统为为系统的状态转移矩阵定理：设线性系统理论系统的运动稳定性164.2.3 Lyapunov定理00021120, )()()()()()(0),()(),()()(),(,)(0, 0),)(tttQtPtAtAtPtPtdtQttPtQttttItQIttQTtT分方程的唯一解收敛，且为下述矩阵微对于的矩阵，则积分为一致有界和一

11、致正定矩阵，为其状态转移近稳定的，引理：设系统是一致渐使得下式成立存在正实数，如果一致有界和一致正定的称矩阵函数，它称为是对上的一个分段连续的实为定义在定义：设线性系统理论系统的运动稳定性17则系统一致渐近稳定。矩阵，且上的一致有界分段连续为推论：设。解有界和一致正定的矩阵有唯一的实对称、一致矩阵微分方程时变阵一致有界和一致正定的个实对称、件是对于任意给定的一一致渐近稳定的充要条平衡状态为有界的实函数，则原点元均为分段连续的一致的为其唯一的平衡状态，统，定理：考虑线性时变系0)()(),)()(, )()()()()()(),()(00tAtAttAtPtttQtPtAtAtPtPLyapun

12、ovtQtATTex线性系统理论系统的运动稳定性184.3 线性定常系统的稳定性4.3.1 直接判据与Hurwitz定理根。根为其最小多项式的单有非正实部，且零实部的所有特征值都稳定的，如果称为临界）（实部。的所有特征值都有负稳定的，如果称为）（，则定义：设负实部。的所有特征值均具有条件是）系统渐进稳定的充要（的单根。小多项式零实部的特征值为其最有非正实部，且其具有的所有特征值均具是）系统稳定的充要条件定理：（AHurwitzAAHurwitzARAAAnn2121线性系统理论系统的运动稳定性19njaniaaaaaaaaaaasasasasassfHurwitzjiiiinnnnn, 00, 2 , 1,1001)(2122345123112211，这里均大于件是平面左半平面的充要条其所有根均式定理：给定实系数多项线性系统理论系统的运动稳定性204.3.2 Lyapunov定理，有唯一对称正定解。矩阵方程能观测时，当阶非负对称阵定的对任意给进稳定的充要条件是，定理：