第四章根轨迹分析法

1、第四章第四章 根轨迹分析法根轨迹分析法基本知识点基本知识点一、基本概念一、基本概念1.根轨迹根轨迹已知已知11()( )()mgiiKnjjKszGssp绘制绘制gK从从0 变化时闭环系统的根轨迹。变化时闭环系统的根轨迹。2.根轨迹方程根轨迹方程1( )0KG s11()1()mgiinjjKszsp1)1()1(mgiinjjKszsp11(21)2mnijijs zspkk 幅值方程幅值方程相角方程相角方程0180根轨迹根轨迹二、绘制根轨迹的基本法则（二、绘制根轨迹的基本法则（ 根轨迹）根轨迹）01801.根轨迹的起点，终点根轨迹的起点，终点2.根轨迹的对称性根轨迹的对称性3.根轨迹的分支

2、数根轨迹的分支数4.实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹5.根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线(21)knm0,1,2,1knm11nmjijipzn m6.根轨迹的分离点根轨迹的分离点（1）( )( )1( )KgN sGsKD S( )( )gD sKN s0gdKds( )( )( ) ( )0N s D sN s D s（2）由由1111mnijijdzdp（d 为分离点）为分离点）7.根轨迹的出射角与入射角根轨迹的出射角与入射角011180imnpijijjjj ipzpp011180imnzijijjjj izzzp8.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点由劳斯判据或由劳斯判据或 代入特征方程可

3、求出根轨迹与代入特征方程可求出根轨迹与虚轴的交点和根轨迹增益虚轴的交点和根轨迹增益sj9.闭环极点的和与积闭环极点的和与积2n m11nnjjjjsp型或型以上系统型或型以上系统11nmjgijisKz或或01()( 1)nnjjsc 0c为闭环特征方程的常数项为闭环特征方程的常数项三、参量根轨迹（作三、参量根轨迹（作 以外其它参数变化时的根轨迹）以外其它参数变化时的根轨迹）gK方法：由方法：由1( ) 0PG s1( )0KG sP为作根轨迹的可变参数为作根轨迹的可变参数( )( )KG sPG s为等效开环传递函数为等效开环传递函数用用( )( )KG sPG s按按 或或 根轨迹法则绘制

4、根轨迹法则绘制 018000四、零度根轨迹四、零度根轨迹下面三种情况需要按下面三种情况需要按 根轨迹法则绘制根轨迹根轨迹法则绘制根轨迹001.正反馈系统正反馈系统1( ) 0KG s( )1KGs 2.负反馈系统，但传递函数为负反馈系统，但传递函数为(1)(2)( )(3)(4)gKKs sG ss ss(1)(2)( )(3)(4)(5)gKK ssG sss ss3.负反馈系统负反馈系统11()( )()mgiiKnjjKszGssp绘制绘制 从从 变化时闭环系统的根轨迹。变化时闭环系统的根轨迹。gK0上述三种情况，根轨迹方程变为：上述三种情况，根轨迹方程变为：( )1KGs 相角方程变为

5、：相角方程变为：01120mnijijszspk 绘制绘制 根轨迹时，根轨迹时， 根轨迹法则中与相角相关的法则根轨迹法则中与相角相关的法则要做相应的变换。要做相应的变换。000180五、增加开环零极点对根轨迹的影响五、增加开环零极点对根轨迹的影响增加开环零点：增加开环零点：根轨迹左移根轨迹左移增加开环极点：增加开环极点：根轨迹右移根轨迹右移增加接近坐标原点的偶极子：增加接近坐标原点的偶极子：将影响系统的稳态性能将影响系统的稳态性能11()( )()mgiicKncjjKszszGsspsp11miicgncjjzzKKpp当当cczpK sse偶极子对动态性能影响很小偶极子对动态性能影响很小六

6、、利用根轨迹分析系统的性能六、利用根轨迹分析系统的性能1.利用根轨迹确定利用根轨迹确定使系统稳定的参数范围；使系统稳定的参数范围；2.动态性能分析（动态性能分析（主导极点主导极点）；）；3.利用根轨迹确定满足某一性能指标的根的位置及闭环传利用根轨迹确定满足某一性能指标的根的位置及闭环传递函数。递函数。典型例题分析典型例题分析例例1：已知系统的闭环传递函数为：已知系统的闭环传递函数为:2( )16asssas（单位负反馈系统，（单位负反馈系统， ）0a绘制闭环系统绘制闭环系统 从从 变化时的根轨迹。变化时的根轨迹。0a解：由解：由2( )16asssas得系统的特征方程得系统的特征方程2160s

7、as21016ass则则2( )16KasG ss例例2：32( )5(6)0D sssa s a 确定使方程都为实根的确定使方程都为实根的 的取值范围。的取值范围。a解：由解：由32( )5(6)0D sssa s a 得得3256(1)0sssa s变形得变形得(1)10(2)(3)a ss ss则则(1)( )(2)(3)Ka sGss ss因此，问题转化为作因此，问题转化为作 从从 变化时系统的根变化时系统的根轨迹，由根轨迹确定方程都为实根的轨迹，由根轨迹确定方程都为实根的 值范围。值范围。a0a由根轨迹可知，需要求出分离点处的由根轨迹可知，需要求出分离点处的 值。值。a1111123

8、dddd分离点分离点d由公式计算：由公式计算：例例3：( )(1)(1)KaKGss sT s分析分析 对于系统性能的影响。对于系统性能的影响。aT解：实际上是要作解：实际上是要作 从从 变化时的根轨迹，由变化时的根轨迹，由根轨迹分析根轨迹分析 对系统性能的影响。对系统性能的影响。aT0aT由由1( )0KG s(1)(1)0as sTsk 2(1)(1)0as sKT ss2(1)( )(1)aKT ssGss sK则等效开环传递函数为则等效开环传递函数为mn0.098K 设设则则(1)0s sK120.112,0.89ss 2(1)( )(0.112)(0.89)aKT ssGsss作作

9、变化时的根轨迹，分析变化时的根轨迹，分析 对于系统性能的对于系统性能的影响。影响。aTaT例例4：系统的结构如图所示，欲使系统工作在欠阻尼状态，且：系统的结构如图所示，欲使系统工作在欠阻尼状态，且 r(t)=t 时，时， ，确定满足要求的，确定满足要求的 K 值范围。值范围。2sse ( )R s( )c s21(3)s解：解：1.求系统工作在欠阻尼状态下的求系统工作在欠阻尼状态下的 K 值值Ks2( )(3)KKGss s作根轨迹作根轨迹3由根轨迹可见，需要求出分离点及与虚轴交点的由根轨迹可见，需要求出分离点及与虚轴交点的 K 值值分离点：分离点：1203dd1d 2 2 14dK 求与虚轴

10、的交点求与虚轴的交点21( )10(3)KKGss s 32690sssKsj代入特征方程，解得代入特征方程，解得54K 或由劳斯判据计算虚轴交点处的或由劳斯判据计算虚轴交点处的 K 值。值。2.计算计算 r(t)=t 时时 的的 K 值值2sse 当当 时，系统稳定时，系统稳定054k12ssVeK则则0.5VK 9VKK 4.5K综合题目要求综合题目要求4.554K例例5：已知负反馈系统的开环传递函数为：已知负反馈系统的开环传递函数为(3)( )(2)KK SG sS S1.绘制系统的根轨迹；绘制系统的根轨迹；2.求使系统取得最大振荡响应的阻尼比求使系统取得最大振荡响应的阻尼比 和和 K

11、值；值；,n 3.求当求当 K=2 时系统的单位阶跃响应。时系统的单位阶跃响应。解：解：1.系统有两个开环实数极点，一个开环实数零点，且零系统有两个开环实数极点，一个开环实数零点，且零点位于极点的左侧，因此复平面的根轨迹为园，其园心在零点位于极点的左侧，因此复平面的根轨迹为园，其园心在零点处，半径点处，半径3 13R 231sn2.系统取得最大振荡响应的点为过原点作等阻尼线与园系统取得最大振荡响应的点为过原点作等阻尼线与园点切点点切点1s3sin0.57732cos1 sin0.817223( 3)2.45n21121.41nnsjj 11.41 2.4521.73SK3. K=2 时时22(

12、3)( )46ssss1( )R ss221 2(3)12( )46(2)2ssc ss ssss2( )1cos 2tc tet 例例6：设单位负反馈系统的根轨迹如图所示：设单位负反馈系统的根轨迹如图所示1.确定系统的传递函数；确定系统的传递函数；2.设计一串联控制器设计一串联控制器 ，并确定参数值，使其满足下，并确定参数值，使其满足下述条件：述条件：p( )CGs（1）闭环系统稳定；（）闭环系统稳定；（2）闭环极点个数不变；）闭环极点个数不变；（3）根轨迹主要分支通过闭环极点）根轨迹主要分支通过闭环极点 。3.画出校正后系统的根轨迹，闭环极点画出校正后系统的根轨迹，闭环极点 是否是否为系统的主导极点？说明理由。为系统的主导极点？说明理由。24j 24j 3j解：解：1.由根轨迹可知，系统的开环传递函数为由根轨迹可知，系统的开环传递函数为2( )()KKG ss sp1( )0KG s2()0s spK3sj特征方程特征方程即即代入特征方程解得：代入特征方程解得：354pK（负根舍去）（负根舍去）2.设设( )CG ss z 2()( )( )( )(3)CKK szG sGs GSs s根轨迹分支通过根轨迹分支通过 应满足应满足1224sj 0( )180G s10110444tan(180tan) 2tan180221z104tan88.49