第十三讲 振动与波动大物

1、6 6 阻尼振动阻尼振动( (简介简介) )阻尼阻尼(damp)(damp)：消耗振动系统能量的原因。消耗振动系统能量的原因。 阻尼种类：阻尼种类： 摩擦阻尼摩擦阻尼辐射阻尼辐射阻尼一、阻尼振动的振动方程和表达式一、阻尼振动的振动方程和表达式1.1.阻力阻力dxdt ， f阻阻 = - = - 对在流体对在流体( (液体、气体液体、气体) )中运动的物体，当物中运动的物体，当物 体速度较小时，体速度较小时，阻力阻力 速度。速度。 ：阻力系数阻力系数2.2.振动方程振动方程讨论：在阻力作用下的弹簧振子讨论：在阻力作用下的弹簧振子受力：弹性恢复力受力：弹性恢复力 -kxdxdt - 阻力阻力dxd

2、t - d2xdt2 m=- kx振动方程振动方程 引入引入阻尼系数阻尼系数 = /2m固有频率固有频率 0 = (k/m)1/2得得阻尼振动阻尼振动(damped vibration)的振动方程的振动方程d2xdt2 = 0+ 02x+ 2 dxdt 此方程的解应分三种情形讨论：此方程的解应分三种情形讨论： 2 02 称作称作过阻尼过阻尼(overdamping) 2 = 02 称作称作临界阻尼临界阻尼(critical damping )3.3.振动表达式振动表达式 在欠阻尼情形下，上述微分方程的解即欠在欠阻尼情形下，上述微分方程的解即欠阻尼下的阻尼下的阻尼振动的振动表达式阻尼振动的振动表

3、达式，为为x(t) = A0e- tcos( t + )其中其中 = ( 02 - 2)1/2 (欠阻尼下欠阻尼下) xt o A0e- t阻尼振动的振动曲线阻尼振动的振动曲线 4.振动曲线振动曲线二二. .阻尼振动的特点阻尼振动的特点 (欠阻尼下欠阻尼下) 1.振幅特点振幅特点振幅：振幅：A(t) = A0e- t振动能量：振动能量：E(t) = E0e-2 t2.2.周期特点周期特点位移相继两次达到正向极大值的时间间隔位移相继两次达到正向极大值的时间间隔T =2 =2 ( 02 - 2)1/2T0 (固有周期固有周期)三、三种阻尼下的振动曲线三、三种阻尼下的振动曲线to过阻尼过阻尼欠阻尼欠

4、阻尼临界阻尼临界阻尼 三种阻尼三种阻尼 和过阻尼情形相比，临界阻尼和过阻尼情形相比，临界阻尼情形下，物体回到平衡位置并情形下，物体回到平衡位置并停在那里，所需时间最短。停在那里，所需时间最短。7 7 受迫振动与共振（简介）受迫振动与共振（简介） 一、受迫振动一、受迫振动受迫振动受迫振动(forced vibration)：振动系统在周振动系统在周 期性期性驱动力驱动力作用下的振动作用下的振动。 1.1.系统受力：系统受力：以弹簧振子为例，以弹簧振子为例， 弹性力弹性力 -kx阻尼力阻尼力 dt- ( )dx周期性驱动力周期性驱动力 f = F0 cos t 2.振动方程：振动方程：由牛顿定律有

5、由牛顿定律有- ( )m = -kx + f dxdtd2xdt 2+2 + 02x = hcos td2xdt 2dx dt 0 = ( )1/2km其中其中 是固有角频率是固有角频率 ； = 2mF0h =mx =Acos( t+ ) 3.稳态解：稳态解： 4.4.特点：特点： 稳态时的受迫振动是简谐振动稳态时的受迫振动是简谐振动(但它不但它不是无是无阻尼自由谐振动，请注意两者的区别阻尼自由谐振动，请注意两者的区别)。 (1)角频率角频率：等于驱动力的：等于驱动力的角角频率频率 (2)振幅振幅：系统作：系统作等幅振动等幅振动(虽有阻力消耗能虽有阻力消耗能 量，但同时有驱动力作功对系统输入能

6、量，量，但同时有驱动力作功对系统输入能量，系统仍可维持等幅振动系统仍可维持等幅振动)。 其振幅其振幅由系统参数由系统参数( 0)、阻尼阻尼( )、驱动力驱动力 (F0, )共同决定。共同决定。A =h( 02- 2)2+4 2 21/2A的大小敏感于的大小敏感于 和和 0的相对大小关系，而的相对大小关系，而 和初始条件和初始条件(x0、 0)无关。无关。tg =-2 02- 2(3)初相初相：亦决定于：亦决定于 0、 、和、和 ，与初始条件，与初始条件 无关。无关。 值在值在- 0之间之间。可见，位移可见，位移x落后于落后于 驱动力驱动力f 的变化的变化( f的初相为零的初相为零)。 二、共振

7、二、共振(resonance)： 位移共振位移共振(displacement resonance) 速度共振速度共振(velocity resonance)1.位移共振位移共振位移共振位移共振：当驱动力的角频率当驱动力的角频率 等于某个等于某个 适当数值适当数值(称共振角频率称共振角频率)时，振幅出现极大时，振幅出现极大 值、振动很剧烈的现象。值、振动很剧烈的现象。 (1)共振角频率共振角频率： r= ( 02-2 2)1/2Ar =h2 ( 02- 2)1/2 (2)共振振幅共振振幅： 若阻尼很小，若阻尼很小， 2 02，则则 r 0 ， 2Ar h称称尖锐共振尖锐共振 2.速度共振速度共振

8、速度共振速度共振：当驱动力的角频率正好等于系统当驱动力的角频率正好等于系统 的固有角频率时，速度幅的固有角频率时，速度幅 A达极大值的现达极大值的现 象。象。 (1)共振角频率共振角频率： r= 0Vmr =h2 (2)共振时共振时速度速度的的幅幅值：值：(3)共振时速度的共振时速度的初相初相： r = 0即速度共振时，速度与驱即速度共振时，速度与驱动力同相，一周动力同相，一周力总作正功，此时向系统力总作正功，此时向系统输入的能量最大。输入的能量最大。 期内驱动期内驱动 (庙里的大钟不敲自响的故事庙里的大钟不敲自响的故事)。 故事：从前有一座山，山里有座庙，故事：从前有一座山，山里有座庙，演示

9、：演示： 音叉共振音叉共振 1940年华盛顿的塔科曼大桥年华盛顿的塔科曼大桥建成建成同年同年7月的一场大风引起桥月的一场大风引起桥的的共振使桥摧毁共振使桥摧毁 小号发出的声波足以使酒杯破小号发出的声波足以使酒杯破碎碎 据说，据说，160多年前，不可一世的拿破仑率领法国军队多年前，不可一世的拿破仑率领法国军队入侵西班牙时，部队行军经过一座铁链悬桥，随着军官入侵西班牙时，部队行军经过一座铁链悬桥，随着军官雄壮的口令，队伍跨着整齐的步伐趋向对岸。正在这时，雄壮的口令，队伍跨着整齐的步伐趋向对岸。正在这时，轰隆一声巨响，大桥坍塌，士兵、军官纷纷坠水。几十轰隆一声巨响，大桥坍塌，士兵、军官纷纷坠水。几十

10、年后，圣彼得堡卡坦卡河上，一支部队过桥时也发生了年后，圣彼得堡卡坦卡河上，一支部队过桥时也发生了同样的惨剧。从此，世界各国的军队过桥时都不准齐步同样的惨剧。从此，世界各国的军队过桥时都不准齐步走，必须改用凌乱无序的碎步通过。一般认为，这是由走，必须改用凌乱无序的碎步通过。一般认为，这是由于军队步伐的周期与桥的固有周期相近，发生共振所致。于军队步伐的周期与桥的固有周期相近，发生共振所致。 减振和防振是工程技术和科学研究里的一项重要任减振和防振是工程技术和科学研究里的一项重要任务。减振和防振的办法，除了使用阻尼器吸收振动的务。减振和防振的办法，除了使用阻尼器吸收振动的消极办法外，积极的措施是利用共

11、振的原理来设计各消极办法外，积极的措施是利用共振的原理来设计各种机械滤波装置，把最有害波段的振动滤掉。种机械滤波装置，把最有害波段的振动滤掉。 汽车的减振装置模型，这里有三级滤波：最下面的一级汽车的减振装置模型，这里有三级滤波：最下面的一级是轮轴和轮胎组成的弹簧是轮轴和轮胎组成的弹簧-质量系统，车身和底座弹簧构成质量系统，车身和底座弹簧构成第二级，乘客和座椅弹簧构成第三级。当质量较大而弹簧的第二级，乘客和座椅弹簧构成第三级。当质量较大而弹簧的劲度系数相对来说较小时，各级振动系统的固有频率足够低，劲度系数相对来说较小时，各级振动系统的固有频率足够低，就可形成一个低通滤波器，把大部分有害的高频振动

12、滤掉。就可形成一个低通滤波器，把大部分有害的高频振动滤掉。 简谐振动的合成简谐振动的合成简谐振动的合成简谐振动的合成 (combination of simple harmonic motions)： 8同一直线上同频率的简谐振动的合成同一直线上同频率的简谐振动的合成1.分振动：分振动：一物体同时参与两个在同一直线一物体同时参与两个在同一直线 上的同频率的简谐振动，其表达式为上的同频率的简谐振动，其表达式为 x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)x =A cos( t+ ) 2.合振动：合振动： x = x1+x2合振动是简谐振动合振动是简谐振动，其，其角频率角频率仍为

13、仍为 ，A = A12 +A22 + 2A1A2cos( 2 - 1)A1sin 1 + A2sin 2A1cos 1 + A2cos 2tg =3.两种特殊情况两种特殊情况(1)若两分振动同相若两分振动同相， 2 1 = 2k ，则，则 A=A1+A2， 两分振动两分振动 相互加强相互加强。(2)若两分振动反相若两分振动反相， 2 1= (2k+1) ,则则A = |A1 - A2|， 两分振动两分振动 相互减弱相互减弱。 (以上以上k = 0,1,2,)如再有如再有A1=A2， 则则A = 0。 此情形下，此情形下，“振动加振动等于不振动振动加振动等于不振动”。9 、 同一直线上不同频率的

14、简谐振动的合成同一直线上不同频率的简谐振动的合成1.分振动：分振动： 设为设为 x1 = Acos 1t x2 = Acos 2tx = 2Acos( 2 - 12 2 + 12) t cos() t2.合振动：合振动： x = x1 + x2合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动。 9tx1 2tx2 1 = 1- 2 tx合振动可看作合振动可看作振幅缓变的简谐振动。振幅缓变的简谐振动。 其其中中tAtA)2cos(2)(12 随缓变随缓变)2cos(cos12tt 随快变随快变3.拍拍(beat)合振动的周期性时强时弱的现象称作合振动的周期性时强时弱的现象称作拍拍。 拍频拍频(beat fr

15、equency)： 单位时间内合振动加强或减弱的次数。单位时间内合振动加强或减弱的次数。 b=| 2- 1| 或或 b=| 2- 1| b即即A2(t) 或或 |A(t)| 的变化频率。的变化频率。演示：演示：用音叉演示拍现象用音叉演示拍现象例例2 2、三个同方向、同频率的简谐振动三个同方向、同频率的简谐振动: :)tcos(.x63140801 )tcos(.x23140802 )tcos(.x653140803 求求: (1): (1)合振动表达式合振动表达式 (2)(2)合振动由初始位置运动到合振动由初始位置运动到Ax22 所需最短时间所需最短时间10 10 谐振分析谐振分析一一. 一个

16、周期性振动可分解为一系列一个周期性振动可分解为一系列 频率分立的简谐振动频率分立的简谐振动若周期振动的频率为若周期振动的频率为 : 0则各分振动的频率为则各分振动的频率为: 0, 2 0, 3 0, (基频基频 , 二次谐频二次谐频 , 三次谐频三次谐频 , ) xot锯齿波锯齿波A 03 05 0锯齿波频谱图锯齿波频谱图方波的分解方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x00tx0二二. .一个非周期性振动可分解为无限一个非周期性振动可分解为无限xot阻尼振动曲线阻尼振动曲线阻尼振动频谱图阻尼振动频谱图o A多个频率连续变化的简谐振动多个频率连续变化的简谐振动11

17、 、相互垂直的同频率简谐振动的合成、相互垂直的同频率简谐振动的合成1.分振动：分振动：一个质点同时参与两个相互垂直的一个质点同时参与两个相互垂直的同频率简谐振动同频率简谐振动 x = A1cos( t+ 1) y = A2cos( t+ 2) 2.合运动合运动位移：是两个分振动位移的矢量和。位移：是两个分振动位移的矢量和。轨迹方程：轨迹方程： x yA1x2A12y2A22+-2cos( 2- 1)= sin2( 2- 1)A2(1)合运动一般是在合运动一般是在2A1(x向向)、2A2(y向向) 范围范围 内的一个椭圆内的一个椭圆 。(2)椭圆的性质椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋方位、长短轴、左右旋) 在在A1、 A2 确定之后，确定之后，主要决定于主要决定于 = 0 = /4 = /2 = 3 /4 = = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4P Q两个沿垂直方向的同频简谐振动的合运动的轨迹两个沿垂直方向的同频简谐振动的合运动的轨迹 = 2 - 1用旋转矢量法作图用旋转矢量法作图tAxcos1)4cos(2tAyxxyy1A2A1A2A右旋右旋1-11垂直振动的合成.exe四、相互垂直的不同频率简谐振动的合成四、相互垂直的不同频率简谐振动的合成若两振动的频率成简单整数比，若两振动的频率成简单整数比，则轨迹为稳则轨迹为稳 定的闭合曲线，称定的闭合曲线，称李