金融数学资产组合管理PPT课件

1、5.1 两风险证券中的风险度量方法1 设风险资产的收益率K为随机变量，参照值取期望 ，方差 作为风险的度量。有时用收益率的标准差 测量风 险。 单个时间段的投资问题，一般采取此收益率。其中方法2 利用对数收益率的方差 ,或者 ，对多个时间段相关的投资，采用对数收益率比较方便因 为对数收益率满足可加性。 ()K2( )k( )k2222()()(. ( )( )KEEE KK E KK2()K()E K5.1 .1 期望收益和方差第1页/共51页 5.1.2 两证券情形 用 表示组合的收益 率，用 分别表示投资在证券1和2上的权重,则 若 表示卖空第i支股票。 记作ii,w股票i的股价的股数初始

2、资金总额222211221112122,Vwwww 其中VK12,w w1212,VwwKKK1212),E(VKE KE Kww1,21212()CovK K 1212,Vwwiw第2页/共51页 例1 假设两种股票的每股价格分别为 美元， 美元， 美元，购买第一种股票20股，购买第二种股票10股，求两个股票的资金分配权重。120S240S(0)1000V第3页/共51页 例2 考虑如下资产组合： 状况 概率 收益率 收益率 0.4 0.2 0.4 分别求下述情形下资产组合的期望收益和风险 。(1) (2) (3)1K2K213001 0002 0000002 0002 0001 0120.

3、4,0.6;ww120.8,0.2;ww120.5,1.5.ww 第4页/共51页12120.4 0.040.6 0.160.112Vww000010.4 ( 10)0.2 00.4 200.04 12120.8 0.040.2 0.160.064Vww220.0024,210.0184,120.96309, 22220.000736VV21，介于和之间。此时22220.009824VV21，介于和之间。此时120.4,0.6ww00000020.4 200.2 200.4 100.16 120.8,0.2ww第5页/共51页(3)当 时， 由(1)、(2)和(3)发现，高收益通常伴随着高风险

4、；另外，当不允许卖空时，组合的风险介于单个风险之间(如(1)(2)所示)，当允许卖空时，组合的风险则可能比任何单个风险都大(如(3)所示) 。命题5.3 如果不允许卖空，则有12120.5 0.04 1.5 0.160.22Vww 121.5,0.5ww 22220.0196VV21，比和都大。此时22212max,.V 第6页/共51页 问题：在两风险证券中，有没有风险最小的组合权重(即找一个权重组合，使得组合的方差最小)？第7页/共51页命题5.4 (1)如果 ，当 ，且时， 。(必须有一支股票卖空.）(2)如果 ，当 时， 。(不必卖空.）1211221121212,ww 0V121 2

5、1121212,ww0V第8页/共51页第9页/共51页 11(,) 22(,)121 第10页/共51页 11(,) 22(,)121第11页/共51页 11(,) 22(,) 11(,) 22(,)第12页/共51页第13页/共51页第14页/共51页 5.2.2 含无风险证券和一个风险证券的情形(0,)Fr11(,)0第15页/共51页第16页/共51页第17页/共51页第18页/共51页第19页/共51页第20页/共51页第21页/共51页第22页/共51页V12,1TTTVVwmuwwwmin11,TTAmuu Vm V1,TCuu V20.DBCA1,TBmm V第23页/共51页

6、2221,1)(PPDCACC,A CD和V11,VVVCABAmuDDwVV第24页/共51页 12,1()ACC第25页/共51页 5.2.4 既含多个风险证券又含无风险证券情形 设含有 种风险证券(股票)和一种无风险证券(债券) ，以 为 种股票上的投资比例，则 就是投资在债券上的比例。对指定的期望收益率 ，求投资比例 ，使得方差最小，就是解下列规划问题：min12(1)TTTVVwmuFwww rn12(,.,)Twnw wwn()1TuwVw第26页/共51页解上述规划，得知对指定的期望收益率 ，方差最小的投资组合为：标准差为：其中 如前述。V1()()/,FFVVmuHwVrr,A

7、 BC和1(),FVVHr22,FFHBACrre第27页/共51页 由此可知，含多种风险证券和无风险证券的有效前沿是过点 的一条射线。会是什么样的射线呢？ 假设含有两支股票 和 及一种债券 ，由前面讨论知，把全部资金投入股票 和 ，得到双曲线的一支，而如果投资于股票 及债券 ，得到有效前沿为射线 ;而如果投资于股票 及债券 ，得到有效前沿为射线 ;如果把资金投资于 和债券 中，则连接 和曲线 上任意一点的射线都是可能的投资组合。因此从 出发，与曲线 相切的射线，为有效前沿(为什么？)记切点为 。Fr(0,)FreABFBrABAFrFArFBrFr,A BFrFrAB(0,)FrABB第28

8、页/共51页 如果投资者选择切点 ，则表示将资金全部购买股票 和 ；如果选择 点，则是把一部分资金用于买债券，余下部分用来买股票 和 ，而资金在 和 上分配比例与切点 一样；如果选择 点，则是以 借入资金，连同原有资金一起用来买股票 和 ，而资金在 和 上分配比例仍与切点 一样。见下页图示。ABCeDABBAABBAeeFr第29页/共51页e(0,)FrABCD第30页/共51页 有效前沿为蓝色虚线部分，红色部分表示不允许卖空的情形。切点证券组合 ，它决定有效前沿上任意点处的风险投资比例。 例 一投资者拥有资金10000美元。 (1) 用4000美元购买 股票，其余全部购买 股票，则在 点处

9、的投资组合为 ； (2) 如果该投资者抽取5000美元作无风险投资，其余仍用于购买 股票，则此时购买 股票的资金分别是 2000 美元和 3000 美元。eAB,A Be(0.4,0.6)A,A B第31页/共51页 有效前沿为蓝色虚线部分，切点证券组合 ，决定有效前沿上任意点处的风险投资比例。e(0,)Fre第32页/共51页 切点 处的投资组合权重为例 设风险证券 和 分别有期望收益率 ，方差分别为 和 ，它们之间的协方差为 。又设无风险利率为 . 求切点证券组合 。 e11()(),)()FFeFFmumuAACCVVrrwCrrAB008B0012,A210A24B122006Frew

10、52(,)77(ew第33页/共51页 5.3 CAPM模型 资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model, CAPM)是在理想的，称之为完善的资本市场中建立的。它的基本假设有：(1) 投资者对一个投资组合以一期的期望回报率和方差来评价此组合；(2) 投资者具有不满足性(风险相同时，期望越大越好)；(3) 投资者都是风险回避者(期望相同时，风险越小越好)；(4) 任何一种证券都是无限可分的；(5) 存在一个无风险利率，任何投资者都可以依此利率不受限制地存、贷款；第34页/共51页(6) 不存在税收和交易费用；(7) 所有投资者考虑的投资期都是一样的；(8) 无风险利

11、率对任何投资者都相同；(9) 所有信息对任何投资者都是免费的，且及时提供；(10) 所有投资者对每种股票的看法都相同，即不同投资者对每种股票的期望和方差的看法一样，对个证券之间的协方差看法也一样。 同时满足以上十个假设的市场就称为完善资本市场。第35页/共51页 在介绍了完善资本市场之后，我们再介绍市场均衡和市场投资组合的概念。市场均衡：在完善的资本市场上，当证券的价格调整时，对证券的需求和供给也相应变动。如果随着证券价格的调整，对证券的需求和供给相应调整为：每一种证券需求量正好等于其供给量，而且对无风险证券，存贷款数目正好相等的状态，就称之为市场均衡。市场投资组合(Market Portfo

12、lio) 是指市场处于均衡时，切点 的投资组合，为了区别，我们将市场投资组合记为 ,坐标为 e(,).MMM第36页/共51页 当市场处于均衡时，包含无风险债券和多种风险证券的有效前 沿是在 平面上，从 点 出发，过 点的一条射线，称它为资本市场线(Capital Market Line,CML).其方程为： 其中 的斜率称为风险 报酬，而 的截距称为 等待报酬。 CMLM(0,)FrMMVVFMFVVMrrVVoMCMLCML第37页/共51页 注意： 并不给出单个风险证券的期望回报率和标准差的线性关系。 反例 Modigliani Pogue (1974): 股票 年回报率 标准差 BC公

13、司股票 100种普通股票组合 此例指出了对BC公司股票，如果以标准差作为风险度量的标准，则成为回报率低，风险却大的股票，这与普通的投资常识矛盾。 CML005.40010.9004.45007.25第38页/共51页 定理5.11(CAPM) 当完善的资本市场达到均衡时，任何单个风险资产或资产组合的超额回报和市场投资组合的超额回报成比例关系，即有关系式 其中 反映任意单个资产或资产组合的期望收益与贝塔系数关系的位于 平面上的直线称为证券市场线（Security Market Line,SML）。见下页图所示。()FFVMVrr22(,)MVMVVMMCovKK, 第39页/共51页 为了便于比

14、较，我们将资本市场线(左)和证券市场线(右)放在一起。试分析二者的区别？ CMLMMMVVVFrFrM1MVSMLM第40页/共51页 关于CAPM应用的例子例 已知 设证券 的Beta 系数分别为 求 解：由CAPM知，两证券的期望回报率分别为： 此例告诉我们，确实可用CAPM求单个资产的期望收益率。除此之外，还可以用来发现股票的定价是否合理。000012,7,FMr,A B1.4,0.9,AB,.AB 000000007(127) 1.414,A000000007(127) 0.911.5.B第41页/共51页 这是因为，由CAPM可知， 从而有 表明当市场均衡时，所有股票每承担一单位风险

15、，市场给予的期望回报都应该相等。如果不等，则意味着市场处于不均衡状态，存在某些股票定价过高或过低的现象。()FFVMVrrFVFVVrr第42页/共51页例 已知S和I公司的Beta( )系数及期望回报率如下表所示，无风险利率为 .若S公司的股价被认为是合理的，请问I公司的股价是否合理？定价过高还是过低呢? 股票 期望回报率 S公司 1.3 I公司 0.8 00600100014第43页/共51页 解：由CAPM可知， 从而有 表明此时市场处于不均衡状态，若S公司的股价被认为是合理的，则I公司的股价定价过高。这是因为：I公司承担一单位风险得到的补偿不如S公司承担一单位风险得到的补偿大。究其原因

16、，是对 而言， 的期望回报率太低了。 由 或 知，若 偏低，则初始股价 定价偏高。0000001466.15,1.3FSSr00000010650.8FIIrFVFVVrr0.8I0010100IIIIppKp101IIIppKIK0Ip第44页/共51页5.4 系统风险和非系统风险 我们先考虑单支股票 的风险问题。 由于CAPM模型是在市场达到均衡时，证券 的期望回报率 和 的关系,为强调均衡，我们记 为 .这时CAPM模型可写成： 为了描述实际的超额回报模型，引入一个与证券 的回报率 相独立的随机误差项 ，将证券 的实际回报率表示为我们称上式为证券 的特征线。ieii()eFFiMirr(

17、)FFiiMirriiiiiiii第45页/共51页 由回归模型，可得证券 i 的总方差为从而 被分解为两部分： 第一部分为 ，与市场投资组合M有关，称之为系统风险或市场风险， 越大，证券i的市场风险 就越大，由CAPM知， 越大，相应的期望回报率就越高。因此，系统风险是有报酬的，但无法消除或减少。2222iMiii22Mi2i22Mi i第46页/共51页 第二部分为 ，与市场投资组合M无关，称之为非系统风险或非市场风险。非系统风险是没有报酬的，但可以通过组合消除它。当一个投资组合已消除所有非系统风险时，则称它为有效的。 证券的特征线是围绕它的市场线上下波动的，一种证券的特征线斜率等于此证券的 系数，而此 也给出了该证券对市场投资组合M的敏感度。一般而言，以下结论成立。2i第47页/共51页 （1）进攻型股票( ) 该股票 特点：当市场投资组合M的回报率上升或下降时，这种股票的回报率上升或下降得比M要快。 （2）防御型股票( ) 该股票 特点：当市场投资组合M的回报率上升或下降时，这种股票的回报率上升或下降得比M要慢。（3）中性股票( ) 该股票 特点：这种股票的回报率就平均而言，与市场投资组合M的回报率一致。111第48页/共51页 接下来考虑组合的风险。 CAPM模型对单个资产和资