类比推理(上课用)

1、归纳推理的基础归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理归纳推理观察、分析观察、分析发现新事实、发现新事实、获得新结论获得新结论由部分到整体、由部分到整体、特殊到一般的推理特殊到一般的推理注意注意归纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定成立复习：复习：归纳推理的一般模式归纳推理的一般模式S1具有具有P,S2具有具有P,Sn具有具有P, (S1,S2,Sn是是A类事物的对象）类事物的对象）所以所以A类事物具有类事物具有P类比推理类比推理从一个传说说起：我国古代工匠鲁班（被认为是木匠业的从一个传说说起：我国古代工匠鲁班（被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这

2、祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子桩倒霉事却使他发明了锯子.鲁班的思路是这样的：鲁班的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草是齿形的；茅草能割破手茅草能割破手. .我需要一种能割断木头我需要一种能割断木头的工具；的工具；它也可以是齿形的它也可以是齿形的. .这个推理过程是这个推理过程是归纳推理吗？归纳推理吗？1、水果：苹果、水果：苹果 A.香梨：黄梨香梨：黄梨 B.树木：树枝树木：树枝 C.经济适用房：奔驰经济适用房：奔驰 D.山：高山山：高山2.馒头：食物馒头：食物 A.食品：巧克力食品：巧克力 B.头：身体头：身体 C.钢铁：金属钢铁：金属D. 手：食指手

3、：食指 公务员考试试题公务员考试试题4、汽车：运输、汽车：运输 A.捕鱼：鱼网捕鱼：鱼网 B.编织：鱼网编织：鱼网 C.鱼网：编织鱼网：编织 D.鱼网：捕鱼鱼网：捕鱼 3、轮船：海洋、轮船：海洋 A.河流：芦苇河流：芦苇 B.海洋：鲸鱼海洋：鲸鱼 C.海鸥：天空海鸥：天空 D.飞机：海洋飞机：海洋 DCCD为了回答为了回答“火星上是否有生命？火星上是否有生命？” 这个问题，科学家们把这个问题，科学家们把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球类似的特征火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球类似的特征如：如：1，类比推理的定义，类比推理的定义:根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推根

4、据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质推理称为质推理称为类比推理类比推理（简称（简称类比类比）简言之，类比推理是简言之，类比推理是由特殊由特殊到到特殊特殊的推理的推理2、类比推理的一般模式、类比推理的一般模式:A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同）相似或相同）所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论3,类比推理的一般步骤类比推理的一般

5、步骤: 找出两类对象之间的相似性或一致性；找出两类对象之间的相似性或一致性； 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）得出一个明确的命题（猜想）即即一、一、 类比三角形的性质，列出四面体的有关特征。类比三角形的性质，列出四面体的有关特征。(1)三角形是三角形是平面内平面内由线段所围成的由线段所围成的最简单最简单的封闭图形的封闭图形; 四面体是四面体是空间中空间中由平面所围成的由平面所围成的最简单最简单的封闭图形的封闭图形(2)三角形可以看作平面上三角形可以看作平面上一条线段一条线段外一点与这条外一点与这条线段上的各点连线所形成的

6、图形线段上的各点连线所形成的图形; 四面体可以看作四面体可以看作三角形三角形所在平面外一点与这个所在平面外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形三角形上各点连线所形成的图形1相似性相似性 三角形三角形 四面体四面体三角形任意两边之和大于第三角形任意两边之和大于第三边三边三角形的中位线等于第三边三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于等三边的一半，且平行于等三边三角形的三条内角平分线交三角形的三条内角平分线交于一点，且这点是三角形于一点，且这点是三角形内切圆的圆心内切圆的圆心四面体任意三个面的面积之和四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积大于第四个面的面积41四面体的中位面四面体的中位面(

7、以任意三条棱以任意三条棱的中点为顶点的三角形的中点为顶点的三角形)的面积的面积等于第四个面的面积的等于第四个面的面积的 ,且且平行于第四个面平行于第四个面2类比DEABCAFCDB四面体的六个二面角的平四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心是四面体内切球的球心圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积. . .球面是球面是空间空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合2、圆是、圆是平面平面内封闭的曲线所围成的对称图形内封闭的曲线所围成的对称图形 球是球是空间空间中封闭

8、的曲面所围成的对称图形中封闭的曲面所围成的对称图形相似性相似性1、圆、圆 是是平面平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合二、利用圆的性质类比得出球的性质二、利用圆的性质类比得出球的性质dC球的表面积球的表面积2dS2rS球的体积球的体积3rV三、三、试根据等式的性质猜想不等式的性质。试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1) a=ba+c=b+c;(2) a=b ac=bc;(3) a=ba2=b2;等等。等等。猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1) aba+cb+c;(2) ab acbc;(3) aba2b2;等等

9、。等等。思考思考：这样猜想出的结论是否一定正确呢？：这样猜想出的结论是否一定正确呢？又如又如, ,在平面内，若在平面内，若ac, ,bc, ,则则a/b. . 类比到空间，你会得到类比到空间，你会得到 什么结论？并判断正误什么结论？并判断正误. .错误错误 （可能相交）（可能相交）猜想猜想:在空间中，若在空间中，若a a g g，b b g, g, 则则a a/b b。等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项公式通项公式前前n项和项和12)nnaadn（()nmaanm d11()2(1)2nnn aaSn nnad1:2)nnaaqn（n mnmaa q11(1)(1)(1)1nnnaq

10、Saqqq1(1)naand11nnaa q等差数列等差数列等比数列等比数列中项中项性质性质22nmn maaa 22nmn maaa 任意实数任意实数a、b都有等都有等差中项差中项 ，为，为2ba当且仅当当且仅当a、b同号时才同号时才有等比中项有等比中项 ，为，为ab232,mmmmmSSSSS成公差为成公差为 等差数列等差数列232,mmmmmSSSSS成公比成公比? 等比数列等比数列下标等差下标等差,项等差项等差下标等差下标等差,项等比项等比n2dqn例例1 1：类比平面内直角三角形的勾股定理，类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想a a

11、b bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC =S=S2 21 1+S+S2 22 2+S+S2 23 3猜想猜想: :90 ,ABOCAOBBOCAOC 如图，四面体中，则归纳推理归纳推理、类比推理统称为合情推理、类比推理统称为合情推理. .练练习习PCPBPACPBPAP(2005(2005年广东年广东) )如图（如图（1 1）有面积关系：）有面积关系：PBPABPAPSSPABBAP则图（则图（2 2）有体积系：）有体积系：C-CABPBAPVVAABBPsPAB=12PAsinsPAB=12P

12、AsinABCPBACVP-ABCVP-ABC=VC-PABVC-PAB=13SS=PAsPABsPAB=PA17分析 a1+a2+a3+n=a1+a2+a3+n+an+1+an+2+k-1+ak+ak+1+x+ay0 等比中K=9原题中K=10例例4.在平面上在平面上,设设ha,hb,hc是三角形是三角形ABC三条边上三条边上的高的高.P为三角形内任一点为三角形内任一点,P到相应三边的距离到相应三边的距离分别为分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论我们可以得到结论:试通过类比试通过类比,写出在空间中的类似结论写出在空间中的类似结论.1ccbbaahphphp 平面上平面上 空间中空间中图图

13、形形结结论论证证法法ABCPpapbpc1ccbbaahphphp1ddccbbaahphphphpABCDP 类比推理举例类比推理举例构成几何体的元素数目：四面体构成几何体的元素数目：四面体 三角形三角形 几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象三角形三角形四面体四面体（各面均为（各面均为三角形三角形）四边形四边形六面体六面体（各面均为（各面均为四边形四边形）圆圆球球代数中常见的类比对象代数中常见的类比对象复数复数向量向量方程方程函数函数不等式不等式交集，并集，补集交集，并集，补集或，且，非运算或，且，非运算直角三角形直角三角形C C90903 3个边的长度个边的长度a a，b b，c c

14、2 2条直角边条直角边a a，b b和和1 1条斜边条斜边c c类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空试给出空间中四面体性质的猜想间中四面体性质的猜想3 3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体PDFPDFPDEPDEEDFEDF9090 4 4个面的面积个面的面积S S1 1，S S2 2，S S3 3和和S S 3 3个个“直角面直角面” ” S S1 1，S S2 2，S S3 3和和1 1个个“斜面斜面” ” S S12abcSP PaPbPc海伦公式：已知三角形的三边长分别为a,b,c，且P=则三角形面积为1sin2ABCSabC例题讲解例题讲解AB

15、Cabca2+b2=c2s1s2s3FEF的面积为的面积为S2232221SSSSrcbaS)(21rSSSSV)(31321rPEFD证证法法1,2121ABCPABPACPBCccbbaaABCPABPACPBCABCPABccABCPACbbABCPBCaaaaSSSShphphpSSSSSShpSShpSShBCpBChp同理有1、水果：苹果、水果：苹果 A.香梨：黄梨香梨：黄梨 B.树木：树枝树木：树枝 C.经济适用房：奔驰经济适用房：奔驰 D.山：高山山：高山2.馒头：食物馒头：食物 A.食品：巧克力食品：巧克力 B.头：身体头：身体 C.钢铁：金属钢铁：金属D. 手：食指手：食指 公务员考试试题公务员考试试题4、汽车：运输、汽车：运输 A.捕鱼：鱼网捕鱼：鱼网 B.编织：鱼网编织：鱼网 C.鱼网：编织鱼网：编织 D.鱼网：捕鱼鱼网：捕鱼 3、轮船：海洋、轮船：海洋 A.河流：芦苇河流：芦苇 B.海洋：鲸鱼海洋：鲸鱼 C.海鸥：天空海鸥：天空 D.飞机：海洋飞机：海洋 【解答】该题题干中水果与苹果两个词之间