数字通信基础与应用(第二版)课后答案8章答案

1、8.1确定下面的多项式是否为本原多项式。提示：最简单的方法就是用LFSR，类似于图8.8的例子。 a）1+X2+X3 b）1+X+X2+X3 c）1+X2+X4 d）1+X3+X4 e）1+X+X2+X3+X4 f）1+X+X5 g）1+X2+X5 h）1+X3+X5 i）1+X4+X5在（a） (d) (g)还有（h）的多项式是简单的，剩余的为复杂的，我们采用经典的方法来解决part(a),那就是一个不能简化的多项式,f(X),在m度被认为是简单的，如果对于最小的正整数n f(X)分隔+1，n=-1,因此，对于（a）部分来说，我们证明m=3的度时多项式是简单的，使得+1=+1=+1,但并没有

2、分隔+1,n 在17之间的时候，我们给出+1除以+1的式子。 +1+1 +1+1 +1+1+10接下来我们将全面的检查剩余的状况同样适用+X+1 1+1+1+XX+1表格8-3题8.2 a）（7，3）R-S码的码元纠错性能如何？每码元多少个比特？ b）计算用于表示a)中（7，3）R-S码的标准阵的行数和列数（见6.6节）。 c）利用b)中的矩阵维数来提高a)中所得到的码元纠错性能。 d）（7，3）R-S码是否是完备码？如果不是，它具有多少残余码元纠错能力？8.3 a）根据有限域GF(2m)（其中m=4）中的基本元素定义元素集0，1，2，2m-2，。 b) 对于a）中的有限域，构造类似于表8.2

3、的加法表。 c）构造类似于表8.3的乘法表。 d）求解（31，27）R-S码的生成多项式。 e）用（31，27）R-S码以系统形式对信息96个0，后面为10010001111（最右端为最早出现的比特）进行编码。为什么此信息要构造如此多的0序列？X0X1X2X30000001000101002001030001411005011060011711018101090101101110110111121111131011141001因为电阻的原因，我们仅显示这个表格中一半的内容（即三角形部分） 加法表乘法表8.4用（7，3）R-S码的生成多项式对信息010110111（最右端为最早出现的比特）进行编

4、码。用多项式除法求解监督多项式，并以多项式形式和二进制形式表示最终码字。（除法公式 p8-7）余数(监督)多项式 P(X)=Xn-km(X)模g(X)余数多项式监督多项式1+2X+4X2+6X3 最终码字多项式U(X)1+2X+4X2+6X3+1X4+3X5+5X6 100 001 011 101 010 110 111 监督项 数据项8.5 a）利用LFSR，采用（7，3）R-S码以系统形式对信息6，5，1（最右端为最早出现的比特）进行编码，并以二进制形式表示出最终码字。 b）通过求码字多项式在（7，3）R-S生成多项式g(X)根处的值，验证a）中所得到的码字。(a)对于(7,3)R-S码，

5、如图8.9所示我们利用LFSR求解依照图8.7 我们把信息符号6,5,1转换为362, 最右边的符号是最早的。8.5(b)因此，U(X)是一个合法的码字，因为当计算多项式的根时，得到的校验位全部为08.6 a）假设习题8.5中得到的码字在传输过程中由于衰耗，使得最右端6比特的值被反转。通过求码字多项式在生成多项式g(X)的根处的值得到每个校正子。 b）证明通过求错误多项式e(X)在生成多项式g(X)根处的值可以得到与a中相同的校正子。(a)对于这个例子，错误多项式可以这样描述：使用问题8.5中的U(X) 接收多项式可以写为：通过计算r(X)在生成多项式g(X)根处的值可以得到伴随值8.7 a）

6、式（8.40）所示的自回归模型，错误码字为习题8.6中的码字，求解每个码元错误的位置。 b）求解每个码元错误的取值。 c）利用a）和b）中得到的信息纠正这个错误码字。使用自回归方程（8.4.0） 找出错出点数目和 从等式（8.39）和等式（8.47），我们可以把表示成：我们通过测试取值区域中的每个元素来决定的根。任何满足的都是根，并且允许我们定位误差。说明误差的位置在说明误差的位置在(b)现在，我们认为误差值和与以的位置有关。现在四个综合等式中的任何一个都可以使用。从等式（8.38），我们使用和。化成矩阵形式： 为了求出误差值和，上面的矩阵方程用常规的办法来转换成：现在我们。(c)我们通过加入

7、加入误差多项式修正了从问题8.6中所引入的误差，如下所示： 8.8序列1011011000101100输入到44交织器，输出序列是什么？如果将相同的输入序列输入到图8.13所示的卷积交织器，输出序列又是什么？ 块交织 输出 输入 1 0 01 0 1 01 1 1 1 0 1 0 0 0输出 序列= 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 卷积 交织（output） 输出 输入 X X X 1 0 0 1 X X X X X X 0 1 0 1 X X X X X X 1 1 1 0 X X X X X X 1 0 0 0 X X X 输出序列= 1 X X X 0 0

8、 X X 0 1 1 X 1 0 1 1 X 1 1 0 X X 0 0 X X X 08.9对于下面的各种情况，设计一个交织器，用于一个以19,200码元/s传输速率工作的突发噪声信道通信系统。a）突发噪声持续时间为250ms。系统码由dmin=31的（127，36）BCH码构成。端到端延迟不超过5s。b）突发噪声持续时间为20ms。系统码由编码效率为1/2的卷积码构成，其反馈译码算法可以在21码元的序列中纠正3码元错误。端到端延迟不超过160ms。 (a) (127.36)码 解码得到： 。 因此， 得到 。bN个突发错误将使解交织器的输出不超过b个突发码元错误。每个输出突发错误与其余突发

9、错误之间至少由M-b个码元隔开。信道码元率=19.2 kbit/s .突发噪声持续时间为250ms，bN=4800. 由此，得 b=15； bN=4800; n=4800/b=320.M-b=127; M=127+15=142;因此，一个解交织器中的块交织（142*320）码将会产生端对端延迟。从 (140*320)码 的交织器可算得：延迟2MN=（2*124*320）/（19.2*）=4.8。所以，所设计交织器的符合延迟时间。（b）.突发噪声持续时间为20ms，bN=384，21码元的序列可以纠正3码元错误。可得 b=3； bN=384; N=384/3=128;又每个输出突发错误与其余突发

10、错误之间至少由M-b个码元隔开 M-b=21; M=21+3=24因此，一个解交织器中的块交织（21*128） 将会产生端对端延迟。延迟2MN=（2*24*128）/（19.2*）=320ms;为符合延迟要求，选择一个（24*128）码的交织器，使延迟时间减半，并不超过160ms。8.10 a）计算8.3节中讨论的压缩磁盘（CD）存储数据译码后的字节错误概率。假设磁盘的信道码元错误概率为10-3，R-S内译码器和外译码器都具有纠2码元错码的能力，所以一个交织过程产生的信道码元错误与另一个不相关。b） 此磁盘的信道码元错误概率为10-2时，重复a)的计算过程。(a) ；。对于激光唱盘，解码过程有

11、2步，第一步中， 而第二步中，。PART #1 ： ； = PART #2： ； = （b）PART #1: ; PART #2: 8.11 BPSK系统，信道为AWGN，接收到等概率的双极性码（+1或-1）。假设为单位方差噪声。时刻k接收信号xk的值为0.11。 a）计算接收信号的两个似然值。 b）最大后验判决是+1还是-1？ c）传输码元为+1的先验概率等于0.3，则最大后验判决是+1还是-1？ d）假设还是c中的先验概率，计算对数似然比L(dk|xk)。a)接收信号可能的比率计算为：因为 和 所以可以得到b)对于等概率信号，MAP的决策和最大决策的可能性相同，那就是 等于+1，因而c)计

12、算和和因为公式（8.66）的MAP判决条件即等于-1。用公式（8.66），可以得到8.12考虑8.4.3节中所描述的二维监督校验码。正如前面所述，发送码元用序列d1，d2，d3，d4，p12，p34，p13，p24表示，编码效率为1/2。在需要更高数据速率的一种特殊应用中，允许输出序列将监督位每隔一比特丢弃一比特，由此得到总的编码效率为2/3。输出序列为d1，d2，d3，d4，p12，_，p13，_（监督比特p34和p24没有发送）。发送序列为di,pij=+1-1-1+1+1-1，这里i和j为位置坐标。噪声将数据和监督序列改变为xk=0.75，0.05，0.10，0.15，1.25，3.0，

13、这里k是时间序号。计算经过二次平行和二次垂直迭代后的软输出。假设单位噪声方差。该通道的测量值为以下LLR的值接受信号的软输出对应数据：我们可以写成横向和纵向公式计算如下使用公式（8.73）的近似关系和前提条件，我们可以计算出的值。因为这些检验位不被传输，L(d)开始也设置为零。计算的产率值为:计算的产率值为：产率值的第二个迭代：我们注意到，在这种情况下，震荡的值第二次迭代后等于第一次迭代后的值。因此，进一步的迭代不会有任何性能上的改善。软输出的可能值计算公式为：因此，我们得到：使用公式（8.111）的MAP判决公式，解码器决定发送序列+1-1-1 +1是正确的。如果没有编码，四个数据位中的两个

14、就会出错。8.13考虑如图8.26所示的两个RSC编码器的并行链接。交织器的分组大小为10，将输入序列dk映射到dk，交织器的置换为6,3,8,9,5,7,1,4,10,2，也就是说，输入的第1比特映射到位置6，第2比特映射到位置3，等等。输入序列为（0,1,1,0,0,1,0,1,1,0）。假设分量编码器开始于全零状态，并且没有强加的终止比特使其返回到全零状态。 a）计算10比特监督序列v1k。 b）计算10比特监督序列v2k。 c）开关对序列vk执行穿插操作，使其为：v1k，v2(k+1)，v1(k+2)，v2(k+3)，编码效率为1/2。计算输出码字的重量。 d）以MAP算法进行译码，如

15、果编码器不终止，则初始化状态量度和分支量度需要做哪些改变？a)输出校验序列被赋值为0,1,0,0,1,0,1,1,1,1。在这个例子中，编码器不是被迫回到全0状态，所以没有尾巴位。b)输入序列是根据模式插入的。根据给定的输入序列和插入模式，插入序列为:0,0,1,1,0,0,1,1,0,1.c)根据a)、b)部分的两个检验序列和震荡模式，我们可以得到整个编码的校验序列。它是：0,0,0,0,1,1,1,0,1,1。 由给定的传输序列：0,1,1,0,0,1,0,1,1,0。我们得到：总长度=数据序列长度+检验序列长度=5+5=10。d)由于编码器左未结束，我们要改变反向状态度量初始化的条件。块

16、结束反向状态指标都设置为相同的值。即替代用值1仅代表全零的状态和值1代表其他状态。而且先验中的最后一个分支度量特利斯概率都设置为0.5，因为没有可用的先验信息。8.14 a）对于图P8.1所示的非递归编码器，计算所有码字的最小距离。 b）对于图8.26所示的递归编码器，计算所有码字的最小距离。假设没有穿插操作，编码效率为1/2。 c）对于图8.26所示的编码器，如果每个分量编码器的输入都是重量为2的序列（000010010000），试讨论它对输出码字重量有何影响。 d）假设重量为2的序列为（0001010000），重复c）的讨论。 图P8.1 非递归分量码的编码器a)虽然生成多项式对两个组件代

17、码是相同的，但是它们的最小距离不同，因为第一部分的代码，数据和奇偶校验位被传输，而第二部分的代码只有序列部分被传输。而且我们不传输交错数据位。最小长度为输入序列的宽度-1 (000. . . 000 1000000).不管怎么交错选择，具有重量1的输入序列总是出现在第二个编码器的输入。在图P8.1所示的编码器，分量码有3个和2个最小距离。因此，整体的代码将有一个最小距离等于3 +2 = 5。（b）由于编码已在8.26给出了，组件代码有个递推的表格。如果我们输入无限长序列码1进入组件代码。输出的代码为（0000001110110110110）。因此，对于输入时无限的编码1输出也是无限的。当码3序

18、列输入已知时，最小的无限长的代码的输出码字可以求出。对于码3输入，输出是（000 000101000 000）。当码3是交错的，所以序列3的连续性受到破坏。因此，第二次编码是不可能产生其他的最小输出码字。我们可以确定的最小输出码字距离比最小码字更有意义。(c)在8.26，码二序列被输入到编码器中，输出地编码是（00 00111100 00）。输出序列是自终止的，如果错位没有打乱（），从第二级的输出编码格式是（）。最后的输出地码是（）（）码二序列（00 0010100 00）输出到编码器中，输出地是（00 001101011011011011011）。输出系列不是自终止的。如果错码器没有打乱（0

19、0 0010100 00）序列，两个编码器的输出都将有很大的码。（c）(d)强调turbo码重要的方面以便错码器可以改变输入序列。当数据输入，输出码字将有更高比重。8.15考虑图8.25a所示的用于turbo分量码的编码器。其4状态网格图如图8.25b所示。编码效率为1/2，分支上的标号uv分别表示每个输出分支码字，u表示数据比特（系统码），v表示监督比特，每个时刻k传输一个数据比特和一个监督比特。从解调器接收到的信号在时刻k=1受噪声干扰的u，v为1.9，0.7，在时刻k=2为-0.4，0.8。假设数据比特为1或0的先验概率是相等的，而且编码器开始于时刻k=1的全零状态，并假设噪声方差为1.

20、3。回顾N比特的数据序列是由N个转移时间间隔和N+1个状态来描述的。所以在这个例子中，数据比特开始于时刻k=1和2，我们感兴趣的状态度量在时刻k=1，2，3。 a）计算用于MAP算法的时刻k=1和k=2的分支量度。 b）计算时刻k=1，2和3的前向状态量度。 c）时刻k=2和3的后向状态量度由表P8.1给出。根据表中的值和a）、b）中计算得到的值，计算时刻k=1和k=2的各个数据比特的似然率。根据MAP判决准则求解最可能的数据比特序列。 表P8.1 km k=2 k=3 m=a 4.6 2.1 m=b 2.4 11.5 m=c 5.7 3.4 m=d 4.3 0.9 度量科的计算使用公式（8.

21、140）。我们假设=1,在任意k下。的经验值是1.5对所有k 。00,10,01和11分别代表a,b,c,d四个状态。使用在8.25b中所示的网格结构，我们计算度量科在k=1情况下。编码器在a状态开始在k=1时，因此我们假设字母表上的其他均为0除了a为1。在这儿我们仅需要的值，其他的六个是不需要的。由于=0,我们可以重复计算在k=2时，（b）我们只需要的值，其他的四个不需要。由于=0.我们有下述的初始化条件：我们可以获得下面的值在k=2时。在k=3时的近似值如下：d的值代表在k=3时的各个状态。因此没有使用在计算对数似然比上。（c） K=1时，K=2时，8.16假设题8.15所得到的序列其实是

22、通过穿插1/2编码效率（由图8.25b定义）所得到的2/3码率的编码。穿插就是每产生两个监督比特只发送一个。所以这个4信号的序列分别表示数据码元，监督码元，数据码元，数据码元。计算用于MAP算法的时刻k=1和k=2的分支量度和前向状态量度。在时间k=1,分支量度和题目8.15中计算出来的是相同的，这是由于就编码效率来说，数据比特和奇偶效验位都被传送。然而，在下一个区间中，奇偶效验位被穿插，所以我们只获得数据比特。当计算分支量度时，我们要考虑到这个。我们忽略了奇偶效验位元素，因为在这个区间内，它对分支量度的值没有任何影响。在k=1, =0.07 =3.69。只有在这里才需要这两个的值。另外六个并

23、不需要，因为=。当时间k=2时，我们只考虑对数据比特的贡献，计算如下： = (1)(0.5) exp(1/1.3)(-0.4)(-1)=0.68 = (1)(0.5) exp(1/1.3)(-0.4)(1)=0.37 = (1)(0.5) exp(1/1.3)(-0.4)(-1)=0.68= (1)(0.5) exp(1/1.3)(-0.4)(1)=0.37这里我们只需要四个值。另外四个并不需要，因为=0。根据以上所述我们能用一般方法计算出正向状态量度。在时间k=2时，正向状态量度与前面的题目有相同的值，但是对于时间k=3, 正向状态量度需要根据分支量度的新值重新计算。在时间k=2, =0.0

24、7和=3.69，然而=0 在时间k=3: = - =(0.07)(0.68)=0.05=-=(0.07)(0.37)=0.03=-=(3.69)(0.37)=1.37=-=(3.69)(0.68)=2.5通过公式（8.140）来计算分支量度。假设=1对于所有k都成立，的一个算术值是0.5。使用图8.25b中的框架，我们计算时间k=1023时，八个分支度量中的每一个，在k=1024时对于那些分支度量，重复同样的工作就行。对于时间k=1023:=(1)(0.5)exp(1/2.5)(1.3)(-1)+(-0.8)(-1)=0.41=(1)(0.5)exp(1/2.5)(1.3)(1)+(-0.8)

25、(1)=0.61=(1)(0.5)exp(1/2.5)(1.3)(-1)+(-0.8)(1)=0.22=(1)(0.5)exp(1/2.5)(1.3)(1)+(-0.8)(-1)=1.16=(1)(0.5)exp(1/2.5)(1.3)(-1)+(-0.8)(-1)=0.41=(1)(0.5)exp(1/2.5)(1.3)(1)+(-0.8)(1)=0.61=(1)(0.5)exp(1/2.5)(1.3)(-1)+(-0.8)(1)=0.22=(1)(0.5)exp(1/2.5)(1.3)(1)+(-0.8)(-1)=1.16对于时间k=1024,我们只需要下面两个分支量度：=(1)(0.5)

26、exp(1/2.5)(-1.4)(-1)+(-0.9)(-1)=1.26=(1)(0.5)exp(1/2.5)(-1.4)(1)+(-0.9)(1)=0.2译码器以状态a结束，所以在终端时间k=1025时，我们假设反向状态量度值，都是0除了在状态a处值是1。的值可以通过式（8.136）计算。所以我们有如下初始情况： =1 =08.17用作turbo码分量码的4状态码的框图如图8.25b所示。编码效率为1/2，分支上的标号uv表示每个输出分支码字，u表示数据比特（系统编码），v表示监督比特。解调器接收到N=1024个样值的分组。假设第一个信号到达的时刻为k=1，每个时刻k接收到一个含噪数据比特和

27、监督比特。在时刻k=1023，接收的含噪信号u，v的值分别为1.3,-0.8，在时刻k=1024，其值分别为1.4,-0.9。假设数据比特取值为1或0的先验概率相等，编码器在时刻k=1025结束于状态a=00。噪声方差等于2.5。 a）计算时刻k=1023和k=1024的分支量度。 b）计算时刻k=1023，1024和1025的后向状态量度。 c）时刻k=1023和k=1024的前向状态量度值由表P8.2给出。根据表中的值和a）、b）中计算得到的值，计算时刻k=1023和k=1024的各个数据比特的似然率。根据MAP判决准则确定最可能的数据比特序列。 表P8.2 km k=1023 k=102

28、4 m=a 6.6 12.1 m=b 7.0 1.5 m=c 4.2 13.4 m=d 4.0 5.9 从格子图和方程（8.136）,我们得到如下关系。对于k=1024: =(1)(1.26)=1.26 =(1)(0.2)=0.2对于这个例子，我们不需要计算k=1023时的反向状态量度：对数似然比的值由下面方程给出： L()=log当k=1023时： L()=log=0.31当k=1024时：L()=log= -1.74由于L()0, 我们选择数据比特1023等价于二进制1。由于L()0, 我们选择数据比特1024等价于二进制0。下面的格子图（有量度注释）能够简化上面的计算。8.18给定两个统

29、计独立的含噪信号的观测值x1和x2，证明对数似然率（LLR）L(d|x1,x2)可由单个LLR表示为： L(d|x1,x2)=L(x1|d)+L(x2|d)+L(d) 这里L(d)是数据比特d的先验LLR。L（dx）=log单独观察和L（d,）=log从方程（8.67），我们可以写出对数似然比（LLR）L（dx）=log+ log= L（dx）+ L（d）运用贝叶斯公式，我们可以观察到P（d=j,=和是独立统计的，那么我们可以写出P（d=j,我们可以把对数似然比LLR写成L（d,）=log= log+ log+ log= L（d）+ L（d）+ L（d）8.19 a）根据Bayes定理，描述式

30、（8.129）和式（8.130b）中的变换km的详细步骤。提示：采用形如式（8.121）和（8.122）的简单字母标号机制。 b）解释由式（8.130a）中的状态m总和如何得到式（8.130b）的表达式。 c）重复a）详细说明如何由式（8.133）推导出式（8.135），并解释由时刻k+1的状态m的总和如何得到式（8.135）的表达式。（a）从方程（8.129）= A B C D EP(A,B,C,DE)= = = P(b)对所有从0到制定从状态m到对应的输入j的状态的返回，得出方程（130b）。 P(先前给予一个输入j和状态，完全定义了路径这个状态。（c）方程（8.133）= A B C D

31、 EP(A,B,C,DE)= = = P(完全定义了路径这下一个状态,得出方程（8.135）。 P(8.20从式（8.139）的分支量度ki,m开始，解释推导出式（8.140）的详细步骤，并指出哪些项可以看作是式（8.140）中的常量Ak，为什么式（8.141a）无Ak项？起始于方程（8.139）=exp-d exp- d考虑到指数项不同，我们有exp-2+=exp-exp对于第二项指数同样地，我们得到exp-exp然后exp- exp- exp观察=1，=1，然后 exp- exp- exp在方程（8.140）中第一个三类项被定义为，而在方程（8.141a）形成了项，它在分子分母在都出现。8

32、.21利用图8.27所示的交织器（与编码器的交织器相同）来确认DEC1的输出序列与序列y2k的时间顺序是否相同。这能否以一种比较简单的方式实现？在较低的线上使用解交织器结果会如何？如果这样做，那么可以去掉输出端前面的两个解交织器。解释不能这样做的原因。8.22在Viterbi译码算法的实现中，使用了相加-比较-选择（ACS）处理过程。但是在turbo译码的最大后验概率（MAP）算法中不存在这种转移之间的比较和选择。MAP算法在每个时间间隔结合了分支和状态量度。解释两种算法之间存在这种差异的原因。 在维特比算法中，增加的比较选择处理器展示了一种通过一个特定序列的一个解码格子高效率地产生最大概似法

33、途径的技术。最大值推纳(MAP)算法，不同于维特比算法，能够发现每个信号时间间隔的似然比，为了形成似然比，需要从此时刻起使用与那间隔时间相关分支的所有统计信息做最大值推纳算法。其中所有的信息都不能丢失。8.23图P8.2所示为递归系统卷积（RSC）编码器，码率为1/2，K=4。注意此图采用1比特延迟单元而不是存储单元（见8.4.7.4节）。所以电路的当前状态可以用结点ak-1，ak-2和ak-3处的信号电平描述，类似于使用存储单元时的状态描述方式。构造一张类似于表8.5的表格，指出电路所有可能的状态转移，并根据表格画出对应的网格图。 图P8.2 递归系统卷积（RSC）编码器，码率1/2，K=4 uv000000011000110100010010001100100110001010111110111000110100100010