多维随机变量（精）

1、第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量及其分布函数第二节 二维离散型随机变量及其分布律第三节 二维连续型随机变量及其密度函数第四节 相互独立的随机变量第五节 条件分布第六节 二维随机变量函数的分布第一节 二维随机变量定义 设是定义在同一个样本空间上的随机变量，则称由它们构成的二维向量为二维随机向量，亦称为二维随机变量.二维随机变量的性质不仅与各自的性质有关,而且还依赖于它们之间的相互关系,因此必须把它们作为一个整体来研究.为了描述二维随机变量整体的统计规律性,我们引入联合分布函数的概念.定义 设(X,Y)为二维随机变量,称二元函数为(X,Y)的分布函数,或 X与Y的联合分布函数.可视

2、为随机点落在以为顶点的左下方的无穷矩形的概率.设,则有图2二维随机变量分布函数的根本性质设是二维随机变量(X,Y)的分布函数,则1)关于与都是右连续的,即3)对任意有 可以证明,以上三条性质是二元函数能否成为某二维随机变量分布函数的充分必要条件.2) 由于X与Y本身也是一个随机变量,因此也有各自的分布函数,并且分别称为(X,Y)关于与的边缘分布函数. 例1 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为称此分布为二维指数分布,其中参数易得,关于和的边缘分布函数分别为 注意 边缘分布与参数 无关！这说明研究多维随机变量,仅仅研究边缘分布是不够,而必须将他们作为一个整体来研究. 整体大于局部之和! 第二节

3、二维离散型随机变量 定义 如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对值,那么 称(X,Y)为二维离散型随机变量. 假设(X,Y)的可能取值为 ,并且那么称上式为(X,Y)的分布律,或称为X与Y的联合分布律.分布律也常写成如下表格的形式:显然有由于故关于X的边缘分布律为:同理关于 的边缘概率密度为 可以将联合分布律与边缘分布律写成下述形式: 例1 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两次,每次取一件,记分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的联合分布律和边缘分布律.解 (1)有放回的情形.此时类似的,可求得其它的 ,最后可得 的联合分布律与边缘分布律如下表:0101

4、(2)无放回的情形.此时类似的,可求得其它的 ,最后可得 的联合分布律与边缘分布律如下表:0101 注:两种情形的边缘分布律是相同的!例2 设二维随机变量 的分布律为0.10.4已知试求常数的值.解 由以及解得第三节 二维连续型随机变量 定义 设 是二维随机变量 的联合分布函数,如果存在一个非负函数 ,使得则称 是二维连续型随机变量,称 为 的概率密度,或者称为 与 的联合概率密度.联合概率密度的根本性质:1)2)1)设 为任意平面区域, 有2) 在 的连续点 处,有3)若平面区域 的面积为0,则概率密度还有如下性质:由于所以,关于X的边缘概率密度为:同理,关于Y 的边缘概率密度为:例1 设(

5、X,Y)的概率密度为求:1) 常数 ;2)联合分布函数 ;4)(X,Y)落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形内概率;5) 边缘密度函数3)解 1)2)3)4) 设D为如下图的单位正方形区域,那么所求的概率为O11(1,1)5)同理注意:在本例中,有两个重要的分布一.二维均匀分布 设D为平面有界区域,其面积为SD,假设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则称 服从区域D上的均匀分布. 若 服从区域 D上的均匀分布,则对于D中任一子区域G,有GD 于是 落在D中任一子区域G的概率与G的面积成正比,而与G的形状和位置无关。在这个意义上我们说,服从某区域上均匀分布的二维随机

6、变量在该区域内是“等可能”的。例3 设(X,Y)服从单位圆上的的均匀分布，求X与Y的边缘概率密度。 解 由题意知,(X,Y)的概率密度为于是，有-11-11由对称性可知注意此时二.二维正态分布 定义 若二维随机变量 的联合概率密度为其中 是实数,则称 服从参数为的二维正态分布,记作称上述的 为二维正态概率密度. 可以证明,若则 也就是说,二维正态分布的两个边缘分布仍然为正态分布,而且其边缘分布不依赖于参数 .因此可以断定参数 描述了 与 之间的某种关系!第四节 相互独立的随机变量 定义 设(X,Y)是二维随机变量,如果对于任意的实数x 和y,随机事件 和 相互独立,即则称随机变量 和 相互独立

7、.1.假设离散型随机变量(X,Y)的可能取值为并且对任意的 和 ,事件与相互独立,即那么X与Y相互独立. 下面给出离散型和连续型时的两个重要结论. 2.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为关于X 和Y的边缘概率密度分别为和如果对任意实数x和y,成立那么X 和Y相互独立.重要结论:设那么 X与Y相互独立的充分必要条件为 .例1 设二维随机变量 的联合分布律为:1 2 31 2且X与Y相互独立,试求 和解 由于X与Y独立,所以有又由分布律的根本性质,有所以,有例2.设随机变量 X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的局部数值,试将其余数值

8、填入表中的空白处. 1分析 定理 设X与Y是相互独立的随机变量, h(x)和g(y)均为连续或单调函数,那么随机变量h(X)与g(Y)也是相互独立的.例如,若 与 是相互独立的,则相互独立;相互独立;相互独立 等等 例3 假设 的联合概率密度为问X与Y 是否相互独立?11解 与 不相互独立.第五节 条件分布一.离散型随机变量的条件分布 设二维随机变量 的分布律为称为 的条件下, 的条件分布律;为 的条件下, 的条件分布律. 例1 一射手进行射击,单发击中目标的概率为 射击进行到击中目标两次为止.以 表示第一次击中目标所需射击的次数,以 表示总共进行的射击次数.试求 的联合分布律及条件分布律.

9、解 由题意知, (X,Y)的可能取值为(i, j),其中或并且于是而所以,当时,有当时,有 -1 0 2 -1 2 1/8 3/16 1/16 1/4 c 5/16解 (1) 因为所以2边缘分布为其余完全类似 第六节 二维随机变量函数的分布 根本任务: 二维随机变量或(X,Y)的分布,求随机变量 Z(X,Y)的分布. 例1 设 的联合分布律为分别求 和 的分布律.解 的可能取值为-3,-2,-1,0,并且的可能取值为0,1,2,3,其分布律为 例2 设随机变量(X,Y)相互独立,并且,试证证明 显然 的可能取值为0,1,2,并且即 例3 设随机变量X,Y相互独立,其概率密度分别为 试求Z=X+Y的概率密度.解 先求分布函数或者以上两个公式称为卷积公式. 例4 设X,Y相互独立且均服从标准正态分布,求Z