直线系方程学习教案

1、会计学1第一页，共20页。直线直线(zhxin)系方系方程的分类程的分类直线系方程直线系方程(fngchng)的定义的定义直线系方程直线系方程(fngchng)的应用的应用课堂结构第1页/共20页第二页，共20页。一、直线系方程一、直线系方程(fngchng)的定的定义义 直线系：直线系： 具有某种共同性质的所有直具有某种共同性质的所有直线的集合线的集合(jh).(jh).它的方程它的方程叫直线系方程。叫直线系方程。第2页/共20页第三页，共20页。二、直线系方程二、直线系方程(fngchng)(fngchng)的的种类种类1: 1:1:1:与直线与直线L L：Ax+By+C=0Ax+By+C

2、=0平行的直线系方程平行的直线系方程(fngchng)(fngchng)为：为： Ax+By+m=0 Ax+By+m=0 （其中（其中mCmC，m m为待定系数）；为待定系数）；yox第3页/共20页第四页，共20页。直线系方程直线系方程(fngchng)(fngchng)的种类的种类2: 2:2:与直线L：Ax+By+C=0垂直的直线系方程(fngchng)为: Bx-Ay+m=0 （m为待定系数）.yxo第4页/共20页第五页，共20页。直线直线(zhxin)(zhxin)系方程的种类系方程的种类3:3:3. 过定点(dn din)P（x0，y0）的直线系方程为：A(x-x0)+B(y-y

3、0)0 设直线(zhxin)的斜率为 A(x-xA(x-x0 0)+B(y-y)+B(y-y0 0) )0 (1)0 (1)(00 xxBAyyy-yy-y0 0k(x-xk(x-x0 0) (2) (2) 说明说明:(2)比比(1)少一条直线少一条直线即即:(2)应考虑应考虑k不存在的情况不存在的情况yxo第5页/共20页第六页，共20页。问题：问题： 若直线若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线与直线L2：A2x+B2y+C2=0相交相交(xingjio)，交点为，交点为P（x0，y0），则），则过两直线的交点的直线系方程为：过两直线的交点的直线系方程为：m(A1x+B1y+C1)+n

4、( A2x+B2y+C2)=0 其中其中m、n为待定系数为待定系数.证明证明(zhngmng)：,0 x A0CyBxA),(x22211100的的交交点点与与是是设设 CyBy, 0 xA0CyBxA:,),(x202021010100 CyBy且且得得入入二二方方程程代代所以所以(suy)m(Am(A1 1x x0 0+B+B1 1y y0 0+C+C1 1)+n(A)+n(A2 2x x0 0+B+B2 2y y0 0+C+C2 2)=0)=0直线直线m(A A1 1x x0 0+B+B1 1y y0 0+C+C1 1)+n(A)+n(A2 2x x0 0+B+B2 2y y0 0+C+

5、C2 2)=0)=0经过点（经过点（x0，y0）第6页/共20页第七页，共20页。直线直线(zhxin)(zhxin)系方程的种类系方程的种类4: 4:4. 若直线若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线与直线L2：A2x+B2y+C2=0相交，交点相交，交点(jiodin)为为P（x0，y0），则过两直线的交点），则过两直线的交点(jiodin)的的直线系方程为直线系方程为:m(A1x+B1y+C1 )+n( A2x+B2y+C2)=0(1),其中其中m、n为待定系数为待定系数. A1x+B1y+C1 +k( A2x+B2y+C2)=0(2) A1x+B1y+C1 +k( A2x+B2y+

6、C2)=0(2) 其中其中k k为待定系数为待定系数. .方程方程(fngchng)(2)(fngchng)(2)比比(1)(1)少一条直线。少一条直线。yox第7页/共20页第八页，共20页。例例.求证：无论求证：无论m取何实数时，直线取何实数时，直线(zhxin)(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，恒过定点，并求出定点的坐标。并求出定点的坐标。 01440104xy解法解法(ji f)2：令令m=1，m= -3代入方程代入方程(fngchng)，得：，得：25y27x解得：解得： 2527yx解得：解得：所以直线恒过定点所以直线恒过定点 25,27又因为又因为: 3.5(

7、m-1)- (m-1)- 2.5(m+3)-(m-11)=0(m+3)-(m-11)=0第8页/共20页第九页，共20页。三、直线三、直线(zhxin)(zhxin)系方程的系方程的应用应用: :例例1.求证：无论求证：无论m取何实数取何实数(shsh)时，直线时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，恒过定点，并求出定点的坐标。并求出定点的坐标。0)1(113 yxmyx解法解法(ji f)1：将方程变为：将方程变为：解得： 010113yxyx 2527yx即：故直线恒过故直线恒过 25,27第9页/共20页第十页，共20页。若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过定点，

8、通常(tngchng)有两种方法：方法方法(fngf)(fngf)小结小结： 法二：从特殊到一般，先由其中的两条特法二：从特殊到一般，先由其中的两条特殊直线求出交点殊直线求出交点(jiodin)(jiodin)，再证明其余直线均过此，再证明其余直线均过此交点交点(jiodin)(jiodin)。法一法一: :分离系数法，即将原方程改变成：分离系数法，即将原方程改变成：f(x, y)+mg(x,y)=0f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与的形式，此式的成立与m m的取值无关，故从而解出定点。的取值无关，故从而解出定点。第10页/共20页第十一页，共20页。例例2: 求过两直线求

9、过两直线(zhxin)x-2y+4=0和和x+y-2=0的交点，的交点，且满足下列条件的直线且满足下列条件的直线(zhxin)L的方程。的方程。 (1) 过点过点(2, 1) (2) 和直线和直线(zhxin)3x-4y+5=0垂直。垂直。0)2(42 yxyx 代（代（2，1）入方程）入方程(fngchng)，得：，得：4 所以所以(suy)直线的方程为：直线的方程为：x+2y-4=0解（解（1）：设经二直线交点的直线方程为：）：设经二直线交点的直线方程为：0)212(422 第11页/共20页第十二页，共20页。例例2: 求过两直线求过两直线x-2y+4=0和和x+y-2=0的交点，的交点

10、，且满足下列条件的直线且满足下列条件的直线L的方程的方程(fngchng)。 (1) 过点过点(2, 1) (2) 和直线和直线3x-4y+5=0垂直。垂直。0)24()2()1( yx解得：解得：21 k由已知：由已知：14321 11 故所求得方程故所求得方程(fngchng)是：是：4x+3y-6=0解（解（2）：将（）：将（1）中所设的方程）中所设的方程(fngchng)变为变为：第12页/共20页第十三页，共20页。本题本题(bnt)采用先用直线系方程采用先用直线系方程表示所表示所利用利用(lyng)待定系数法来求解待定系数法来求解.函数函数(hnsh)或曲线类型问题中或曲线类型问题

11、中,我们都可以我们都可以这种方法称之为待定系数法这种方法称之为待定系数法,在已知在已知待定常数待定常数,从而最终求得问题的解从而最终求得问题的解.求直线方程求直线方程,然后再列式然后再列式,求出方程的求出方程的方法小结：方法小结： 第13页/共20页第十四页，共20页。练练 习习 1 1一一. 已知直线已知直线(zhxin)分别满足下列条件，求直线分别满足下列条件，求直线(zhxin)的方程：的方程：_:09-2yx032y-x.1的的直直线线方方程程是是的的交交点点和和原原点点和和过过两两直直线线 _:042-3,02-4yx30103y-x2.2的的直直线线是是且且垂垂直直于于直直线线的的

12、交交点点和和过过两两直直线线 yx_:073-4,012yx08yx2.3的的直直线线是是且且平平行行于于直直线线的的交交点点和和过过两两直直线线 yx_:,02y-x332xy.4直直线线方方程程是是且且垂垂直直于于第第一一条条直直线线的的的的交交点点和和过过两两直直线线 y=x2x+3y-2=04x-3y-6=0 x+2y-11=0第14页/共20页第十五页，共20页。5 5若直线方程为若直线方程为(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0 求证：无论求证：无论m m为何为何(wih)(wih)值时，所给直线恒过定点。值时，所给直线恒过定点

13、。05218)-3ym(2x yx得:05201832 yxyx解得:2/94 yx所以所以(suy)无论无论m为何值为何值,直线均经过定点直线均经过定点(4,9/2)解解:将方程将方程(fngchng)化为化为:第15页/共20页第十六页，共20页。 两条直线方程相乘可以(ky)构成一个二元二次方程,如:L1:x+2y-1=0,L2:x-y=0,相乘后就得:x2 +xy-2y2-x+y=0那么那么,反过来反过来,如果已知一个二元二次方程是由如果已知一个二元二次方程是由两条直线的方程相乘所得两条直线的方程相乘所得,我们我们(w men)也可以先设出这也可以先设出这两条直线的方程两条直线的方程,

14、再利用待定系数法求出它们再利用待定系数法求出它们.请看下面的例子请看下面的例子:四、一个二次方程表示四、一个二次方程表示(biosh)(biosh) 两条直线的问题两条直线的问题: :第16页/共20页第十七页，共20页。例例3:问问k为何值时，方程为何值时，方程(fngchng)3x2+2xy-y2+7x-5y+k=0表示两条直线？表示两条直线？解（待定系数法）：将方程解（待定系数法）：将方程(fngchng)化作：化作：0)57()(3( kyxyxyx设：设：0)(3( nyxmyx则则0)()3()(3( mnnmynmxyxyx所以所以(suy)：kmnnmnm 573解得：解得：632 mnknm即：即：k= -6 时方程表示两条直线。时方程表示两条直线。第17页/共20页第十八页，共20页。1方程x2-y2=0表示(biosh)的图形是：2直线(zhxin)系6x-4y+m=0中任一条直线(zhxin)与直线(zhxin)系2x+3y+n=0中的任一条直线(zhxin)的位置关系是_.练习练习(linx(linx)2)20