机械工程控制基础(系统的稳定性)chapter5

1、第五章 系统的稳定性第一节 系统稳定性初步概念一、 稳定是一个系统能正常工作的首要条件。 二、 对于一个模型已知的系统，如何判定它的稳定性呢？1、 稳定性判据： 代数判据（Routh）几何判据Nyquist稳定判据Bode稳定判据2、系统的相对稳定性以及提高系统稳定性的方法。 第一节 系统稳定性初步概念一、 稳定性概念 三点结论：1)系统是否稳定取决于系统本身（结构和参数），与输入无关。2)不稳定现象的存在是由于反馈作用。3)稳定性是指自由响应的收敛性。 稳定性定义稳定性定义定义1：系统在初始状态的作用下输出响应收敛（回复平衡位置）系统稳定。发散（偏离越来越大）系统不稳定。定义2 系统的初始状

2、态为零（原来处于平衡状态的系统），输入单位脉冲函数(t), 这等于系统有了一个初态，于是系统产生输出 （单位脉冲响应），若 ，则系统稳定。若 ，则系统不稳定。( )w tlim( )0tw tlim( )tw t 稳定程度临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。 a) 稳定b) 临界稳定c) 不稳定 若系统由初态引起的响应，经过一段过渡过程后最终衰减到零，则称该系统是（渐近）稳定的。线性系统的稳定性也就是渐近稳定性。稳定性的其它提法： 渐近稳定性、“小偏差”稳定性、“李亚普诺夫”意义下的稳定性。1、渐近稳定性 处于临界稳定，

3、或接近临界稳定状态的稳定系统，由于分析时依赖的模型通常是简化或线性化的，或者由于实际系统参数的时变特性等因素的影响，在实际中可能成为不稳定的系统，因此，系统必须具备一定的稳定裕量，以保证其在实际工作时处于稳定状态。 经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。2、“小偏差”稳定性 若系统不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，则称该系统是大范围稳定的；否则系统就是小范围稳定的。 对于线性系统，小范围稳定一定意味着大范围稳定，当然此时系统必须工作在其线性范围内。 3、“李亚普诺夫”意义下的稳定性描述的是有界输入作用下有界输出的稳定性。()0(0)kx 若，由于扰动引起

4、的初始偏差 ；其输出及其终态满足： ，则系统在 “李亚普诺夫”意义下稳定。()0( )kxt二、系统稳定的充要条件 设线性定常系统的微分方程为：)().()()().(011011sXbsbsbsNsYasasainmnmnnnn考虑初始条件不为零时两边取拉氏变换：).()().()().()(011011011asasasNasasasXbsbsbsYnnnnnnnninmnm)()(.)()()()(.)()(01)1(101)1(1txbtxbtxbtxbtyatyatyatyamnmnnnnn)0()0()0()()()1(21nnnnnnffsfssFsdttfdL根据微分定理：于是

5、：当xi（t）=0时：).()()(011asasasNsYnnnnon初态响应分析法，脉冲响应分析法。00111asasasannnn其特征方程为：tAe对于特征方程的单实根-，相应瞬态输出为：当- 0时，该输出分量指数单调递增。当- = 0时，该输出分量为常数。当初态为0时：)().().()(011011sXasasabsbsbsYinnnnnmnmoi两式中分母都是微分方程所对应的特征方程：对于特征方程的一对单复根-+j，相应瞬态输出为：)sin()sincos(22tCBetCtBett其中， = arctgB/C。当- 0时，该分量为指数发散的振荡过程。当- = 0时，该分量为等幅

6、振荡。 事实上，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。 由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。 显然，稳定性与零点无关。 系统稳定的判别方法：1)特征方程根的分布；2)开环传递函数闭环系统的稳定性；三、劳斯（Routh）稳定判据 系统稳定的必要条件 优点：无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性。这是一种代数判据，依据根与系统的关系来判断根的分布。系统的特征方程为： 再将左边的式子展开得： 1110110112( )=0(

7、)()()nnnnnnnnnnnD sa sasa saaaasssaaaspspspn将上式各项同除a 并分解因式：121211,21()()()()()( 1)nnnnnniijijiijnniispspspsp sp p sp 由根与系数的关系可以求得：112212131312312421012()()()( 1) ()nnnnnnnnnnnnnnnapppaap pp pppaap p pp p ppppaap ppa 若使全部特征根pi若均具有负实部，则要求特征方程的各项系数ai(i = 0, 1, 2, , n)均大于零，即： 注意，该条件仅为系统稳定的必要条件。 ai0 (i =

8、 0, 1, 2, , n) 系统稳定的充要条件劳斯稳定判据 其中，ai0 (i=0,1,2,n)，即满足系统稳定的必要条件。 1110( )0nnnnD sa sasa sa考虑系统的特征方程：劳斯稳定判据的判别过程如下： q 列出劳斯阵列 12311nnnnnaaa aAa16731nnnnnaaa aAasnan an-2 an-4 an-6 sn-1an-1 an-3 an-5 an-7 sn-2A1A2A3A4 sn-3B1B2B3B4 s2D1D2s1E1s0F1131211nnAaaABA151321nnAaaABA171431nnAaaABA14321nnnnnaaa aAa5

9、在上述计算过程中，为了简化数学运算，可以用一个正整数去除或乘某一整行，这时并不改变系统稳定性的结论。 q 用劳斯判据判别系统稳定性考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数an、an-1、A1、B1、的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。 通常an 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。 q 例题设系统的特征方程为：05001004)(23ssssD应用劳斯稳定判据判别系统的稳定性。解：劳斯阵列如下：s31100s24500劳斯阵列第一列中元素符号改变了两次，

10、表明系统具有两个正实部的极点，故系统不稳定。事实上系统包含了三个极点0.406+j10.185、0.406-j10.185、 -4.812s1-25 0s05000 低阶系统的劳斯稳定判据 q 二阶系统0)(0122asasasD劳斯阵列为：s2a2a0s1a10s0a0a00，a10，a20 从而，二阶系统稳定的充要条件为：q 三阶系统0)(012233asasasasD从而，三阶系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数大于零，且：a1a2-a0a30 劳斯阵列为：s s3 3a a3 3a a1 1 s s2 2a a2 2a a0 0 s s1 1 0 0s s0 0 20312aaaa

11、as s0 0 a a0 0 0 0q 例题例1：系统方框图如下，试确定开环增益K为何值时，系统稳定。s1)5)(1(ssKXi(s)Xo(s)解：系统闭环传递函数为：KsssKKsssKs56)5)(1()(23由三阶系统的稳定条件，有：此系统为三阶系统，特征方程为：056)(23KssssD0560KK即：当0K0)作用下，稳态误差ess 0)时，系统各参数应满足的条件。解：系统必须稳定，稳态误差才有意义。系统的特征方程为：0)(21221321hKKKKssTTsTT稳定条件为：0, 021212121hhKKKKKKKKTTTT即：2121210TTTTKKKKh本系统为I型系统，在输

12、入xi(t) = a+bt 作用下的稳态误差为：120ssvhbbeKKK K K KbKaepssss1显然，稳态误差ess0，则LF顺时钟包围原点N次;2、令N=z-p0的情形，即由 00+ 变化时，G(j)H(j)以幅值顺时针旋转v90 。Nyquist 稳定判据：当上0到+时，若GH平面上的开环频率特性G(j)H(j)逆时针方向包围点(-1,j0)为P/2圈，P为G(s)H(s)在s右半平面的极点数，则闭环系统稳定。10mIeRT)(bGH00 0 010GHmIeRT)(cq 例题 例1：单位反馈系统的开环传递函数为)1()(TssKsG应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。解

13、：解：开环开环 NyquistNyquist曲线不包围曲线不包围 (-1,(-1,j j0 )0 )点，而点，而N N=0=0，因此，系统闭环稳定。，因此，系统闭环稳定。 =0=0 = = =0=0+ +0 0ReReImIm 例2：已知系统的开环传递函数为) 1)(1()()(21sTsTsKsHsG应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。解：)1)(1 ()(222212TTKA2121270)180(90)(arctgTarctgTarctgTarctgT 0+： A(0+)(0)270 ： A()0()270注意到： 212121270270270)(TTTTarctgTarctg

14、T即T1T2 时，Nyquist曲线位于第一象限。 解：)1)(1 ()(222212TTKA2121270)180(90)(arctgTarctgTarctgTarctgTT T1 1 T T2 2 =0=0 =0=0+ +0 0ReReImIm = = 由图可见，Nyquist曲线顺时针包围(-1,j0 )点半次，而N1，系统闭环不稳定。5、 Nyquist判据中“穿越”的概念q 穿越：指开环Nyquist曲线穿过 (-1,j0 ) 点左边实轴时的情况。q 正穿越：增大时，Nyquist曲线由上而下穿过-1- 段实轴（相位增加）。q 负穿越： 增大时，Nyquist曲线由下而上穿过-1-

15、段实轴（相位减少） 。负穿越相当于Nyquist曲线顺时钟包围(-1, j0 )点一圈。正穿越时，相角增加，相当于Nyquist曲线逆时钟包围(-1, j0 )点一圈。-1-1+ + +0 0ReReImIm = = =0=0 p p=2=2Nyquist稳定判据：当由0变化到时Nyquist曲线在(-1, j0 )点左边实轴上的正负穿越次数之差等于p/2时（ p 为系统开环右极点数），闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。易知，上图所示系统闭环稳定。若沿频率增加的方向，开环Nyquist轨迹自（1，j0)点以左的负实轴开始向下称为半次正穿越；反之，若沿频率增加的方向，开环轨迹自（1，j0)以左

16、的负实轴开始向上称为半次负穿越。6、 滞后系统的Nyquist稳定性分析考虑附加延迟环节的开环的系统sesGsG)()(0jejGjG)()(0)()()(0jGjGA)()()(0jGjG 可见延迟环节不改变原系统的幅频特性，仅对相频特性有影响。具体实例见P184。延迟环节不利于系统稳定四、Bode稳定判据 1、Nyquist图与Bode图的对应关系Bode稳定判据是Nyquist判据的引申,也是一种几何判据。（1）、Nyquist图上的单位园Bode图的0dB线（对数复频特性的横轴）。单位园之外对数复频特性0dB线之上。 Nyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的

17、频率，称为剪切频率或幅值穿越频率、幅值交界频率，记为c。()()180oG jHj Nyquist轨迹与负实轴交点的频率，即对数相频特性曲线与横轴交点的频率，称为相位穿越频率或相位交界频率，记为g。2、穿越的概念 在前面已讲过穿越、正穿越、负穿越。（2）、Nyquist图上的负实轴Bode图的-1800线，即对数相频特性的横轴。 对于Bode图，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，沿增加的方向，对数相频特性Bode曲线自下而上穿越-180o线为正穿越；反之，称为负穿越。 若对数相频特性曲线自-180o线开始向上，称为半次正穿越；反之，若对数相频特性曲线自-180o线开始向下，称为半次负穿越。

18、穿越的条件：cg3、Bode判据 设系统开环传递函数在s平面的右半平面的极点数为P，则对应的闭环系统稳定性判据是：在Bode图上，当由0变到+ 时，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，开环对数相频特性对-180o线正穿越的次数与负穿越的次数之差为P/2时，闭环系统稳定；否则，闭环系统不稳定。特别地：最小相位系统（开环稳定的系统），有P=0，这时： 若cg，闭环系统不稳定。 若c=g，闭环系统临界稳定。 若开环对数幅频特性对横轴有多个剪切频率，则取最大的那个来判定系统的稳定性。(见P186)-1,j0五、相对稳定性五、相对稳定性 幅值裕度1、幅值裕度和相位裕度：gg1(j )(j )KGH g

19、o(j)(j)180GH 开环幅相频率特性 （奈氏图）与负实轴相交时的幅值的倒数，用 表示。()()G jH jgK对于开环稳定系统（对于开环稳定系统（P=0P=0）：）： Kg1Kg1时闭环系统稳定；时闭环系统稳定；Kg=1Kg=1时闭环系统临界稳定；时闭环系统临界稳定；Kg1Kg0dB)0时闭环系统稳定；时闭环系统稳定；KgKg（dB)=0dB)=0时闭环系统临界稳定；时闭环系统临界稳定；KgKg（dB)0dB)0时系统不稳定。时系统不稳定。 对于开环稳定系统（对于开环稳定系统（P=0P=0）：）： )()(lg20ggjHjG2、相位裕度： 对于开环稳定系统：对于开环稳定系统： 对于开环

20、不稳定的系统不能用相位裕度和增益裕对于开环不稳定的系统不能用相位裕度和增益裕度来判断系统的稳定性。度来判断系统的稳定性。在工程上一般取相位裕度为在工程上一般取相位裕度为30-6030-60度，幅值裕度大于度，幅值裕度大于6dB6dB。oc180() cjj1GH ，相位裕量为正值，系统稳定；，相位裕量为正值，系统稳定； ，相位裕量为负值，系统不稳定。，相位裕量为负值，系统不稳定。 0 0 -1,j0 相位裕度 )(c如何求相位裕度和幅值裕度？1、代数方法。2、几何方法。例：设单位反馈系统开环传递函数为：例：设单位反馈系统开环传递函数为： 试确定相角裕度试确定相角裕度 时的时的 值。值。 解：解： 根据剪切频率的定义，有根据剪切频率的定义，有 相角裕度为相角裕度为本例中幅值裕度为无穷大。本例中幅值裕度为无穷大。1ImRe450jG21( )asG ss 45 21()( )( )()ajG jAj 0( )arctan180 2221( )A 422()11cccA 180()45c 421.19cc10.84ca 00045180180carctg1c 216 sssG 15 . 08 sssG 5 .arctan090jj125. 08jj2 HGHG 1125. 08jj2 ccccHG s/76rad. 3 c -152arctan1.88905 .