中南大学汤井田老师电磁法勘探——1-2 电磁法的数学物理基础

1、Copyrights Jingtian Tang,CSU电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用 电磁法的数学物理基础（电磁法的数学物理基础（） 中南大学地球科学与信息物理学院中南大学地球科学与信息物理学院20122012年年4 4月月电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU本章内容简介本章内容简介1.2 1.2 岩（矿）石的电磁性质岩（矿）石的电磁性质1.1 1.1 电磁场的基本方程与电磁勘探电磁场的基本方程与电磁勘探1.4 1.4 几种典型的电磁场源几种典型的电磁场源1.3 1.3 地球物理模型地球物理模型电磁法勘探及应用电

2、磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU本章内容简介本章内容简介1.11.1电磁场的基本方程与电磁勘探电磁场的基本方程与电磁勘探1.2 1.2 岩（矿）石的电磁性质岩（矿）石的电磁性质1.4 1.4 几种典型的电磁场源几种典型的电磁场源1.3 1.3 地球物理模型地球物理模型电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU1.2 岩矿石的电磁性质岩矿石的电磁性质岩矿石的岩矿石的电磁性质电磁性质电阻率电阻率介电常数介电常数导磁率导磁率极化率极化率压电性压电性 岩石的物理性质岩

3、石的物理性质密度密度弹性波速弹性波速热导率热导率放射性放射性电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU1.2.1 电阻率电阻率 岩（矿）石电性，是指其导电性和介电性。根据导岩（矿）石电性，是指其导电性和介电性。根据导电性和介电性所占的比例，物质大致分为良导体和绝缘电性和介电性所占的比例，物质大致分为良导体和绝缘体。电法勘探实际常遇到的地质体是介于二者之间的导体。电法勘探实际常遇到的地质体是介于二者之间的导电介质。岩石导电性以电介质。岩石导电性以电阻率电阻率来度量。来度量。 在电法勘探中习惯上把在电法勘探中习惯上把电阻率高于

4、围岩电阻率的电阻率高于围岩电阻率的地质体称为高阻体；反之，地质体称为高阻体；反之，称为低阻体。称为低阻体。电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU1.2.1 电阻率电阻率几种岩石电阻率的分布范围曲线 火成岩火成岩变质岩变质岩粘土粘土软页岩软页岩硬页岩硬页岩砂砂砂岩砂岩多孔石灰岩多孔石灰岩致密石灰岩致密石灰岩 1 10 102 103 104 105 106)(m电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU1.1.7 电阻率电阻率矿物成分：岩矿石中矿物成

5、分：岩矿石中良导体矿物的含量良导体矿物的含量岩、矿石的结构、构造岩、矿石的结构、构造岩、矿石中水溶液含岩、矿石中水溶液含量及其盐离子浓度量及其盐离子浓度温度温度影响岩石或矿石影响岩石或矿石电阻率的因素电阻率的因素压力压力孔隙度、裂隙度、通道孔隙度、裂隙度、通道岩（矿）石电阻率的变化范岩（矿）石电阻率的变化范围 很 宽 ， 从围 很 宽 ， 从 1 01 0- 8- 8 m m 到到10101414 m. m. 电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU1.2.2 介电常数介电常数 在外电场作用下，不导电的物体，即在外电场作

6、用下，不导电的物体，即电介质电介质，在紧靠，在紧靠带电体的一端会出现异号的过剩电荷，另一端则出现同号带电体的一端会出现异号的过剩电荷，另一端则出现同号的过剩电荷，这种现象称为电介质的的过剩电荷，这种现象称为电介质的极化极化。 如果将某一均匀的电介质作为电容器的介质而置于其如果将某一均匀的电介质作为电容器的介质而置于其两极之间，则由于电介质的极化，将使电容器的电容量比两极之间，则由于电介质的极化，将使电容器的电容量比真空为介质时的电容量增加若干倍。物体的这一性质称为真空为介质时的电容量增加若干倍。物体的这一性质称为介电性介电性，其使电容量增加的倍数即为该物体的，其使电容量增加的倍数即为该物体的介

7、电常数介电常数，用以表示物体介电性的大小。用以表示物体介电性的大小。 电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU 对于绝大多数的造岩矿物，包括硅质类，相对介电常对于绝大多数的造岩矿物，包括硅质类，相对介电常数数r=6r=68.8.较高的相对介电常数可达几十，属于这一级较高的相对介电常数可达几十，属于这一级次的矿化有硫化物，如黄铁矿、磁黄铁矿、辉钼矿、钛铁次的矿化有硫化物，如黄铁矿、磁黄铁矿、辉钼矿、钛铁矿、铬铁矿、金红石、锡石等。与此同时，一些硫化物，矿、铬铁矿、金红石、锡石等。与此同时，一些硫化物，如闪锌矿、辰砂、雄黄等

8、的介电常数不超过如闪锌矿、辰砂、雄黄等的介电常数不超过10.10.一些氧化一些氧化物，如玉髓、赤铜矿、尖晶石等也不超过物，如玉髓、赤铜矿、尖晶石等也不超过1010。水分子的张。水分子的张弛极化是形成介电极化的主要原因。弛极化是形成介电极化的主要原因。 1.2.2 介电常数介电常数在国际单位中，介电常数可表示为：在国际单位中，介电常数可表示为：0r r为相对介电常数。为相对介电常数。 为真空（或空气）的介电常数；为真空（或空气）的介电常数； 0电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU1.2.2 介电常数介电常数电磁法勘探及

9、应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU1.2.3 导磁率导磁率 在介质中，磁感应强度在介质中，磁感应强度B B与磁场强度与磁场强度H H的比值称为磁的比值称为磁导率导率。BH在国际单位制中，以符号在国际单位制中，以符号0 0表示真空和空气的磁导率，表示真空和空气的磁导率，并规定并规定0 0=4=410-7H/m10-7H/m。而其它介质的磁导率。而其它介质的磁导率与与0 0间的关系为间的关系为00(1)r 式中式中 称为该介质的相对磁导率，它表示该介质在外称为该介质的相对磁导率，它表示该介质在外磁场的作用下，分子电流定向排列后，使

10、得介质内的磁场的作用下，分子电流定向排列后，使得介质内的磁通量比在真空中增加的倍数，表示了介质导磁能力磁通量比在真空中增加的倍数，表示了介质导磁能力的大小；的大小；则称为磁化率。则称为磁化率。r电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU1.2.3 导磁率导磁率 根据根据 的大小，一般将介质分为顺磁质、逆磁质和的大小，一般将介质分为顺磁质、逆磁质和铁磁质三类。前两类的铁磁质三类。前两类的 为稍大或稍小于为稍大或稍小于1.001.00的正数，的正数，而铁磁质的而铁磁质的 则明显大于则明显大于1. 1. rrr 与其它物质一样，

11、矿物也可与其它物质一样，矿物也可以分为逆磁性、顺磁性和铁磁性以分为逆磁性、顺磁性和铁磁性三类。属于前两种的有硬石膏、三类。属于前两种的有硬石膏、石墨、白云石、方解石和石英，石墨、白云石、方解石和石英，这些矿物的这些矿物的 值为值为0.99990.99990.9980.998或或1.00011.00011.0021.002。铁磁性矿物有。铁磁性矿物有磁铁矿、磁黄铁矿、钛磁铁矿，磁铁矿、磁黄铁矿、钛磁铁矿，其其 值为值为2 22020。 rr虽然铜是很好虽然铜是很好的导体，但是铜的导体，但是铜是抗磁的物质。是抗磁的物质。也就是磁很难也就是磁很难通过铜来传导，通过铜来传导，对于磁场来讲，对于磁场来讲

12、，铜就是绝缘体。铜就是绝缘体。 电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU1.2.4 其它（极化率，压电等）其它（极化率，压电等） 在浸染型金属矿石或矿化岩石中，金属矿物颗粒散在浸染型金属矿石或矿化岩石中，金属矿物颗粒散布在整个体积中，每个金属颗粒都能发生布在整个体积中，每个金属颗粒都能发生激发极化效应激发极化效应。因而在外电场作用下，激发极化效应遍布整个矿体或矿因而在外电场作用下，激发极化效应遍布整个矿体或矿化体。这种作用称为体积极化。化体。这种作用称为体积极化。 反映体积极化作用强弱的无量纲参数是反映体积极化作用强弱的

13、无量纲参数是极化率极化率：设设E E1 1为没有激发极化效应时外加于矿体或岩石的一次电为没有激发极化效应时外加于矿体或岩石的一次电场，场，E E2 2为矿体或岩石在一次电场作用下产生的激发极化为矿体或岩石在一次电场作用下产生的激发极化场，则有：场，则有： 212/() 100%EEE 在充电和放电过程中在充电和放电过程中, ,由于电化学作用引起的随时由于电化学作用引起的随时间缓慢变化的附加电场现象间缓慢变化的附加电场现象, ,称为称为激发极化效应激发极化效应(IP(IP效效应应) ) 。电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,

14、CSU1.2.4 其它（极化率，压电等）其它（极化率，压电等） 压电性压电性是电介质在压力作用下发生极化而在两端表面是电介质在压力作用下发生极化而在两端表面间出现电位差的性质。间出现电位差的性质。18801880年法国人年法国人P.P.居里和居里和J.J.居里兄弟居里兄弟发现石英晶体受到压力时，它的某些表面上会产生电荷，发现石英晶体受到压力时，它的某些表面上会产生电荷，电荷量与压力成正比；称这种现象为电荷量与压力成正比；称这种现象为压电效应压电效应；具有压电；具有压电效应的物体称为效应的物体称为压电体压电体。居里兄弟还证实了压电体具有。居里兄弟还证实了压电体具有逆逆压电效应压电效应，即在外电场

15、作用下压电体会产生形变。压电晶，即在外电场作用下压电体会产生形变。压电晶体的对称性较低，当受外力作用产生形变时单胞中正负离体的对称性较低，当受外力作用产生形变时单胞中正负离子的相对位移使得正负电荷中心出现不相等的移动，导致子的相对位移使得正负电荷中心出现不相等的移动，导致晶体发生宏观极化；而晶体表面电荷密度等于极化强度在晶体发生宏观极化；而晶体表面电荷密度等于极化强度在表面法向上的投影，故晶体受压力形变时表面出现电荷。表面法向上的投影，故晶体受压力形变时表面出现电荷。 电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU本章内容简介

16、本章内容简介1.1 1.1 电磁场的基本方程与电磁勘探电磁场的基本方程与电磁勘探 1.3 1.3 地球物理模型地球物理模型1.4 1.4 几种典型的电磁场源几种典型的电磁场源1.2 1.2 岩（矿）石的电磁性质岩（矿）石的电磁性质电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU1.3.1 一维、二维与三维模型一维、二维与三维模型介质的物性是空间坐标的连续函数，有以下三种情况：介质的物性是空间坐标的连续函数，有以下三种情况： m=mm=m（z z），即介质的物性仅是一个空间坐标，比如说），即介质的物性仅是一个空间坐标，比如说深度深

17、度z z的函数，即一维模型；的函数，即一维模型； m=mm=m（x x，z z），即介质的物性是两个空间坐标），即介质的物性是两个空间坐标x x、z z的的函数，即二维模型。这时，我们常称水平方向函数，即二维模型。这时，我们常称水平方向y y为二为二维模型的走向，维模型的走向，x x为倾向。为倾向。 m=mm=m（x x、y y、z z），是三维介质。这时介质没有明显的），是三维介质。这时介质没有明显的走向。实际的地球物理模型都是三维的，只是在一定走向。实际的地球物理模型都是三维的，只是在一定近似条件下方可视为二维，甚至一维的。近似条件下方可视为二维，甚至一维的。 电磁法勘探及应用电磁法勘探及

18、应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU1.3.1 一维、二维与三维模型一维、二维与三维模型1_D model1_D model2_D model2_D model3_D model3_D model电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU1.3.2 边值问题与求解方法概述边值问题与求解方法概述 物理学中经常遇到边值问题，例如波动方程等。在物理学中经常遇到边值问题，例如波动方程等。在实际应用中，边值问题应当是适定的（即实际应用中，边值问题应当是适定的（即: :存在解，解存在解

19、，解唯一且解基于连续的初始值）。唯一且解基于连续的初始值）。 边值问题边值问题是微分方程问题的一个类型。在求解微分是微分方程问题的一个类型。在求解微分方程时，除了给出方程本身，往往还需要给出一定的定方程时，除了给出方程本身，往往还需要给出一定的定解条件。最常见的就是解条件。最常见的就是初值问题初值问题，即给出的定解条件为，即给出的定解条件为初始条件；但也有一些情况，定解条件要考虑所讨论区初始条件；但也有一些情况，定解条件要考虑所讨论区域的边界，例如在一个区间讨论时，定解条件在区间的域的边界，例如在一个区间讨论时，定解条件在区间的两个端点给出，这种定解条件就称为边界条件，相应的两个端点给出，这种

20、定解条件就称为边界条件，相应的定解问题就称为定解问题就称为边值问题边值问题。 电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU1.3.2 边值问题与求解方法概述边值问题与求解方法概述根据条件的形式，边值条件分以下三类：根据条件的形式，边值条件分以下三类：第一类第一类边值条件边值条件第二类第二类边值条件边值条件第三类第三类边值条件边值条件直接描述物理系统边界上的直接描述物理系统边界上的物理量，例如振动的弦两端物理量，例如振动的弦两端与平衡位置的距离与平衡位置的距离描述物理系统边界描述物理系统边界上物理量的导数的上物理量的导数的情况

21、，例如导热细情况，例如导热细杆端点的热流杆端点的热流物理系统边界上物理量与相关导数物理系统边界上物理量与相关导数的线性组合，例如，细杆端点的自的线性组合，例如，细杆端点的自由冷却，温度、热流均不确定，但由冷却，温度、热流均不确定，但是二者的关系确定，即可列出二者是二者的关系确定，即可列出二者线性组合而成的边值条件。线性组合而成的边值条件。电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU1.3.2 边值问题与求解方法概述边值问题与求解方法概述边值问题的解法：边值问题的解法：直接积分直接积分当场源与场域的形状比当场源与场域的形状比较

22、简单，位函数仅是一较简单，位函数仅是一个坐标的函数，所求解个坐标的函数，所求解的的泊松泊松方程和方程和拉普拉斯拉普拉斯方程为二阶的方程为二阶的常微分方常微分方程程，可采用直接积分的，可采用直接积分的方法求解。方法求解。分离变量法分离变量法镜像法镜像法当位函数是两个或三个坐标的函数，但当位函数是两个或三个坐标的函数，但场域的边界与所选择的场域的边界与所选择的坐标系坐标系中坐标面中坐标面相吻合时，常采用分离变量法。先将待相吻合时，常采用分离变量法。先将待求的位函数如分离成两个或三个各自仅求的位函数如分离成两个或三个各自仅含一个坐标的函数的乘积，组成把它代含一个坐标的函数的乘积，组成把它代入场方程，

23、借助入场方程，借助“分离分离常数常数”可得每一可得每一变量的常微分方程，并分别求得其通解，变量的常微分方程，并分别求得其通解，然后组合成然后组合成偏微分方程偏微分方程的通解，再由边的通解，再由边界条件决定分离常数与积分常数，得到界条件决定分离常数与积分常数，得到位函数的解。位函数的解。是边值问题中一种间接求解法，其理论是边值问题中一种间接求解法，其理论依据是场的惟一性定理。镜像法的基本依据是场的惟一性定理。镜像法的基本原理是在求解的场域之外用虚设的镜像原理是在求解的场域之外用虚设的镜像电荷电荷或镜像电流等效替代边界上复杂分或镜像电流等效替代边界上复杂分布的感应电荷、极化电荷或磁化电流等，布的感

24、应电荷、极化电荷或磁化电流等，只要求解区在等效前后满足同一边值问只要求解区在等效前后满足同一边值问题，则其解答是惟一的。应用镜像法的题，则其解答是惟一的。应用镜像法的关键是找到镜像电荷或电流的位置与大关键是找到镜像电荷或电流的位置与大小。小。电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU1.3.3 数值模拟与物理模拟数值模拟与物理模拟 数值模拟也叫计算机模数值模拟也叫计算机模拟。它以电子计算机为手段，拟。它以电子计算机为手段，通过数值计算和图像显示的通过数值计算和图像显示的方法，达到对工程问题和物方法，达到对工程问题和物理问题

25、乃至自然界各类问题理问题乃至自然界各类问题研究的目的。研究的目的。 数值模拟数值模拟-1000-800-600-400-20002004006008001000 x/m-1400-1200-1000-800-600-400-200h/m050100150200250300350400450500550600650700750800850电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU物理模拟是通过实验室物理实验模拟真实物理过程的方物理模拟是通过实验室物理实验模拟真实物理过程的方法。将实际地形物理的缩小模型置于实验体（如风洞、水法

26、。将实际地形物理的缩小模型置于实验体（如风洞、水槽等）内，在满足基本相似条件（包括几何、运动、热力、槽等）内，在满足基本相似条件（包括几何、运动、热力、动力和边界条件相似）的基础上，模拟真实过程的主要特动力和边界条件相似）的基础上，模拟真实过程的主要特征。由于所有相似条件不可能完全满足，针对具体要求恰征。由于所有相似条件不可能完全满足，针对具体要求恰当选取相似参数是实现物理模拟的关键。当选取相似参数是实现物理模拟的关键。 物理模拟物理模拟电磁法勘探及应用电磁法勘探及应用/ / 2022-6-30Copyrights Jingtian Tang,CSU求解电磁场分布规律求解电磁场分布规律的方法有的方法有解析法解析法、数值数值模拟法模拟法和和物理模拟法物理模拟法。1.3.3 数值模拟与物理模拟数值模拟与物理模拟虽然解析法精度高，但仅对少数规则形体的地磁场分布虽然解析法精度高，但仅对少数规则形体的地磁场分布问题才可以求解。目前，随着电子计算机的迅速发展和问题才可以求解。目前，随着电子计算机的迅速发展和普及，求解复杂条件下电磁场分布规律的数值方法已成普及，求解复杂条件下电磁场分布规律的数值方法已成为主要手段，并有了较大进展。另外，也不能忽视物理为主要手段，并有了较大进展。另外，也不能忽视物理模拟方法，因为实验得到的真实结果可以对解析法或数模拟方法，因为实验得到的真实结果可以对解析法或数