D2-1导数概念

1、第二章微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton目录 上页 下页 返回 结束 一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数第一节第一节导数的概念导数的概念 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 引例引例1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则

2、 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动( )sf t0tt00( )( )f tf tvt t000( )( )limttf tf tvt t0t( )f t0( )f tsOt0t212sgt目录 上页 下页 返回 结束 2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线NT0 xM在 M 点处的切线x割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率xyCO:( )C yf x( )yf xtanlimtank00( )( )tanf xf xxx000( )( )limxxf xf xkxx目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率

3、所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题NT0 xMxxy)(xfy COsO0t)(0tf)(tft000( )( )limttf tf tvt t000( )( )limxxf xf xkxx目录 上页 下页 返回 结束 二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义 , 在点处可导可导, 在点的导数导数. 0000( )( )limlim xxxf xf xy

4、xxx( )yf x0 x( )f x0 x0 x( )yf x0( )( ) yf xf x0 xxx0( ); f x0;x xy0;x xdydx0( );x xdf xdx000( )limx xxxyyf xx000000()( )()( )limlimxxhf xxf xf xhf xxh目录 上页 下页 返回 结束 运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率NT0 xMxxy)(xfy CO000( )( )limttf tf tvt t000( )( )limxxf xf xkxx:( )C yf x0t( )sf t0( ) f x0( )f t( )f

5、t0ttOs0( ) f t目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 导数的几何意义导数的几何意义曲线在点的切线斜率为曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:xyO)(xfy CT0 xM( )yf x00( ,)x y00( ,)x y0( ),时f x000( )()yyf xxx0001()( )yyxxf x0( )0 )时f x0tan( ) f x水平切线，铅直切线目录 上页 下页 返回 结束 xyO1111例例7. 问曲线哪一点有铅直切线 ? 哪一点处的切线与直线平行 ? 写出其切线方程.解解:令得对应则在点(1,1) , (1,1) 处与直线平行的切线方程分别为即故在原点

6、 (0 , 0) 有铅直切线3yx113yx2333211()33yxxx0 xy0 x321133x1x1y113yx11(1),3yx11(1),3yx320 xy目录 上页 下页 返回 结束 不存在, 就说函数在点 不可导. 若也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意注意:就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 .若极限0000( )( )limlim xxxf xf xyxxx0( )( ) yf xf x0 xxx0lim xyx0 x0 x( )f x; y( ); f x;dydx( );df xdx0( ) f x0( )x xf

7、x0( );df xdx目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求函数(C 为常数) 的导数. 解解:即例例2. 求函数解解:( )f xC00()( )limlim0 xxf xxf xC Cyxx( )0C( )()nf xx nN在处的导数.xa00( )( )( )limlim nnxxf xf axaf ax ax a121lim()nnnxaxaxa1nna目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：对一般幂函数( 为常数) 例如，例如，（以后将证明）yx1()xx()x1( )x1()x x112211=() =22xxx12=() = xx37443=() =4 xx目录 上页

8、下页 返回 结束 例例3. 求函数的导数. 解解:则即类似可证得( )sinf xx令，hx00()( )sin() sin( )( )limlimhhf x hf xx hxf xhh02cos()sin22limhhhxh0sin2lim cos()22hhhxhcosx(sin )cosxx(cos )sinxx目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求函数的导数. 解解: 即( )lnf xx00()( )ln() ln( )( )limlimhhf x hf xx hxf xhh01lim ln(1)hhhx10limln(1) xhxhhx0111limln(1)lnxhhhexx

9、xx1(ln )xx目录 上页 下页 返回 结束 则令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:例例5. 证明函数在 x = 0 不可导. 证证:不存在 , 例例6. 设存在, 求极限解解: 原式( ) | |f xx(0)(0)| |fhfhhh1,01,0hh0(0)(0)limhfhfh( ) | |f xx在 x = 0 不可导. 0( ) f x000()()lim2hf xhf xhh00000()( )()( )lim 22( ) hf x hf xf x hf xhh00011( )( )( )22f xf xf x00

10、0()()lim2hf xhf xhh目录 上页 下页 返回 结束 四、四、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.证证: 设在点 x 处可导,存在 , 因此必有其中故所以函数注意注意: 函数在点 x 连续，但在该点连续，但在该点未必可导未必可导.反例反例:xy 在 x = 0 处连续 , 但不可导.即xyO( )在点 处可导f xx( )在点 处连续f xx( )yf x0lim= ( ) xyfxx= ( ),yfxx0lim=0 x= ( ) y fxxx0 x( )在点 处连续f xx=0| |yx目录 上页 下页 返回 结束 在点的某个右右 邻域内五、五、

11、单侧导数单侧导数若极限则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作即(左)(左左)0 x例如例如,在 x = 0 处有定义定义2 . 设函数有定义,存在,xyOxy ( )yf x0 x00000000(0 )(0 )()( )()()()limlimlim xxxxxxxxf xf xf xxf xyxxxx( )f x0 x0( ) f x(0) 1,(0)1;ff0(); fx0000()( )( )lim xf xxf xf xx( )f xx目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 函数在点且存在简写为可导的充分必要条件是( )yf x0 x00( )( )与存在，f xf x00(

12、 )= ( ).f xf x00( )= ( ).f xf x0( ) f x目录 上页 下页 返回 结束 在点处右右 导数存在定理定理3. 函数在点必 右右 连续.(左左)(左左)若函数都存在 , 则称显然:在闭区间 a , b 上可导在开区间 ( a , b )内可导,在闭区间 a , b 上可导.且( )f x0 x( )f x0 x( )f x( )( ).与f af b( )f x( )f x( ) , f xC a b目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连

13、续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等. )(C )(x )(sinx )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(lnx;0;1x;cos x;sin xx1增量比的极限;切线的斜率;目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别:)(xf 是函数 ,)(0 xf 是数值;联系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数目录 上页 下页 返回 结束 2. 设)(0 xf 存在 , 则._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0

14、(,0)0(0kff则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 若),(x时, 恒有,)(2xxf问)(xf是否在0 x可导?解解:由题设0)0(f0)0()(xfxfx0由夹逼准则0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可导, 且0)0( f目录 上页 下页 返回 结束 5. 设0,0,sin)(xxaxxxf, 问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解: 显然该函数在 x = 0 连续 .)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a时,1)0( f此时)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x

15、目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P86 2 , 5 , 6, 7, 11, 16(2) , 18 , 20 第二节 牛顿牛顿(1642 1727)伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文学家和自然科学家. 他在数学上的卓越贡献是创立了微积分. 1665年他提出正流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版). 他还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .莱布尼茨莱布尼茨 (1646 1716)德国数学家, 哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人 , 他在学艺杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 .目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 解解: 因为1. 设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1