隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换PPT课件

1、隐函数组概念隐函数组概念隐函数组定理隐函数组定理反函数组与坐标变换反函数组与坐标变换第1页/共27页一、隐函数组概念隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 0),(0),(vuyxGvuyxF ),(),(yxvvyxuu以两个方程确定两个隐函数的情况为例以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,例如例如, 方程组方程组 10 xvyuyvxu 2222yxxvyxyu第2页/共27页为为定定义义在在区区域域设设0),(, 0),( vuyxGvuyxFDDRV，对于，对于平面区域平面区域上的四元函数，若存在上的四元函数，若存在4 上上唯唯一一的的一一对对值

2、值和和分分别别存存在在区区间间中中每每一一点点KJyx),(一一起起满满足足方方程程组组，它它们们与与，yxKvJu, )1(0),(0),( vuyxGvuyxF上上，值值域域分分别别落落在在）确确定定的的两两个个定定义义在在则则称称由由方方程程组组（D1称称这这两两个个函函数数为为由由内内的的函函数数和和，yxgvyxfuKJ),(),( .1 ）所所确确定定的的隐隐函函数数组组方方程程组组（隐函数组在隐函数组在 D 上成立恒等式：上成立恒等式： 0),(),(,(0),(),(,(yxgyxfyxGyxgyxfyxF第3页/共27页设设（隐隐函函数数组组定定理理）定定理理4 .18二、隐

3、函数组定理隐函数组定理),(),(),() i (00000vuyxPvuyxGvuyxF满足在以满足在以与与上连续；上连续；为内点的区域为内点的区域4RV ; 0),(, 0),(ii)(00000000 vuyxGvuyxF;,)iii(存存在在一一阶阶连连续续的的偏偏导导数数内内在在GFV0),(),()iv(0 PvuGFJvuvuGGFFvuGFJ ),(),(其中其中称为称为F、G 的的雅可比雅可比( Jacobi )行列式行列式.第4页/共27页唯一唯一内，方程组内，方程组的某邻域的某邻域则在点则在点)1()(00PUP),(),(1000000oyxgvyxfu ，的某一邻域的

4、某一邻域地一确定一个定义在点地一确定一个定义在点),(000yxQ),(),()(0yxgvyxfuQU ，内的两个隐函数内的两个隐函数)(),(),(,(0PUyxgyxfyx ，且且0),(),(,( yxgyxfyxF0),(),(,( yxgyxfyxG;)(),(),(20o内内连连续续在在QUyxgyxf:)(),(),(30o内内有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数在在QUyxgyxf时，时，当当)(),(0QUyx 使使得得第5页/共27页),(),(1vyGFJyu ),(),(1vxGFJxu ),(),(1xuGFJxv ),(),(1yuGFJyv 第6页/共27页例.

5、 设 ,1,0 vxuyvyux.,yvxvyuxu 解解: xyyxJ Jxu1 方程组两边对方程组两边对 x 求导，并移项得求导，并移项得 求求vxvxxuy xvyu 22yxvyux vyux Jxv1 22yxuyvx x022 yx由题设由题设故有故有xu uxvy y xxu u y xxv 0 v0 xv xu第7页/共27页22yxvxuyyu 类似地可计算类似地可计算: yvyu ,22yxvyuxyv 答案答案:第8页/共27页),(yxuu 设函数组设函数组),(yxvv 是定义在是定义在 x y 平面点集平面点集 B 上的两个上的两个函数，其值域为函数，其值域为B 若

6、对每一点若对每一点BvuQ ),(都有唯一确定的点都有唯一确定的点ByxP ),(与与 u , v 一起满足一起满足方程组，由此产生方程组，由此产生B 上的一个函数组：上的一个函数组：),(vuxx ),(vuyy 称方程组为方程组的反函数组称方程组为方程组的反函数组. ),(),(vuyvuxuu ),(),(vuyvuxvv 它们满足：它们满足：定义在定义在第9页/共27页反函数组的存在性问题，是隐函数组存在性反函数组的存在性问题，是隐函数组存在性 , 0),(),(, 0),(),(yxvvvuyxGyxuuvuyxF反函数组的存在性问题，是隐函数组存在性反函数组的存在性问题，是隐函数组

7、存在性应用定理应用定理 18.4 ，可得下述定理：，可得下述定理：问题的一种特殊情形，将方程组改写成问题的一种特殊情形，将方程组改写成反函数组的存在性反函数组的存在性第10页/共27页设设（反反函函数数组组定定理理）定定理理5 .18Dyxvvyxuu域域及及其其一一阶阶偏偏导导数数在在某某区区与与),(),( 的内点，且的内点，且是是上连续，点上连续，点DyxP),(000),(),(000000yxvvyxuu 内存在唯一的一组内存在唯一的一组的某一邻域的某一邻域则在点则在点)(),(0000PUvuP ，使使得得与与反反函函数数),(),(vuyyvuxx , 0),(),(0 PvuG

8、F时时，且且当当，)(),(),(),(0000000PUvuvuyyvuxx 以以及及恒恒等等式式有有)(),(),(0PUvuyvux 此此外外，).,(),(),(),(vuyvuxvvvuyvuxuu 数数，内内存存在在一一阶阶连连续续的的偏偏导导反反函函数数组组在在)(0PU 第11页/共27页,),(),(yxvuyvux ,),(),(yxvuxvuy ),(),(yxvuyuvx ),(),(yxvuxuvy 第12页/共27页例2: 直角坐标与极坐标之间的坐标变换公式为 sin,cosryrx ),(),( ryxJ所以，除原点外所以，除原点外由于由于 cossinsinco

9、srr r 0),(),( ryxJ从而，除原点外，在一切点上由函数组：从而，除原点外，在一切点上由函数组： sin,cosryrx 可确定一反函数组：可确定一反函数组：22yxr 0arctan0arctanxxxyxy 第13页/共27页例3: 直角坐标与球坐标之间的坐标变换公式为 cossinsincossinrzryrx ),(),( rzyxJ由于由于0sincoscossinsincossinsinsinsincoscoscossin rrrrr sin2r 第14页/共27页所以，在所以，在, 0sin2 r即除去即除去 z 轴上的一切点，轴上的一切点， cossinsincos

10、sinrzryrx方程组方程组可确定一反函数组：可确定一反函数组：,222zyxr ,arctanxy ,arccosrz 第15页/共27页例. 设函数 在点(u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 证明函数组),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一邻域内. ),(, ),(yxvvyxuu2) 求),(, ),(yxvvyxuu解解: 1) 令0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG对 x , y 的偏导数.在与点 (u, v) 对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数第16页/共

11、27页),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式两边对 x 求导, 得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy则有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理 3 可知结论 1) 成立.2) 求反函数的偏导数. 第17页/共27页, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得,1vxJyuuxJyv1第18页/共27页, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得,1vxJyuuxJyv1第19页/共27页例: 计算极坐标变换

12、sin,cosryrx的反变换的导数的反变换的导数 .),(),(ryxJxrx同样有22yxyyr22yxxy所以由于cos1rrsin1rcossinsincosrrryJ1cos22yxxryJ 122yxy第20页/共27页内容小结1. 隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式思考与练习思考与练习设, ),(zyxzyxfz求.,yxzxxz第21页/共27页zx 提示:),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f y

13、xzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf第22页/共27页),(zyxzyxfz解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数. ,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx由d y, d z 的系数即可得第23页/共27页)()(xzzxyy及,2 yxeyx备用题备用题 .ddxu求分别由下列两式确定 :又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数 ,1. 设解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx(2001考研)解得因此第24页/共27页 zxFyFy0zFz fx)1 (y2. 设)(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所确定的函数 , 求.ddxz解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得