弹性力学圣维南边界条件1

1、q 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题q 平面问题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程q 平面问题中的一点应力状态分析平面问题中的一点应力状态分析q 平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的几何方程与刚体位移q 平面问题的物理方程平面问题的物理方程q 平面问题的边界条件平面问题的边界条件 q 圣维南原理及应用圣维南原理及应用q 按位移法求解平面问题按位移法求解平面问题q 按应力求解平面问题及相容方程按应力求解平面问题及相容方程q 常体力情况下的简化与应力函数常体力情况下的简化与应力函数平面问题平面问题主要内容主要内容2.7 圣维南原理及应用圣维南原理及应用弹性力学问题的求解是在

2、给定的边界条件下求解三套基弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解三套基本方程。弹性力学的解必然要求物体表面的外力或者位移本方程。弹性力学的解必然要求物体表面的外力或者位移满足边界条件。满足边界条件。对于工程实际问题，构件表面面力或者位对于工程实际问题，构件表面面力或者位移是很难完全满足这个要求。这使得弹性力学解的应用将移是很难完全满足这个要求。这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制。为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽受到极大的限制。为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提出了局部影响原理。这种限制，圣维南提出了局部影响原理。 圣维南原理主要内容：圣维南原理主要内容：如果把物体如

3、果把物体表面一小部分边界上表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。其影响可以忽略不计。圣维南原理及应用圣维南原理及应用1 1、变换的外力必须与原外力是静力等效的：、变换的外力必须与原外力是静力等效的：主失量相主失量相同，对同一点的主矩也相同同，对同一点的主矩也相同2 2、只能在局部边界上（小边界）进行

4、静力等效变换。、只能在局部边界上（小边界）进行静力等效变换。3 3、根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效、根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力的力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力的作用区域附近。离此区域较远处，几乎不受影响。作用区域附近。离此区域较远处，几乎不受影响。应用圣维南原理时必须注意：应用圣维南原理时必须注意：圣维南原理及应用圣维南原理及应用例例2.7.1：用一个钳子夹住铁杆，钳子对铁杆的作用相当于用一个钳子夹住铁杆，钳子对铁杆的作用相当于一组平衡力系。实验证明，无论作用力多大，在距离力的作用一组平衡力系。实验证明，

5、无论作用力多大，在距离力的作用区域比较远处，几乎没有应力产生。区域比较远处，几乎没有应力产生。圣维南原理及应用圣维南原理及应用例例2.7.2：以矩形薄板受单向拉伸力作用为例分析以矩形薄板受单向拉伸力作用为例分析圣维南原理及应用圣维南原理及应用通过圣维南原理的使用，可以将一些难以处理的边界条通过圣维南原理的使用，可以将一些难以处理的边界条件转化为基本方程所能够满足的边界条件，使得弹性力学件转化为基本方程所能够满足的边界条件，使得弹性力学问题得到解答。问题得到解答。圣维南原理的推广：圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩都等于零），那

6、么，这个是一个平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。计。这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。圣维南原理及应用圣维南原理及应用下面讨论在局部边界上具体如何应用圣维南原理下面讨论在局部边界上具体如何应用圣维南原理如图所示，单位厚度的梁，其左右两端作用有一般分如图所示，单位厚度的梁，其左右两端作用有一般分布的面力。试分析其边界条件。布的面力。试分析其边界

7、条件。圣维南原理及应用圣维南原理及应用按照严格的应力边界条件（按照严格的应力边界条件（2-152-15）式，应力分量在左右）式，应力分量在左右边界上应满足条件：边界上应满足条件：)()(),()(yfyfylxxyxlxx它要求在边界上不同点（所有它要求在边界上不同点（所有y y值处），应力分量必须处值处），应力分量必须处处与面力分量对等。这种严格的边界条件是较难满足的。处与面力分量对等。这种严格的边界条件是较难满足的。但是当但是当lh时，左右两端边界是小边界，这时可应用圣维时，左右两端边界是小边界，这时可应用圣维南原理，用如下静力等效条件来代替上述条件：南原理，用如下静力等效条件来代替上述条

8、件：在这一局在这一局部边界上，使应力的主失量和主矩分别等于对应的面力的部边界上，使应力的主失量和主矩分别等于对应的面力的主失量和主矩。主失量和主矩。（绝对值相等，方向相同）（绝对值相等，方向相同）圣维南原理及应用圣维南原理及应用应用圣维南原理后的积分边界条件具体表达式为：应用圣维南原理后的积分边界条件具体表达式为：2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/1)(1)(1)(1)(1)(1)(hhyhhlxxyhhxhhlxxhhxhhlxxdyyfdyydyyfydydyyfdy上式表明：上式表明： （1 1）等式左右两边的数值是相等的、方向是一致的。）等式左右两边的数值是相等的、方向是

9、一致的。 （2 2）等式左边的符号可以按照应力的符号规定来确定：）等式左边的符号可以按照应力的符号规定来确定：应力的正方向就是应力失量的正方向；正的应力乘以正的应力的正方向就是应力失量的正方向；正的应力乘以正的矩臂就是应力主矩的正方向。矩臂就是应力主矩的正方向。圣维南原理及应用圣维南原理及应用如果给出的不是面力的分布，而是单位宽度上面力的主如果给出的不是面力的分布，而是单位宽度上面力的主失量和主矩，则具体表达式为：失量和主矩，则具体表达式为：shhlxxyhhlxxNhhlxxFdyMydyFdy2/2/2/2/2/2/1)(1)(1)(圣维南原理及应用圣维南原理及应用将小边界上的精确边界条件

10、将小边界上的精确边界条件(2-15)(2-15)与近似的积分边与近似的积分边界条件进行比较，可以得出：界条件进行比较，可以得出：1 1、式（式（2-152-15）等号两边均是单位面积上的力，而积分）等号两边均是单位面积上的力，而积分边界条件两边是力或力矩；边界条件两边是力或力矩；2 2、式（式（2-152-15）是精确的，而积分边界条件是近似的；）是精确的，而积分边界条件是近似的；3 3、式（式（2-152-15）有两个条件，一般为两个函数方程，而）有两个条件，一般为两个函数方程，而积分边界条件有三个积分条件，均为代数方程。积分边界条件有三个积分条件，均为代数方程。4 4、在求解时，式（在求解

11、时，式（2-152-15）难以满足，而积分边界条件）难以满足，而积分边界条件易于满足。当小边界上的条件难于满足时，便可以用积分易于满足。当小边界上的条件难于满足时，便可以用积分积分边界条件来代替。积分边界条件来代替。平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件处理方法处理方法平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件1 1、主要边界上的精确应力边界条件、主要边界上的精确应力边界条件 在主要边界上，若给定了部分边界上面力分量，在主要边界上，若给定了部分边界上面力分量，则边界上每一点的应力与面力的关系式：则边界上每一点的应力与面力的关系式：)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx平面

12、问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件对于上述应力边界条件，应注意以下几点：对于上述应力边界条件，应注意以下几点：1、表示表示主要边界上主要边界上任一点的应力和面力之间的关系，任一点的应力和面力之间的关系， 是函数方程，在边界上每一点都应满足（要将边界面是函数方程，在边界上每一点都应满足（要将边界面方程代入式中各项）；方程代入式中各项）；2、式中的面力和应力分别应用各自的正负号规定，外式中的面力和应力分别应用各自的正负号规定，外法线方向余弦法线方向余弦l 和和 m 则按三角公式确定正负号。则按三角公式确定正负号。3、对于边界面为坐标面的情形，上式可进行简化。对于边界面为坐标面的情形，上式可进

13、行简化。)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件2 2、次要边界上的积分边界条件（静力等效变换）、次要边界上的积分边界条件（静力等效变换） 对于次要边界，精确的边界条件较难满足。对于次要边界，精确的边界条件较难满足。这时可应用这时可应用圣维南原理，用如下静力等效条件来代替精确的应力边界圣维南原理，用如下静力等效条件来代替精确的应力边界条件：条件：在这一局部边界上，使应力的主失量和主矩分别等在这一局部边界上，使应力的主失量和主矩分别等于对应的面力的主失量和主矩。于对应的面力的主失量和主矩。平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件具体解题

14、时，建立具体解题时，建立次要边界上的积分边界条件次要边界上的积分边界条件的方法有三种：的方法有三种：方法一：方法一：1、在次要边界上应力的主失量和主矩的数值应当等、在次要边界上应力的主失量和主矩的数值应当等于相应面力的主失量和主矩的数值（绝对值）于相应面力的主失量和主矩的数值（绝对值） 。 2、面力的主失量和主矩的方向就是应力的主失量和、面力的主失量和主矩的方向就是应力的主失量和主矩的方向。主矩的方向。例题例题习题习题28第二部分：第二部分：列出图列出图2-14所示问题的边界条件（所示问题的边界条件（固定边不写）。固定边不写）。0)(,)(:2)(, 0)(:222122hyxyhyyhyxy

15、hyyqhyqhy上下边界：上下边界：左边界：左边界：ShhxyhhxxyhhxxhhxxNhhxxhhxxFdyfydMydyfydyFdyfdy220220220220220220)()()()()()(例题例题例：例：如图所示，列出其边界条件（固定边不写）。如图所示，列出其边界条件（固定边不写）。qbxgyxbxxybxxxxyxx)(, 0)(:0)(,)(:000左右边界：左右边界：上边界：上边界：2)(43)(23)(000000FxdFbxdxFdxbyxybyybyy平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件方法二：方法二： 1、在坐标系的第一象限取微分单元体，根据、在坐标系

16、的第一象限取微分单元体，根据应力正负号约定标出单元体各侧面上应力正负号约定标出单元体各侧面上正的应力正的应力（按正面正向，负面负向）；按正面正向，负面负向）； 2、建立次要边界积分边界条件时，应当使与、建立次要边界积分边界条件时，应当使与边界面对应微分单元体侧面上的应力合成的主失边界面对应微分单元体侧面上的应力合成的主失（主矩）绝对值与面力主失（主矩）绝对值相等（主矩）绝对值与面力主失（主矩）绝对值相等，并且应力分量与面力分量方向一致时取正号，并且应力分量与面力分量方向一致时取正号，方向相反时取负号。方向相反时取负号。平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件如图所示，单位厚度的梁，其左右两

17、端作用有一般分布的如图所示，单位厚度的梁，其左右两端作用有一般分布的面力。分析其边界条件。面力。分析其边界条件。2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/11)(11)(11)(hhyhhlxxyhhxhhlxxhhxhhlxxdyfdyydyfydydyfdyshhlxxyhhlxxNhhlxxFdyMydyFdy2/2/2/2/2/2/1)(1)(1)(例题例题例：例：如图所示，列出其边界条件（固定边不写）。如图所示，列出其边界条件（固定边不写）。qbxgyxbxxybxxxxyxx)(, 0)(:0)(,)(:000左右边界：左右边界：上边界：上边界：2)(43)(23)(0000

18、00FxdFbxdxFdxbyxybyybyy平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件方法三：方法三：1、沿次要边界面取出一个薄片（无厚度）为、沿次要边界面取出一个薄片（无厚度）为脱离体，脱离体，在薄片内侧面标出正的应力（按正在薄片内侧面标出正的应力（按正面正向，负面负向）；面正向，负面负向）；2、建立薄片脱离体的平衡条件（力系和力矩、建立薄片脱离体的平衡条件（力系和力矩的平衡），即可得到积分边界条件：的平衡），即可得到积分边界条件：000oyxMFF例题例题例：例：如图所示，列出其边界条件（固定边不写）。如图所示，列出其边界条件（固定边不写）。qbxgyxbxxybxxxxyxx)(,

19、0)(:0)(,)(:000左右边界：左右边界：上边界：上边界：2)(043)(023)(0000000FxdFFbxdxMFdxFbyxyxbyyobyyy课后作业课后作业作业：作业：1 1、习题、习题2 28 8第一部分：列出图第一部分：列出图2 21313所示问题的全部边界条件。所示问题的全部边界条件。2 2、习题、习题2 29 9。q 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题q 平面问题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程q 平面问题中的一点应力状态分析平面问题中的一点应力状态分析q 平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的几何方程与刚体位移q 平面问题的物理方程平面问题的物

20、理方程q 平面问题的边界条件平面问题的边界条件 q 圣维南原理及应用圣维南原理及应用q 按位移法求解平面问题按位移法求解平面问题q 按应力求解平面问题及相容方程按应力求解平面问题及相容方程q 常体力情况下的简化与应力函数常体力情况下的简化与应力函数主要内容主要内容2.8 平面问题的求解方法平面问题的求解方法-位移法位移法平衡微分方程：平衡微分方程：2 2个，两类问题完全相同个，两类问题完全相同几何方程：几何方程：3 3个，两类问题完全相同个，两类问题完全相同物理方程：物理方程：3 3个，两类问题不同，只需对系数作替换个，两类问题不同，只需对系数作替换未知函数未知函数：3 3个应力分量、个应力分

21、量、3 3个应变分量、个应变分量、2 2个位移分量个位移分量 边界条件边界条件：8 8个方程是弹性体内部必须满足的条件，而个方程是弹性体内部必须满足的条件，而在边界上则必须满足边界条件（应力、位移、混合）在边界上则必须满足边界条件（应力、位移、混合）平面问题的基本方程与未知数平面问题的基本方程与未知数平面问题的求解方法平面问题的求解方法按位移求解：按位移求解：以以 2 2 个位移分量为基本未知函数，从基本方个位移分量为基本未知函数，从基本方程和边界条件中消去应力分量和应变分量，导出只含位移分量程和边界条件中消去应力分量和应变分量，导出只含位移分量的基本方程和边界条件，由此解出位移分量，然后根据

22、几何方的基本方程和边界条件，由此解出位移分量，然后根据几何方程和物理方程求应变分量和应力分量。程和物理方程求应变分量和应力分量。按应力求解：按应力求解：以以 3 3 个应力分量为基本未知函数，从基本方个应力分量为基本未知函数，从基本方程和边界条件中消去位移分量和应变分量，导出只含应力分量程和边界条件中消去位移分量和应变分量，导出只含应力分量的基本方程和边界条件，由此解出应力分量，然后根据物理方的基本方程和边界条件，由此解出应力分量，然后根据物理方程和几何方程求应变分量和位移分量。程和几何方程求应变分量和位移分量。求解方法：求解方法：未知函数及方程较多，难于求解，通常采用消未知函数及方程较多，难

23、于求解，通常采用消元法。又可分为：按位移求解和按应力求解。元法。又可分为：按位移求解和按应力求解。按位移求解平面问题具体过程按位移求解平面问题具体过程按位移求解：按位移求解：以以 2 个位移分量个位移分量 u 和和 v 为基本未知函数。为了消元为基本未知函数。为了消元，其它，其它 6 个未知函数须用个未知函数须用 u 和和 v 表示；表示；1 1、将应变分量用、将应变分量用 u 和和 v 表示表示，直接采用几何方程：，直接采用几何方程：2 2、为了将应力分量用、为了将应力分量用 u 和和 v 表示表示，将几何方程代入用应变表示的，将几何方程代入用应变表示的物理方程（以平面应力问题为例）：物理方

24、程（以平面应力问题为例）：xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(1xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(122式式(2-17)yuxvyvxuxyyx,式式(2-8)按位移求解平面问题按位移求解平面问题3 3、推导求位移分量的方程。将公式（、推导求位移分量的方程。将公式（2-172-17）代入平衡微分方程，）代入平衡微分方程，得到用得到用 u 和和 v 表示的平衡微分表示的平衡微分方程，即为求解位移的基本方程：方程，即为求解位移的基本方程：4 4、推导用位移表示的边界条件。将公式（、推导用位移表示的边界条件。将公式（2-172-17）代入应力边界条）代入应力边界条件，得到用件，得到

25、用 u 和和 v 表示的表示的应力边界条件：应力边界条件：式式(2-18)00yxyyxyxxfxyfyx式式(2-17)式式(2-19)式式(2-17)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyx此外，位移边界条件不变：此外，位移边界条件不变：)()(),()(ssuuss式式(2-14)按位移求解平面问题总结按位移求解平面问题总结总结起来，总结起来，平面应力问题按位移求解的方法，就是使位移分量平面应力问题按位移求解的方法，就是使位移分量 u 和和 v 满足如下条件：满足如下条件：（1 1）在区域内满足平衡微分方程）在区域内满足平衡微分方程(2-18)；（2 2）在边界上满足应力边界条

26、件）在边界上满足应力边界条件(2-19)或位移边界条件或位移边界条件(2-14)。求解出位移分量求解出位移分量 u 和和 v 后，代入几何方程后，代入几何方程(2-8)求应变分量，代求应变分量，代入方程入方程(2-17)求应力分量。求应力分量。将平面应力问题各方程中的将平面应力问题各方程中的 E 和和 作如下替换，可得平面应变问作如下替换，可得平面应变问题的位移法求解方程和边界条件：题的位移法求解方程和边界条件：112EE或者：或者： 将平面应力问题的解答中的将平面应力问题的解答中的E 和和 作同样的替换，得到平面应变问题的作同样的替换，得到平面应变问题的解答解答按位移求解平面问题总结按位移求解平面问题总结平面应力问题按位移求解时，方程平面应力问题按位移求解时，方程（2-18）、（）、（2-19）和和（2-14）是求解位移分量是求解位移分量 u 和和 v 必须满足的条件，其中方程必须满足的条件，其中方程（2-18）、（）、（2-19）属于静力学条件，而方程（属于静力学条件，而方程（2-14