最新4-4-2-圆与扇形(二)教师版

1、例题精讲研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位 置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积.圆的面积二异；扇形的面积=n-2 ;360圆的周长=2n ;扇形的弧长=2 n .360一、跟曲线有关的图形元素： 扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分.我们经常说 的1圆、1圆、1圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几2 46分之几.那么一般的求法是什么呢？关键是n360比如：扇形的面积二所在圆的面积 ；360扇形中的弧长部分

2、 二所在圆的周长 360扇形的周长 二所在圆的周长 2半径（易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长）360 弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积.一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积.（除了半圆）”弯角”：如图:弯角的面积=正方形-扇形”谷子”：如图:“谷子”的面积二弓形面积 2二、常用的思想方法： 转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的） 等积变形（害吟卜、平移、旋转等） 借来还去（加减法） 外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”）板块二曲线型面积计算【例1】 如图，已知扇形 BAC的面积是半圆 ADB面积的-倍，则角CAB的度数是 3【考点】 【解析

3、】【答案】【例2】【题型】填空设半圆ADB的半径为1 ,则半圆面积为-n十二上，扇形BAC的面积为-2.因为扇形BAC22233的面积为 n2，所以，n 22 乙，得到n =60，即角CAB的度数是60度.360360360度如下图，直角三角形 ABC的两条直角边分别长 6和7，分别以B,C为圆心，2为半径画圆，已知 图中阴影部分的面积是 17,那么角A是多少度（n二3）A【考点】【解析】【答案】【例3】【考点】【解析】【答案】【例4】圆与扇形【难度】4星【题型】解答小1Sa ABC21,2三角形ABC内两扇形面积和为 21-17=4 ,根据扇形面积公式两扇形面积和为B C n 22 = 4,

4、360 °所以.B . C =120°, . A =60° .60度如图，大小两圆的相交部分 （即阴影区域）的面积是大圆面积的圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？-，是小圆面积的-如果量得小155圆与扇形【难度】3星【题型】解答小圆的面积为n 52 =25 n ,则大小圆相交部分面积为25 n 3 =15 n ,那么大圆的面积为54225225 15 1515十-n,而22515，所以大圆半径为 7.5厘米.15442 27.5有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？（ n取3）【考点】圆与扇形【难度】3星

5、【题型】解答【解析】由右图知，绳长等于 6个线段AB与6个BC弧长之和.将图中与BC弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是360。,所以BC弧所对的圆心角是 60 , 6个BC弧合起来等于直径 5厘米的圆的周长. 而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长为： 5汉6+5冗=45（厘米）.【答案】45【例5】 如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请【解析】如图，点C是在以B为中心的扇形上，所以 AB=CB，同理CB=AC，则 ABC是正三角形，同理， 有CDE是正三角形.有 ZACB ZECD =60：，正五边形的一个内角是 180

6、； -360'5 =108，因此 .ECA =60 2 -108 =12，也就是说圆弧 AE的长度是半径为 12厘米的圆周的一部分，这样相同 的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是2 3.14 12 12 5 =12.56 cm .360、【答案】12.56【例6】 如图是一个对称图形.比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积 灰色部分面积.【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的-，则4个小圆的面4积之和等于大圆的面积而 4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两 部分面积相

7、等，即灰色部分与黑色部分面积相等.【答案】相等【例7】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为Si，空白部分面积为 S2，那么这两个部分的面积之比是多少？（圆周率取3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形.设大圆半径为 r，贝U S2 =2r2, S =愿-2r2，所以 Si: S2 =：314 - 2 :2=57:100 .移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系.【答案】57:100【例8】 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝

8、板问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积：大圆面积 =n2： tR2=1:9 ,1小圆面积=36 - =4 , 7个小圆总面积=4 7 =28,9边角料面积=36-28=8（平方厘米）.【答案】81.求阴影部分的面积.【例9】 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是12面积），所以相当于 丄大圆面积减去2小圆面积.而大圆的半径为小圆的 3倍，所以其面积为小圆的632 =9倍，那么阴影部分面积为n 125 n= 2.5.6【解析】由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面

9、积的方法来构造新图形.11由右图可见，阴影部分面积等于大圆面积减去一个小圆面积，再加上120的小扇形面积（即-小圆632 精品文档【答案】2.5【例10】如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是 6个半径为10厘米的小扇形.（圆周率取3.14）AC【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小 扇形面积如何求，有扇形面积公式Ss =: nR .360可求得，需要知道半径和扇形弧的度数， 由已知正六边形每边所对圆心角为 60°,那么.AOC=120 , 又知四边形

10、ABCO是平行四边形，所以.ABC =120 ,这样就可求出扇形的面积和为4 Q A6 n 102 =628（平方厘米），阴影部分的面积 =1040-628 = 412（平方厘米）.360【答案】412【例11】（09年第十四届华杯赛初赛）如下图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，AC =CD =DB , M是CD的中点，H是弦CD的中点若N是OB上一点，半圆的面积等于 12平方厘米，则图中阴影部分 的面积是平方厘米.M【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如下图所示，连接 OC、OD、OH .M本题中由于C、D是半圆的两个三等分点，M是CD的中点，H是弦CD的中点，可见这个图形是对称

11、的，由对称性可知CD与AB平行.由此可得CHN的面积与 CHO的面积相等，所以阴影部分 面积等于扇形 COD面积的一半，而扇形 COD的面积又等于半圆面积的 1 ,所以阴影部分面积等于311半圆面积的-，为12 一 = 2平方厘米.66【答案】2【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点， O是圆心，且半径为6求图中阴影部分的面积.AOB AOB圆与扇形【难度】3星【题型】解答如图，连接OC、OD、CD 【考点】 【解析】由于C、D是半圆的三等分点，所以 .SOC和 COD都是正三角形，那么 CD与AO是平行的所 以UACD的面积与 OCD的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的

12、面积，为2 1n 618.84 6【答案】18.84【例12】如图，两个半径为 1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是 这样较为繁琐由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同 的图形，再求剩余图形的面积.如右图所示，可知弓形 BC或CD均与弓形AB相同，所以不妨割去弓形 BC 剩下的图形中，容易 看出来AB与CD是平行的，所以BCD与.ACD的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形ACD的面积相等，而扇形

13、ACD的面积为n 12 -60 =0.5，所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5 36012,那么阴影部分面积是多少？（圆周率取【答案】0.5 【例13】如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：设小正方形的边长为 a，则三角形 ABF与梯形ABCD的面积均为 a 12 a" 2 .阴影部 分为：大正方形梯形-三角形ABF -右上角不规则部分 二大正方形-右上角不规则部分 二丄圆因4此阴影部分面积为：3.14 12 1'4 =113.04 方法二：连接 AC、DF ,设AF与CD的交点为M，由于四边形 AC

14、DF是梯形，根据梯形蝴蝶定理有 ADM = CMF，所以 阴影=S扇形 DCF =3.14 12 124 = 113.04【答案】113.04求阴影部分的面积.【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6,【考点】【解析】圆与扇形【难度】3星（法1）观察可知阴影部分面积等于三角形 面积就成了解题的关键.（n 取 3）【题型】解答ACD的面积减去月牙BCD的面积，那么求出月牙 BCD的1月牙BCD的面积为正方形 BCDE的面积减去四分之一圆：6 6-丄n 6 6 = 9 ；4则阴影部分的面积为三角形 ACD的面积减去月牙 BCD的面积，为：1So10 6 6 -9 =39 -（法2）观察可知 A

15、F和BD是平行的，于是连接 AF、BD、DF .则.ABD与.BDF面积相等，那么阴影部分面积等于 UBDF与小弓形的面积之和，也就等于.DEF与 扇形BED的面积之和，为：（106） 6 1 丄n 62 =39 .24【答案】39BC是半圆的直径已知AB = BC=10，那【例14】如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点,么阴影部分的面积是多少？（圆周率取3.14）【题型】解答AB，则在梯形ABDP中，对角线交于 M点，那么 ABD与 二ABP与圆内的小弓形的面积和.【考点】圆与扇形【难度】3星【解析】连接PD、AP、BD，如图，PD平行于MBP面积相等，则阴影部分的面积转化为 AB

16、P 的面积为：1010“ 2 “2=25 ；弓形面积： 3.14 5 5亠4-5 5亠2 =7.125;阴影部分面积为：25 7.1232.125.【答案】32.125 【例15】图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为 ; （ n = 3. 14【题型】填空【考点】圆与扇形【难度】3星 【解析】连接小正方形AC ,有图可见§阴影=Sa ACD S扇形-ABC.11 2 1 ,AC4 42 2 22二 AC =32同理 CE2 =72 ,二 AC CE =481Sa acd48 =2429021S扇形n 4 -1

17、2.56 , Saabc4 4 _83602 S阴影=24 12.56 8 =28.56【答案】28.56【例16】如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的.问：涂有阴影的部分【考点】4星【题型】解答的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？4r , 3r 和 r .【解析】假设最小圆的半径为阴影部分的面积为：-n 4r - n 3-时2 n2=5n2 ,2 2 2空白部分的面积为：宀 2 2 2n 4r5 n =11 n ,r，则三种半圆曲线的半径分别为则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11 .【答案】5:11【例17】（西城实验考题）奥运会的会徽是五环

18、图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积.（n 3.14）【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】每个圆环的面积为：n 42 - n 32 =7 n二21.98（平方厘米）；五个圆环的面积和为：21.98 5=109.9（平方厘米）；八个阴影的面积为：109.9 -77.1 =32.8（平方厘米）；每个阴影的面积为： 32.8 + 8 =4.1（平方厘米）【答案】4.1 【例18】已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过

19、它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连擎起来得右图.那么，图中阴影部分的总面积等于 方厘米.（n3.14）A /r>(AAFH【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】填空【解析】39.25【答案】39.25【例19】如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积.（n取3）D ABaC BaC【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】这道题目是很常见的面积计算问题阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式 求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了 了.如图，

20、这样阴影部分就划分成了S阴影=4S半圆-S三角形4个半圆减去三角形，我们可以求得,=4j'2【答案】爲2【巩固】如图，正方形影部分面积.ABCD的边长为4厘米，分别以（n取 3）B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆.求阴D【考点】【解析】由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴 影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积.解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分.则阴影部分的面积为 二丄n 4 4 4=8 ;2解法二：连接 AC,我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积, 所以阴影部

21、分面积 =2 （- n 42 -4 4-：-2） = 8 .4【答案】8【例20】（四中考题）已知三角形ABC是直角三角形,AC = 4cm , BC =2cm，求阴影部分的面积【考点】【解析】【答案】圆与扇形【难度】从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形生n22 2 " 2部分的面积为：-n23.85【题型】解答14 2=2.5 n 4 =3.85(2ABC的面积之差，所以阴影【例21】（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米那么图中3

22、个阴影部分的面积的和 是平方厘米【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】填空【解析】 根据容斥原理得100 3-為影- 2 42 =144，所以 為影二100 3-144 -2 42=72 （平方厘米）【答案】72 【例22】如图所示，ABCD是一边长为4cm的正方形，E是AD的中点，而F是BC的中点.以C为圆心、半径为4cm的四分之一圆的圆弧交 EF于G ,以F为圆心、半径为2cm的四分之一圆的圆弧交 EF于H点，若图中0和S2两块面积之差为 m冗一n（cm2）（其中m、n为正整数），请问mn之值为何?【关键词】国际小学数学竞赛【题型】图1答【解析】(法 1) Sfcde =24 =8cm ,

23、S扇形 bcd1,2, 2n 4 - 4 n (cm ),4122HS扇形 bfhn 2 = n (cm )，而4S1 _ S2 = S扇形 BCD - S 扇形 BFH - S FCDE =4兀-冗- 8 =3冗一 8 (cm ), 所以 m =3 , n =8, m n= 3 8 =11 .(法 2)如右上图，S S 二 Sbfea - S 扇形 bfh =2 4 -2 2n 4=8- n(cm),2S S2 =Sabcd -S扇形BCD =4 4-4 4 n 4 “6-4 n (cm ), 所以，S| -S2 = (8 -冗)-(16-4冗)=3冗-8 (cm )，故 m n = 3 &

24、#39; 8 =11.【答案】11【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4,求两个阴影部分的面积差.（圆周率取3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解.左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方 形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇 形减去小扇形，再减去长方形.则为：n 4 4 - 2 2 -4 2=3 3.14-8=1.42 .44【答案】1.42【例23】如图，矩形 ABCD中，AB=6厘米，BC =4厘米，扇形 ABE半径AE=6厘米，扇形 CBF的半径CB =4厘米，

25、求阴影部分的面积.（n取3）BC精品文档【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则 的空白部分ABFD在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键.我们先确定 ABFD的面积，因为不规则部分 ABFD与扇形BCF共同构成长方形 ABCD , 所以不规则部分 ABFD的面积为6 4- n 42 =12 （平方厘米），4再从扇形ABE中考虑，让扇形 ABE减去ABFD的面积，则有阴影部分面积为 1 n 62 一12 =15 （平方厘米）.411、方法一：利用容斥原理 S阴影=S扇形eab S扇形

26、bcf S长方形abcdn 6 n 4 4 6=15（平方厘米）44【答案】15【巩固】求图中阴影部分的面积.【考点】圆与扇形【难度】3星【解析】阴影部分面积二半圆面积扇形面积【答案】41.04【题型】解答三角形面积二丄n罟）2 1 n 122 丄122 =41.04 .2 2 8 2【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米，（n= 3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】观察可知阴影部分是被以 AD为半径的扇形、以 AB为直径的半圆形和对角线 BD分割出来的，分头 求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容

27、易求 出阴影部分的面积了， 我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD的面积减去扇形ADE的面积，那么我们的思路就很清楚了.因为 ZADB =45 ,所以扇形ADE的面积为：上5 n AD245 3.14 52 =9.8125 （平方厘米），3603601 那么左下边空白的面积为：一 5 5 -9.8125 =2.6875 （平方厘米），2又因为半圆面积为：1 n 5 ； =9.8125（平方厘米），22）所以阴影部分面积为：9.81252.6875=7.125（平方厘米）.【答案】7.125【例24】如图所示，阴影部分的面积为多少？（圆周率取3）33【考点】圆与扇形【难度】4星

28、【题型】解答【解析】图中A、B两部分的面积分别等于右边两幅图中的A、B的面积.所以 Sa Sb = 1.52 冗1.5 3 - 432 n3 3 2 “ 8 = 9 十 4 9“ 8 = 27 .416【答案】2716【巩固】图中阴影部分的面积是3（n取 3.14）3【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面 积.所分成的弓形的面积为：1 n 2 =-9 U-；2（2 丿42 168另一部分的面积为：1 n 32 -32 1 = 9 n-9 ;8484所以阴影部分面积为：-n-9 9 n-9=空 n27

29、 =1.92375 1.92 .16884168【答案】1.92【例25】已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以O1、O2、03为圆心，求阴影部分的面积.（n = 3）【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积而这一块的面积，等于大正方形的面 积减去一个90°扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为： 1 2S正方形_s扇形一色S正方形_S圆-：-4匕20 20 n 20 也2020_100n 4工75 （平方厘米），所以阴影部分的面积为75:2=150（平方厘米）.【答案】150【例26】一个长方形的长为

30、9，宽为6, 个半径为I的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法 运动到的部分，面积的和是 . （ n取3）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下 图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相 似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍.阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：每个角阴影部分面积为1 1 n 12 -90 -1 ；3604那么圆无法运动到的部分面积为4 1 =14方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴

31、影面积为22-3域12=1【答案】1【例27】已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积.（n = 3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算从图中可以看出，阴影 部分的面积是一个45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差.由于半圆的面积为 62.8平方厘米，所以OA2 =62.8亠3.14 =20 .因此：Saaob =OA OB-、2 =OA2-、2 =10（平方厘米）.由于 AOB是等腰直角三角形，所以AB2 =20 2 =40 .4545因此：扇形 ABC的面积=n AB 二n 40

32、 =15.7 （平方厘米）.360360所以，阴影部分的面积等于：15.710=5.7（平方厘米）.【答案】5.7【例28】如图，等腰直角三角形 ABC的腰为10;以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形 AEF;两个阴影部分 的面积相等求扇形所在的圆面积.【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】题目已经明确告诉我们 ABC是等腰直角三角形，AEF是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通 过空白部分联系起来.等腰直角三角形的角 A为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍.而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即S扇形二1 10 10=50 ,2则圆的面积为50x8=400【答案】400【例2

33、9】如图，直角三角形 ABC中，AB是圆的直径，且 AB=20，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7,求BC 长.（冗=3.14）【题型】解答【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成1个半圆和1个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了.因为阴影甲比阴影乙面积大7,也就是半圆面积比直角三角形面积大7.A半圆面积为： n 102 =157，则直角三角形的面积为 157 -7 =150,可得BC =2 150" 20= 15.2【答

34、案】15I的面积比阴影II的面积小25cm2 , AB = 8cm，求BC的长度.【解析】由于阴影I的面积比阴影II的面积小25cm2，根据差不变原理，直角三角形ABC面积减去半圆面积【答案】【考点】为25cm2，则直角三角形ABC面积为2 nf2 I2丿25 =8 n 25 ( cm ),BC 的长度为 8n 252 “8 =2 n 6.25 =12.53 ( cm ).12.53【巩固】 如图，三角形 ABC是直角三角形，阴影部分比阴影部分的面积小米.求BC的长度？ （ n取3.14）圆与扇形【难度】3星【题型】解答28平方厘米， AB长40厘【解析】图中半圆的直径为 AB，所以其面积为1

35、 202 n- 200 3.14 =628 .2有空白部分与的面积和为628，又-=28，所以、部分的面积和628*28 = 656 .一 一 11有直角三角形 ABC的面积为 AB BC 40 BC =656 .所以BC =32.8厘米.22【答案】32.8【例30】图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积.【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】十三分，入学测试题【解析】如下图，设半圆的圆心为 O,连接OC .从图中可以看出，OC=20 , OB=20-4=16，根据勾股定理可得 BC=12 .阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，2 1为：n 20（16 2）

36、12 =200 n-384 =244.【答案】244 【例31】如图，求阴影部分的面积.（n取3）【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答6,8,10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少?【解析】如图，图中阴影部分为月牙儿状， 月牙儿形状与扇形和弓形都不相同， 目前我们还不能直接求出 它 们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙 儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就 找到了解决问题的方法了.6O 82221以12 11 2n 3 -n 43 4 n 52 222=6【答案】6阴影部分面积

37、 二丄小圆面积-1中圆面积三角形面积一1大圆面积【例32】如图，直角三角形的三条边长度为【题型】解答【考点】圆与扇形【难度】4星【解析】S阴影=S直角三角形-S半圆,设半圆半径为r，直角三角形面积用 r表示为：_- 10_- =8r2 2又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为1 6 8 =24 ,2所以 8r =24 , r =3所以S阴影=241 9庐244.5n2【答案】24 -4.5 n【例33】大圆半径为R ,小圆半径为r ,两个同心圆构成一个环形.以圆心O为顶点，半径R为边长作一个正方形：再以0为顶点，以r为边长作一个小正方形图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积.（圆周率取

38、3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】华校第一学期，期中测试，第6题【解析】环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能题中已知阴 影部分的面积，也就是 R? _=50平方厘米，那么环形的面积为：nR2 - n2 = nR2 -r2） = n 50=157 （平方厘米）.【答案】157【巩固】图中阴影部分的面积是225cm，求圆环的面积.【考点】圆与扇形【解析】设大圆半径为则圆环面积为:【难度】3星【题型】解答R，小圆半径为2 2r，依题有-=25，即卩 R - r =50 .2 22 2 2 2 2n n = n r ) =50n = 15

39、7(cm ).【答案】157【例34】已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是. ( n取 3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【关键词】101中学，考题【解析】设图中大圆的半径为r，正方形的边长为a，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为a ,22大圆的直径2r等于正方形的对角线长，即（2r）2二a2 a2，得r.2所以，大圆的面积与正方形的面积之比为：n2：a2工n2，所以大圆面积为：20-：-2 n = 10n;小圆的面积与正方形的面积之比为：n）2：a2二n：4，所以小圆的面积为： 20“ 4 n 5n;两个圆的面积之和为：10n+5 n=

40、15n = 15況3.14=47.1（平方厘米）.【答案】47.1平方厘米.（n取 3.14）【考点】3星【题型】填空精品文档【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是【解析】设图中大圆的半径为r，正方形的边长为a，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为a ,22 大圆的直径2r等于正方形的对角线长，即（2r）2二a2 a2，得r.22 2 2所以，大圆的面积与小圆的面积之比为：n2: n32=r2：a -：a 2:1 ,2424即大圆的面积是小圆面积的2倍，大圆的面积为 30汉2 = 60（平方厘米）.【答案】60【巩固】（2008年四中考题）图中大正方形边长为 a，小正方

41、形的面积是 【考点】3星【题型】填空a ,而从图中可【解析】设图中小正方形的边长为 b，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为以看出，圆的直径等于小正方形的对角线长，所以a2 =b2 b2 =2b2，故b- a2，即小正方形的面2积为-a2.2【答案】爲22【巩固】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示已知最小圆的半径为1cm，请问阴影部分的面积为多少平方厘米？（取n=丝）7【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】台湾小学数学竞赛选拔，复赛【解析】我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算.内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是n 12-2 2 -2 = n-2

42、 .内圆的直径为中部正方形的边长，即为2，中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中圈阴影部分面积是 n （222L）-：4-2 2=2n 4 .中圆的直径的平方即为外部正方形的面积，即为22 22 =8 ,外部正方形的对角线的平方即为外圆的直径的平方，即为 8 2=16，所以外圈阴影部分的面积是n 164_8=4n_8 .所以阴影部分的面积是 7 n-口二22 7 _14=8（平方厘米）.7【答案】8【例35】图中大正方形边长为 6，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中点连出一个正方形（如图），在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？（ n=3.14）【考点】3星【题型】

43、解答【解析】圆的直径也就是外切正方形的边长，它的长为:<4芳圆的面积为：n 12.5612丿【答案】12.56【例36】如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是9个圆，右图中阴影部分是 16个圆哪个图中阴影部分的面积大？为什么？【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】设正方形的边长为a，每一个圆的半径为r，则正方形的每一条边上都有 个圆，从而正方形内部 2r共有 旦 旦个圆，于是这些圆的总面积为：缶影=n2 - - =- na2.2r 2r2r 2r 4可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说阴影部分的面积只与正方形的边长有 关系，与圆的半径无关，无论圆的半径

44、怎样变化，只要正方形的边长不变，那么阴影部分的面积就 是一定的.由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等.【答案】相等【例37】如图，在3 3方格表中，分别以 A、E、F为圆心，半径为3、2、1,圆心角都是90°的三段圆弧 与正方形ABCD的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比S：S2=?【考点】圆与扇形【难度】5星【题型】解答【解析】如右图，仔细观察图形不难发现带形3的面积等于曲边三角形 BCD的面积减去曲边三角形B1CD1的面积，而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出.所以， 的面积 I32 n 32 - I22 n 22 丄 匚5：

45、11 n ；I4八4丿(4丿同理可求得带形S,的面积：带形S2的面积=曲边三角形B1CD1的面积-曲边三角形B2CD2的面积=3 1 -I 4丿 所以，S ：S2 =5:3 .【答案】5:3【例38】如图中，正方形的边长是5cm，两个顶点正好在圆心上,求图形的总面积是多少?(圆周率取3.14)【题型】解答【考点】圆与扇形【难度】3星(232【解析】n 5 5 5“2 2 =142.75(cm ).I4丿【答案】142.75【例39】如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆0的半径为15, AEB是以C为圆心，AC为半径的圆弧 阴影部分面积.【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答ABC【解析】阴影

46、部分是个月牙形，不能直接通过面积公式求， 那么我们可以把阴影部分看成半圆加上三角形 再减去扇形ACB的结果.1半圆面积为n 152 ,2【考点】【解析】圆与扇形如左下图所示1 1n 121 1【难度】3星【题型】解答,弓形RS的面积等于扇形ORS的面积与三角形ORS的面积之差，为 n 1:-n-1（平方米）,Q所以阴影部分的面积为2 212 12n 一4=-（平方米）,4【答案】1.07n 1 n 1 + =一 X4242n -1 =1.07（平方米）.【例41】在右图所示的正方形ABCD中，对角线 AC长2厘米.扇形ADC是以D为圆心，以 AD为半径的圆的一部分.求阴影部分的面积AD三角形A

47、BC面积为1 15 15 15T52，又因为三角形面积也等于1 AC2,所以 AC2 =2 152 ,那么扇形ACB的面积为-90 n AC = - n 2 152.3604阴影部分面积S阴影=S半圆 S三角形-S扇形1 2 2 1 2n 1515n 2 1524=225 （平方厘米）【答案】225 【例40】如下图所示，曲线 PRSQ和ROS是两个半圆.RS平行于PQ .如果大半圆的半径是 1米，那么阴 取 3.14）【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答1 2 1 2 1 2 AD2 n AC2 AD2 .2 8 2【解析】如右图所示，Si =n AD2 -1AD2 ,42因为 AC =

48、2AD =4 ,所以阴影部分的面积为：- AD2 -丄人。21 n AC1AD1 n AC2丄 AC2 二 n-2 =1.14（平方厘米）.428242另解：观察可知阴影部分面积等于半圆面积与扇形ADC面积之和减去正方形 ABCD的面积，所以阴影部分的面积为 n AD2 1 n AC2AD2 =1.14（平方厘米）.48【答案】1.14【例42】某仿古钱币直径为4厘米，钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧（如图）求钱币在桌面上能覆盖的面积为多少？【考点】【解析】【答案】4cm【题型】解答圆与扇形【难度】3星将古钱币分成8个部分，外部的4个弓形的面积和等于大圆减去内接正方形, 中间的四

49、个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积，所以总面积等于：4 24 24 2n 2亠2 2 210.8422 " 4 n = 6 n-8 =10.84 (cm ).钟面就会出现奇妙的阴影12【题型】解答1212【考点】圆与扇形【难度】4星【关键词】小学生数学报【例43】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有 10平方米.每当太阳西下, （如右图）.那么，阴影部分的面积是 平方米.【解析】等积变形，对应思想将中间的正三角形旋转如右图，图中阴影部分的面积与原图阴影部分的面积相 等由A与A' , B与B'面积相等，推知阴影部分占圆面积的一半.10

50、一2=5（平方米）.【答案】5【巩固】图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少?1211甲乙O48【考点】圆与扇形【难度】5星【题型】解答【解析】根据图形特点，可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解:阴影部分甲=120°的扇形一三角形一小弓形; 阴影部分乙 二三角形小弓形；由于120°扇形的面积容易求得，所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积:阴影部分乙的面积1=圆的面积的一612120°阴影部分的面积1=圆的面积的一3阴影部分乙的面积=斜纹三角形B的面积+斜纹弓形A的面积综上所述：阴影部分甲的面积【答案】1:1=:圆的面积的-13

51、1二圆的面积的1 所以甲、乙面积之比为6 61:1 10平方米.每当太阳西下,【巩固】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有钟面就会出现奇妙的阴影 （如左下图）那么，阴影部分的面积是多少平方米?2836【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】在这个题目中，阴影部分和空白部分都是不规则图形，那么我们既无法通过面积公式直接求出阴影部分面积，也无法通过求出空白部分面积，再用大圆面积减去空白部分面积求解，这个时候，我们只能利用整体思想，通过转化，寻找阴影部分与整体图形的关系.将原题图中的等边三角形旋转 30° （注意，只转三角形，圆形不动），得到右上图.因为

52、AOD、厶BOD 都是等边三角形，所以四边形OBDA是菱形，推知 AOB与 ADB面积相等.又因为弦AD所对的弓 形与弦BD所对的弓形面积相等，所以扇形 AOB中阴影部分面积占一半同理，在扇形 AOC、扇形 BOC中，阴影部分面积也占一半所以，阴影部分面积占圆面积的一半，是10十2 = 5（平方米）.【答案】5 【巩固】如图，已知三角形 GHI是边长为26厘米的正三角形，圆 O的半径为15厘米.-AOB =/COD =/EOF =90 求阴影部分的面积.A G FEA G FE【考点】圆与扇形【难度】5星【题型】解答【解析】直接解决.总阴影面积 二每块阴影面积3 =（大弓形-小弓形）3 关键在于大弓形中三角形的面积，设J为弧GI的中点，则可知 GOIJ是菱形，GO