毕业论文设计 球面曲线的几何性质

1、毕业论文设计球面曲线的几何性质摘要在这篇论文中我们利用了单位球上的曲面和曲线的内蕴量讨论研究了球面曲线的几何性质，并利用球面几何学的一些知识研究了球面三角的初等几何性质.本文主要分为三部分来研究球面曲线的几何性质.首先给出了空间曲线是球面曲线的充要条件，得到了从曲率挠率、密切球、法平面、法线等多种角度的刻画，并对部分定理和结论给出了证明；然后讨论球面上特殊曲线的几何性质，通过建立适当的参数方程，得出了球面测地曲率的基本表达式，并分别指出了球面上哪一类曲线为测地线、渐近线以及曲率线，以及三类曲线的几何性质. 在论文的最后部分，研究了球面三角的初等几何性质，得到了球面三角的正弦定理和余弦定理以及面

2、积等一些重要的公式和理论.关键词：球面 测地曲率 测地线 渐近线 曲率线 球面三角 AbstractIn this paper we use the intrinsic amount of the surface and the curve on the unit ball to discuss the geometric properties of spherical curves,and use spherical geometry to discuss the knowledge of the geometric properties of the elementary spherica

3、l trigonometry. This paper is divided into three to study some geometric properties of spherical curves. First of all, the space curve is given the necessary and sufficient conditions for spherical curve,obtaining from the curvature,torsion, osculating sphere, normal plane, normal line and so on, pa

4、rt of the theorem and conclusions given proof; then we discuss the special sphere geometric properties of curves, through the establishment of an appropriate parametric equation, obtaining the way to distinguish the line of geodesic,curvature line and asymptotic line. In the final part,we use the ge

5、ometric properties of the elementary spherical trigonometry, getting some important formulas and theories of Sine and Cosine and area for spherical triangle.Key words: spherical geodesic curvature line asymptotic line spherical triangle 目录摘要-Abstract-引言- 1第一章 预备知识- 21.1 曲线和曲面- 21.2 基本定义- 3第二章 球面曲线-

6、42.1 空间曲线为球面曲线的充要条件- 42.2 球面测地线的几何性质- 72.3 球面渐近线的几何性质- 92.4 球面曲率线的几何性质-10第三章 球面三角- 113.1 预备知识-113.2 球面三角的性质-12结束语-14参考文献-15致谢-15外文翻译-15引言微分几何是运用数学分析的理论研究曲线或曲线在它的领域的性质，换句话说，微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科.十九世纪出，法国数学家Gaspard Monge首次将微积分运用到曲线和曲线的研究中去. 1827年Gauss发表了关于曲面的一些研究，奠定了现代曲面论的基础，建立了曲面的内蕴几何学，其主要

7、思想史强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质. KleinAlbert Einstein广义相对论的建立，微分几何学在李黎曼几何和广义相对论中得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为了独具特色、应用广泛的学科.近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群等有了密切的关系，这些数学分支和微分几何相互渗透，已成为现代数学的中心问题之一.公元2世纪，由于天文学研究的需要，希腊的几何学出现了由定性研究向定量研究工作的转变，并最终导致三角学的创立.这是亚历山大时期希腊数学重视应用的必然结果.这一特征的又一体现是算数和代数作为一门独立学科的发展，并以

8、丢番图将符号引入代数而体现出希腊数学思想的新创见.这一时期，Menelaus所著的球面论里第一卷研究了球面三角形，第一次将球面三角形定义为球面上三段小于半圆的大圆弧构成的图形.第二卷讲天文学，间接地涉及球面几何，第三卷是以著名的梅涅劳斯定理为基础，展开有关球面三角的内容. 球面几何学在航海学和天文学中都有着实际重要的用途. 本文主要研究球面曲线的几何性质，在理论上给出了空间曲线为球面曲线的充要条件的证明.本文的结构和主要内容为：预备知识. 概述了利用弧长参数方程研究空间曲线和曲面的方法，并给出了曲率、挠率等内蕴量的定义.研究球面曲线. 研究了球面上的测地线、渐近线、曲率线的几何性质，同时给出了

9、空间曲线是球面曲线的充要条件的证明.球面图形. 利用球面几何学的知识研究了球面三角的正余弦定理、球面三角的面积公式等初等几何性质.预备知识 本章主要概述了与曲线和曲面相关的定义和定理以及空间曲线和曲面的内蕴量，并且简述一些本文要用到的理论结果. 由于球面是空间中最完美匀称的曲面，两个半径相等的球面可以用平移将它们叠合起来，从而两个半径不等的球面所相差的就是放大或缩小这种类似变换. 所以我们下面所有的研究将归纳到单位半径的球面上来探讨.1.1 曲线和曲面定义 在空间中固定正交标架，把曲线记成 (1)其中是曲线的参数，(1)式称为曲线的参数方程.定义 为了保证曲线的正则性条件保持不变，我们要求曲线

10、所容许的参数变换满足以下两个条件：(i) 是的三次以上连续可微函数；(ii) 处处不为零.在本文中，我们假定所考虑的曲线和曲面都是正则的.定义 我们可以把正则曲线的弧长作为它的参数，这种参数称为弧长参数.弧长参数是由曲线本身确定的(至多相差一个常数)，与曲线的坐标表示和参数的选取无关.定理 设，是中的一条正则曲线，则是它的弧长参数的充要条件是.定义曲线的Frenet标架，其中，分别为曲线的单位切向量，主法向量、次法向量.定义 为曲线的曲率. 曲线的曲率反映了曲线的弯曲程度. 一条曲线是直线，则其曲率为0. 单位圆的曲率为1.圆的半径越大，曲率越小，圆的曲率恰为其半径的倒数.定义 为曲线的挠率.

11、 曲线的挠率刻画了曲线偏离平面曲线的程度，即曲线的扭曲程度.一条非直线的曲线是平面曲线，则其挠率为0.设有正则参数曲面片，命，.定义 命 为曲面的第一基本形式.同上，命，.定义 命为曲面的第二基本形式. 曲面的第二基本形式直观的反映了曲面的弯曲程度. 利用曲面的第一基本形式和第二基本形式可以计算曲面上一个区域的面积、曲面上正则光滑曲线的长度、曲面上两条相交正则光滑曲线在交点处的切向量的夹角. 由于本文不涉及该方面的研究，在这里就不一一说明.1.2 基本定义首先建立标架场，并设 在此基础上得到一下定义：定义 是曲面上曲线的法曲率. 法曲率反映的是旋转向量在法向量上的弯曲程度.定义 称为曲面上曲线

12、的测地曲率.定义 称为曲面上曲线的测地挠率. 测地挠率和法曲率是曲面上切方向的函数，反映的是曲面的性质，而不是曲面上曲线的性质.定义 曲面上的测地曲率恒等于零的曲线称为测地线.定义 在曲面上一点，使法曲率为零的方向称为曲面在该点的渐近方向. 若曲面上一条曲线在每一点的切向量都是曲面在该点的渐近方向，则称曲线为曲面上的一条渐近曲线.定义 设曲面上的一条曲线，如果在每一点的切向量都是曲面在该点的主方向，则称是曲面上的一条曲率线. 渐近线和曲率线不是曲面上内蕴几何的概念，但由于测地曲率是曲面在保长变换下不变的，所以测地线则是内蕴几何的概念. 下一章，我们将建立在以上定义的基础上，对一特殊的曲面球面，

13、以及球面上的测地线、渐近线和曲率线进行研究.第二章 球面曲线2.1 空间曲线为球面曲线的充要条件这节我们主要研究有关空间曲线是球面曲线的多种刻画有多种，如曲率、挠率的刻画；密切圆的刻画；法平面以及法线的相关刻画等，并给出了一些重要结论的证明.曲率和挠率在三维空间中不计位置唯一地确定了一条曲线，所以我们首先考虑利用曲率和挠率来刻画球面曲线.定理 设曲线是空间挠曲线，是弧长参数，如果该曲线落在一个球面上，则它的曲率和挠率必定满足关系式=常数满足=常数(*)的空间挠曲线或者是常曲率曲线，或者是球面上的一条曲线.证明：空间挠曲线即是指曲率和挠率均不为0的曲线.如果曲线落在一个球面上，则必有常向量及常数

14、使满足： 两边同时求导，可得 从而落在曲线的法平面上.不妨设 (*)两边同时求导，可得由，线性无关得，解得 ，由(*)式得到 从而 为常数.对(*)式两边同时求导，则有若，即为常数，空间挠曲线是常曲率的曲线；若，则有 ，令 ，解得 ，即 ，从而令 (为常向量)，故曲线为球面曲线. 另外通过密切球面、法平面、法线的几何性质，我们同样可以刻画出球面曲线.定理 空间曲线为球面曲线的充要条件是曲线上的每一点的密切球面过定点.推论 曲线为圆弧曲线的充要条件是曲线上的每一点的密切圆过定点. 该定理和推论是显然的，我们将不给出说明.结论1：若曲线在每一点处的法平面都经过一个定点，则该曲线是一条球面曲线.证明

15、：设曲线的弧长参数方程为，曲线在任意点处的法平面方程为设它们皆过点，则有 两边同时求导，得 即 显然，则 (*)两边同时求导，得即 (*)由(*)和(*)式得 ,从而 ,由于 ,可得 =常数,即 是一个常数,综上：该曲线必是一条球面曲线. 反之显然成立.结论2：一个曲面是球面的充要条件是它的所有法线通过一个定点.证明：充分性 设曲面上任一点，其法线过定点，则法向量有，即(为常数)，为一球面.必要性 设球面的参数方程为，任一点的法线方程为，取，其法线恒过定点，得证. 由此，我们从多角度得到了空间曲线为球面曲线的一系列充分条件和必要条件，为进一步研究球面曲线奠定了基础.2.2 球面测地线的几何性质

16、 本节主要研究球面上测地曲线的相关性质，通过建立适当的空间直角坐标系，得出球面测地曲率的基本表达式，并指出球面哪一类曲线为测地线.通过给出的测地曲率的定义，我们可以计算出测地曲率的计算式，但是形式相对较复杂. 考虑选取曲面的正交参数系，我们将得到：定理 设是曲面上的正交参数系，因而曲面的第一基本形式可以表示为.设是曲面上的一条曲线，其中-曲线的夹角为，则曲线的测地曲率是 .显然，对于曲线有，其测地曲率为；对于曲线有，其测地曲率为，我们将上述公式称为Liouville公式. 通过这个公式，我们得到了测地曲率较简单的表达式，为进一步研究测地线提供了帮助.球面曲线的测地曲率 取球面的正交参数系 ，根

17、据曲面第一基本量的定义，解得球面的第一类基本量为 ，代入Liouville公式，得到. 利用，求得球面曲线的测地曲率表达式：，其中是曲线与经线(即-曲线)之间的夹角. 由此，我们得到了建立在Liouville公式基础上的球面测地曲率的计算式，形式还是相对比较简单的.在曲面上取正交参数系，同样的，利用测地曲率的Liouville公式，令测地曲率为0，我们可以得到曲面上测地线的方程为：球面上的测地线将上述所求球面的第一基本量代入上述方程，得到球面上的测地线的方程为消去参数s得到 ，对第一个式子进行积分得 ，从而 ，所以球面上的测地线为.根据所给测地线的方程，我们得到了球面测地线的积分表达式. 显然

18、，积分形式还是相对较复杂的，不能够从该积分式看出球面测地线的特性. 若曲面上一条曲线的任意一点有固定的变分，考虑其变分曲线的弧长在该曲线达到临界值的情况，我们得到：定理 设，是曲面上任意两点，是曲面上连结，两点的最短线，则是测地线. 从而球面上的大圆周或是大圆周的一部分是测地线. 我们知道，平面上的测地线即为直线. 而测地线的概念实际上是平面上直线的概念在曲面上的推广，由此也可看出球面上的大圆周即是球面上的测地线.2.3 球面渐近线的几何性质 本节在给出渐近线的定义之后，根据之前所述的基本结论，得出了球面渐近线的相关性质，结果发现球面不存在渐近线.对于曲面上一点，渐近方向为二次方程，即为渐近线

19、的微分方程. 当时，曲面有两个不同的实渐近方向；当时，曲面只有一个实渐近方向. 对于球面我们有：定理 一块正则曲面是球面的充要条件是在曲面上每一点，第一基本形式是第二基本形式的非零倍数.设球面的方程为 ，对两边进行微分得到 ，由此可见，球面的单位法向量为 ，从而 .事实上，对于半径为的球面，有成立. 由定理知，球面的法曲率为是非零常数，所以就球面而已，是不存在渐近线的.另一方面，若设，则有曲线的法曲率. 由此，我们也可以判断曲面上的测地线为哪一类曲线. 法曲率的充要条件是，或者，即曲线是一条直线，或者与正交. 从而得到下面的结论：定理 曲面上的一条曲线是渐近线，当且仅当它是一条直线，或者它的密

20、切平面是曲面的切平面.根据上述定理，我们同样可以得出，球面上不存在渐近曲线. 对于球面渐近线，我们将不进一步进行研究. 2.4 球面曲率线的几何性质本节从两个侧面研究了球面的曲率线，一个是从曲率线与可展曲面的联系，一个是曲率线的微分方程，得到球面所有曲线均为曲率线.根据著名的Rodriques定理，我们得到：定理 曲面上的一条曲线是曲率线的充要条件是曲面沿该曲线的法线构成一个可展曲面. 可展曲面只有柱面、锥面和切线面三大类，为一特殊曲面.根据上述定理，因为旋转面沿经线的法线构成一个经过旋转轴的平面，为特殊的柱面；沿纬线的法线都经过一个定点，故他们构成一个锥面，为可展曲面.从而旋转曲面上的经线和

21、纬线均为曲率线. 显然，球面可看成特殊的旋转面，球面上的任意圆周可看成一旋转面的经线或纬线，故球面上的圆周都是曲率线.同样，我们可以看到球面上任意曲线的法线均过一定点(球心),构成锥面，从而球面上任意曲线均为曲率线. 另一方面，根据曲面主方向和主曲率的计算，我们可以得到主方向满足的方程：，该方程也即曲率线的微分方程. 由于主方向恰好是曲面上使得测地挠率为0的方向，因此，使得测地挠率的曲线即为曲率线. 仍取球面的正交参数方程，解得球面的第二类基本量为 ，将球面的第一基本形式和第二基本形式代入上述曲率线的微分方程是恒成立的，从而球面上的每一条曲线都是曲率线. 由此我们得到了球面测地线、渐近线和曲率

22、线的几何性质. 下面我们将利用Frenet标架和标架，看一下三者之间的联系：测地线、渐近线和曲率线联系(1) 若曲面上的一条曲线既是测地线，又是曲率线，则该它必定是平面曲线.显然，若曲线为测地线，则有测地曲率；若曲线为曲率线，则有测地挠率，则曲线为平面曲线.则在球面上，大圆周既为测地线，又为曲率线，且是平面曲线.(2) 若曲面上的一条曲线既是测地线，又是渐近线，则它必定是直线. 若曲线为测地线，则；若曲线为渐进线，则法曲率. 从而曲率，为直线.由此我们可以看出，球面上的测地线必不是渐近线.(3) 若曲面上一条测地线是非直线的平面曲线，则它必定是曲率线. 若曲线是非直线的平面曲线，则有，从而，可

23、得，即为曲率线. 在球面上，其测地线为大圆周为非直线的平面曲线，则球面上的大圆周为球面上的曲率线.第三章 球面三角本节的目的是研究空间里的球面三角形，特别是，研究球面三角形的三个角和三个边这六个量之间的关系. 在本章中我们仅仅研究标准欧氏空间中的单位球面，要将本章的结论和公式推广到任意半径的球面是很简单的事情.3.1 预备知识 首先我们将给出球面三角形的基本定义，然后在定义的基础上研究球面三角形的初等几何性质.定义 空间上的三个点所构成的三元组，若作为的向量时是线性无关的，则称为球面三角形. 我们将这个三角形记为.若，是欧氏空间的两个线性无关向量，令，其中，为向量与之间的夹角. 这就是说是在对

24、实行Schmidt标准正交化后继所得到的第二个向量.是由起点和终点所决定的大圆弧在处得单位切向量.(如上图所示)定义 设为球面三角形，点则称为的顶点.定义 ，决定的大圆弧，或者是指这三边的长度，称为的边，记为.定义 向量(非有向)：，称为的角.与欧氏平面三角形的情况类似，大体上我们希望，6个数可表示成其中仅仅3个数的函数.3.2 球面三角的性质 众所周知，平面三角形的内角和恒等于,但是对于球面三角形，我们有：定理3.2.1 对任何球面三角形总有：，.这样我们就看出球面几何与欧氏平面几何是根本不同的，并且有下面结论：定理 在球面几何中角盈恰好是的面积.证明：延长大圆弧、相交于的对顶点，得到梭形.

25、 同样得到、的对顶点、. 在球面上以为顶点的四个球面角刚好构成一个平角，大小和为，四个角对应的四个梭形的面积之和恰好为球面的面积. 从而得到梭形的面积为球面面积的，即为，则有，累加得 ， 由于与互为对顶，则其面积相等，即.于是有，又因为，为球面积的一半. 得证.在欧式空间中，我们有熟知的三角形全等公理：(边边边)，(两边及夹角)，(两角及夹边)，以及(两角及邻边)全等定理. 在球面几何中，同样有球面三角全等公理. 除了上述四个公理外，球面三角形中还有公理.推论3.2.1 的充分必要条件是.可以通过球面三角形的极对偶证明该推论，在此我们将不详细说明. 该推论指出，若存在一个边长为的球面三角形，在

26、不计等距差别的情况下这个三角形是唯一的.通过这种唯一性，我们可以上升到有效的边角函数关系，由此得到：定理3.2.2(球面三角基本公式)： 对任何球面三角形总有(1)余弦定理： (2)正弦定理： 证明：余弦定理的三个公式只证第一个，另两个加以轮换即可.(1)令和，由此可得，；由的定义知 ，又因为 ，所以可求得 .由于正弦定理中的三个比值均正，我们只需证明.由余弦定理得 ，从而，由于右端形式对称，则有，得证正弦定理.推论3.2.2 在边长固定的球面三角形中，边长是的严格增函数.推论3.3.3 令，则有 , , .由于本章我们主要着重于球面三角形面积以及正、余弦定理的研究，推论中的相关公式，均为在球

27、面几何中的三角函数关系，在此处我们就不一一给出证明.通过上述对球面三角的研究，我们可以发现球面球面三角与欧氏平面中的三角形的区别与联系. 球面三角在实际生活中也有很多应用，如航空学中的“标高线”等. 在后期的学习中，我们还可以对球面凸多边形进行分析，以完善对球面的研究.结束语 本文我们主要探讨了空间曲线为球面曲线的充要条件，并给出了球面曲线上测地线、渐近线、曲率线的几何性质，为以后进一步研究球面曲线提供了理论依据. 文章中还在欧氏平面三角形的基础上，得到了球面三角的相关性质和结论.参考文献1 陈维恒.微分几何初步.北京：北京大学出版社，20072 孟道骥,梁科.微分几何.北京：科学出版社，19

28、993 李养成,郭瑞芝.空间解析几何.北京：科学出版社，20044 陈省身, 陈维恒.微分几何讲义.北京：北京大学出版社，19835 吴大任.微分几何.北京：高等教育出版社，20046 陈智奇,李君(译).微分几何及其应用.北京：机械工业出版社，7 谢孔彬,陈玉琢,谢云鹏(译).微分几何基础.北京：科学出版社，20108 周良德.关于旋转锥面与球面相交的研究.湘潭大学自然科学学报.1999,219 李芳.球面渐屈线和球面渐伸线.青岛大学.200810 王宁,唐月红.球面NURBS曲线.南京航天航空大学学报.2001,33(6)11 虞言林,郝风歧.微分几何讲义.北京：高等教育出版社，112 苏

29、步青,华宣积,忻元龙.实用微分几何引论.北京：科学出版社，198613 李双喜(译).曲线与曲面.北京：科学出版社，200614 梅向明,黄敬之.微分几何.北京：人民教育出版社，198215 H.霍夫曼(著),吴大任(译).整体微分几何.北京：科学出版社，198716 李光汉.球面几何及其应用.中学数学.2005(4)17 Theisel.H,G.Farin.The curvature of characteristic curves on surfaces.Computer Graphics and Alications,IEEE,Nov/Dec 1997:88致谢词在论文完成之际，首先我要

30、感谢南京师范大学给及我的这次珍贵的学习机会，使我学习到了很多数学方面的重要理论和知识.本人在论文的写作过程中，得到了多方面的支持和帮助，感谢我的论文指导老师杨明升老师，为我的论文提供了指导，提出了大量意见.在论文的写作工程中，本人参考了大量的文献和相关的文章，已经在文后一一列明，这些参考文献及研究成果使本人受益匪浅，在此对他们的作者表示感谢.文摘Tangent curves of vector fieldsGiven is avector field.Vassigns a vector to any point. We use the notation. A pointis called a

31、critical point of ifis the zero vector. A curve is called a tangent curve (for example, stream line, flow line, or characteristic curve) of the vector fieldif the following condition is satisfied: For all points, the tangent vector of the curve at the pointhas the same direction as the vector.For ev

32、ery pointthere is one and only one tangent curve through it (except for critical points of).Tangent curves do not intersect each other (except for critical points of). The vector field may be interpreted as representing aflow. The tangent curves are simply the trajectories of particles moving in the

33、 flow. Seefor a survey on vector analysis.Given a noncritical pointin the vector field, we want to compute the curvature of the tangent curve through at the point. Letbe the tangent curve throughand. From the definition ofthe tangent curves, we know about the first derivative vector of: (1)Applying

34、the chain rule to Equation 1, we obtain for the second derivative vector of L (2)Using Equations 1 and 2, we can compute the signed curvature of the tangent curve through: (3)From Equations 1, 2, and 3we can compute the curvature of the tangent curve for every point of the vector field: (4)The curva

35、ture of tangent curves is only defined for noncritical points of the vector field. Further properties ofTangent curves on surfacesTangent curves on surfaces can be defined in two ways:Definition 1. Given is a surfaceand a map. relates any point of the domain ofto a vector in. Together with,can be co

36、nsidered as relating any pointon the surface to avector.is called a vector field over the surface.A tangent curve defined byis a curve on the surface where the tangent vector and the projection ofinto the tangent plane ofhave the same direction for every point of the curve. Figure 1 illustrates this

37、 definition.Definition 2. Given is a surfaceand avector fieldin the domain duces a family of tangent curves in the domain. The maps of these domain curves onto the surfaceare called tangent curves on the surface. Figure 2 illustrates this definition.We discuss the correlation between these definitions in the section “Co