恒定电场和恒定磁场

1、电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组时变场时变场静态场静态场恒定磁场恒定磁场0t0t宏观电磁理论的核心：宏观电磁理论的核心：静电场静电场恒定电场恒定电场电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场电荷在电场作用下电荷在电场作用下 定向运动定向运动 电流电流产生形成电流电流恒定恒定电流（直流直流）-电流不随时间变化时变时变电流-电流随时间变化恒定电场恒定电场恒定磁场恒定磁场电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场第四章第四章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场 基本方程基本方程 边界条件边界条件 恒定电场与

2、静电场的恒定电场与静电场的静电比拟法静电比拟法 -计算计算电导（电阻）电导（电阻） 恒定磁场的恒定磁场的矢量磁位矢量磁位 电感电感及其及其计算计算电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场4.1 恒定电场恒定电场1. 本节内容本节内容2. 恒定电场的恒定电场的基本方程基本方程3. 恒定电场的恒定电场的边界条件边界条件4. 静电比拟法静电比拟法电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场一、一、 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程恒定电场：恒定分布电荷产生的电场。恒定电场：恒定分布电荷产生的电场。EJ00ldESdJCS00EJ 恒定电场的恒定电场的基本方程基

3、本方程：微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：)(rJ 恒定电场的恒定电场的基本场矢量基本场矢量是电流密度是电流密度 和电场强度和电场强度 ；)(rE 线性各向同性导电媒质的线性各向同性导电媒质的本构关系本构关系电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场 恒定电场和静电场都是恒定电场和静电场都是有源无旋场有源无旋场，具有相同的性质。，具有相同的性质。l 恒定电场与静电场的重要区别：恒定电场与静电场的重要区别：（1 1）恒定电场可以存在于导体内部；）恒定电场可以存在于导体内部；（2 2）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗, ,要维持导体中要维持导体中的恒定

4、电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。的电场能量。 电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场二、恒定电场的电位及其方程二、恒定电场的电位及其方程0)(EEJ 恒定电场的电位函数恒定电场的电位函数0E0 EE0 J由由0)(02若媒质是均匀的，则若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中均匀导电媒质中没有体分布电荷没有体分布电荷电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场三、恒定电场的边界条件三、恒定电场的边界条件 场矢量的边界条件场矢量的边界条件0ldEC0SdJS媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1En

5、 0)(21JJn0)(21EEn2nn1JJ即即2t1tEE即即场矢量的折射关系场矢量的折射关系212n21n12n2t1n1t21/tantanJJEEEE电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场l 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度nJJDDJnnS)()()(221122211121l 电位的边界条件电位的边界条件nn221121,电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面

6、，因既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；而导体表面不是等位面；b11、a说明：说明：电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场推论推论1 电流由良导体进入不良导体时电流由良导体进入不良导体时,在不良导体里的电流线近在不良导体里的电流线近似与良导体表面垂直，即良导体表面可以近似地看作等位面似与良导体表面垂直，即良导体表面可以近似地看作等位面.媒质媒质2 2媒质媒质1 12122E1E)(12l如如两种导电媒质的电导率两种导电媒质的电导率2 2 1 1： 即，一种导电媒质为不良导体(10, 但很小), 另一种导电媒质为良导体(2很大),且且

7、 2 29090则则 1 10 0，即电场线近似垂直于与良导体表面。即电场线近似垂直于与良导体表面。 此时，良导体表面可近似地看作为等位面；此时，良导体表面可近似地看作为等位面；2121tantan电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场例如例如:177102121101010tgtg 同轴线的内外导体通常由电导率很高(107数量级)的铜或铝制成, 而填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质, 总有很小的漏电导存在。 例如, 聚乙烯的电导率为10-10数量级, 则 时当2, 0101010221727102211tgtgtgtg电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场

8、恒定电场和恒定磁场021snnEEnsE12101可见, 只要12, 分界面上必定有一层自由电荷密度。 推论推论2:2: 当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布分界面上必有电荷分布s 。 如: 两种金属媒质的分界面上, 根据D1n-D2n=s, 则得(通常认为金属的介电常数为0)nnJJ21nnEE2211电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场媒质媒质2 2媒质媒质1 12012En 1E)0(2推论推论3.3. 若媒质若媒质1为理想介质为理想介质, 媒质媒质2为导体为导体，即即 10，则则 J1=0，故故J2n=

9、0 且且 E2n= 0， 即导体中的电流和电场与分界面平行即导体中的电流和电场与分界面平行。电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场21211tnEEE 由上式可知E1不垂直导体表面, 那么导体表面不是等位面, 导体也不是等位体, 这是由于2有限, 导体中沿电流方向存在电场。 而在静电场中, 导体内电场强度为零, 介质中的场强总是垂直导体表面, 导体是等位体, 其表面是等位面。这一点, 恒定电场与静电场有根本的区别。然而2越大, E2t和E1t越小, 1也越小, 直至2=时, E1就垂直导体表面, 导体表面为等位面。 媒质媒质2 2媒质媒质1 12012En 1E)0(2电

10、磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场 例例1一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 1、 1 和和 2、 2 ，外加电压，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。 解解：极板是理想导体，极板是理想导体，为等位面，电流沿为等位面，电流沿z 方向。方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U1d2d11, 22, zo12121 12212()ddUUUEdE dJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJU121212,SSDJDJ上下21122121212112()SDDJUdd 介电磁

11、场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场 例例2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半，外导体半径为径为c，介质的分界面半径为，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为。两层介质的介电常数为 1 和和 2 、电导率为电导率为 1 和和 2 。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0 ，外导体接地。求：（，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自）介质分界面上的自由电荷面密度。由电荷面密度。J1212I外导体外导体内导体内导体介质介质2 2介质介质1a

12、bc11、22、0U电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ,则由则由 可得电流密度可得电流密度Sd,JSI()2IJeac111()2JIEeab 介质中的电场介质中的电场222()2JIEebc 解解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度由求出电流密度 的表达式，然后求出的表达式，然后求出 和和 ，再由，再由 确定出电流确定出电流 I。J

13、012ddbcabUEE1E2E电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场12021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故两种介质中的电流密度和电场强度分别为故两种介质中的电流密度和电场强度分别为120212ln()ln()UIb ac b 01212ddln( )ln( )22bcabIbIcUEEab由于由于于是得到于是得到电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场12011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221l

14、n()ln()ScUeEcb ac b 1211221221021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b nSeD （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介质介质2外表面的电荷面密度为外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为J2112I电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场四四、 静电比拟法静电比拟法D0U静电场静电场J0U恒定电场恒定电场比拟法比拟法: 用一种物理场的解来类比与其有相同数学描述的另一种物理场的解的方法.电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场恒

15、定电场与静电场的比较恒定电场与静电场的比较基本方程基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 DDEEn2n1t2t1 JJEE静电场（静电场（ 区域）区域） 00, 0ldESdJCS0, 0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）0, 0ldESdDCS电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场1. 两个场的相同数学表达式中的场量之间有一一对应的关系;2. 两种场的电位函数定义相同, 都满足拉普拉斯方程,若处于相同的边界条件下，根据唯一性定理, 电位函数必有相同的解.所以两

16、种场的等位面及电场强度分布相同,J和D矢量线的分布也相同;恒定电场与静电场是可比拟的恒定电场与静电场是可比拟的结论结论对应物理量对应物理量静电场静电场EEDJqI恒定电场恒定电场GC电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场静电比拟法静电比拟法: 在一定条件下，可以将静电场或恒定电场的计算和实验所的结果,推广应用于另一种场.D0U静电场静电场J0U恒定电场恒定电场电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场l 漏电导漏电导 工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些

17、绝缘材料的电导率远远小间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流时，必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。 漏电流与电压之比为漏电导，即漏电流与电压之比为漏电导，即UIG 其倒数称为其倒数称为绝缘电阻绝缘电阻，即，即IUGR1电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场两导体电极间的电容: 211211dlEdsEdlEdsUQCSSS两导体电极间的电导: 211211dlEdsEdlEdsJUIGSSGCl用静电比拟法求电导

18、用静电比拟法求电导1211SdsEdlEGR两导体电极间的电阻: 电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场例如1. 只要两电极之间的导电媒质与作为电极的金属材料 相比较为不良导电媒质(如土壤等), 2. 则当两电极之间的电容为已知时,导。便可得到两极之间的电，换成把 根据静电比拟法根据静电比拟法,内外电极半径为a和b的球形电容器,当其极间介质为 时:ababC4当其极间的媒质为不良导电媒质 时:ababG4电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场(1) 假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I ；(2) 计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度 矢

19、量矢量J ；(3) 由由J = E 得到得到 E ;(4) 由由 ，求出两导，求出两导 体间的电位差；体间的电位差；(5) 求比值求比值 ，即得出，即得出 所求电导。所求电导。21dlEUUIG/ 计算电导的方法一计算电导的方法一： 计算电导的方法二计算电导的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U； (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 J = E 得到得到J ; (5) 由由 ，求出两导体间，求出两导体间 电流；电流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。ESISJdUIG/ 计

20、算电导的方法三计算电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：CGCG电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场 例例3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a 、b，长长度为度为l ，其间媒质的电导率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：解法解法1:直接用恒定电场的计算方法直接用恒定电场的计算方法电导电导)/ln(2ablUIG绝缘电阻绝缘电阻ablGRln211baablIlIUln22dldElba则则IlIJ2lIJE2设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I 。电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和

21、恒定磁场恒定电场和恒定磁场解法解法2: lSdlR 用公式, , 式中dl为沿电流方向的长度元, 如图所示, S是垂直于电流方向的面积, 它可能是坐标变量的函数, 所以)/(12121mabndRba电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场 解法解法3: 静电比拟法静电比拟法则单位长度绝缘电阻是 abnGR12111电导电导)/ln(2ablUIG电容电容)/ln(2ablUQC电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场012222000, 0U 方程通解为方程通解为21CC 例例4 在一块厚度为在一块厚度为h 的导电板上，的导电板上， 由两个半径为由两个

22、半径为r1 和和 r2 的的圆弧和夹角为圆弧和夹角为 0 的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿计算沿 方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为。 解：解： 设在沿设在沿 方向的两电极之间外加电压方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿则电流沿 方向流动，而且电流密度是随方向流动，而且电流密度是随 变化的。但容易变化的。但容易判定电位判定电位 只是只是变量变量 的函数，因此电位函数的函数，因此电位函数 满足一维满足一维拉普拉斯方程拉普拉斯方程代入边界条件代入边界条件可以得到可以得到10020/,C

23、UCU环形导电媒质块环形导电媒质块r1hr2 0J电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场电流密度电流密度00UJEe两电极之间的两电极之间的电流电流21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr故故沿沿 方向的两电极之间的电阻方向的两电极之间的电阻为为0021( )ln(/ )URIhrr000UU所以所以00UEee 电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场恒定电场的计算恒定电场的计算1.直接法直接法: 假设电流假设电流 利用基本方程结合边界条件求场分布利用基本方程结合边界条件求场分布 电导或电阻电导或电阻2.间接法间接法: 求解电位的边值

24、问题，求解电位的边值问题， 求场分布：电场强度及电流密度矢量求场分布：电场强度及电流密度矢量 电导或电阻电导或电阻电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场u 接地电阻接地电阻l 接地: 将电气设备的某一部分和大地连接.l 保护接地: 为了保护工作人员的安全,并使设备可靠地工作而接地;l 工作接地:1.1. 利用大地作为传输导线,或者消除设备的导电部分对地电压的升高而接地. 接地体:埋在地里的导体或导体系统. 接地电阻:电流由设备经接地体流向大地和电流流经大地时遇到的电阻.电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场 例例 5 试计算如图所示的深埋在地下的铜球

25、的接地电阻, 设铜球的半径为a。 电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场解解:rrIJ42大地中任一点的电流密度为 电场强度为 rrIJE42铜球至无限远处电压是(认为电流流至无限远处) aIrdrIrdEUaa442所以接地电阻是 )(41aIUR式中是土壤的电导率。 电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场4.2 4.2 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件1. 基本方程基本方程0HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlHBH本构关系：本构关系：积分形式积分形式: :电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场

26、和恒定磁场2. 边界条件边界条件SJHHnBBn)(0)(2121SJHHBBt2t12n1n0或或若分界面上不存在面电流，即若分界面上不存在面电流，即JS0，则，则0)(0)(2121HHnBBn或或002tt1n2n1HHBB电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场 磁场经过媒质分界面时要突变, 包含方向的改变式中1、2分别为磁场强度与交界面法线方向的夹角212121rrtgtgu 时界面两侧场量方向与媒质磁导率的关系时界面两侧场量方向与媒质磁导率的关系 0sJ0sJ当 时,电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场4.3 恒定磁场的矢量磁位1. 矢量

27、磁位的定义矢量磁位的定义 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 由由0BBA 即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。 磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。造成的。 为了得到确定的为了得到确定的A，可以对，可以对A的散度加以限制，在恒定磁场中的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为通常规定，并称为库仑规范库仑规范。0A矢量磁位或称磁矢位矢量磁位或称磁矢位电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场2、矢量磁位的微分方程、矢量磁位的微分方程在无源区：在无源区：AB0

28、A 0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ JB电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场3、矢量磁位的表达式矢量磁位的表达式3( )1( )d( )()d44VVJ rRB rVJ rVRR 1( )()d4VJ rVR ()111()()()()()()J rJ rJ rJ rRRRR 31()RRR （可以证明满足（可以证明满足 ） 0A由此可得出由此可得出VVRrJrAd)(4)(电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分

29、别为 利用磁矢位计算磁通量：利用磁矢位计算磁通量：细线电流细线电流：CRlIrAd4)(面电流面电流：SSSRrJrAd)(4)(CSSlASASBddd电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场4、矢量磁位的边界条件矢量磁位的边界条件0A 12AAn12()SeHHJ/HAn121211()SeAAJSCSBlAdd0SSA d2t1tAA 2n1nAA电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场 解解：先求长度为：先求长度为2L 的直线电流的磁矢位。电流元的直线电流的磁矢位。电流元 到点到点 的距离的距离 。则。则22()RzzddzI le I z( ,

30、 , )Pz 0221( )d4()LzLIA rezzz220ln() 4LzLIezzzz 22022()()ln4()()zzLzLIezLzL 例例 6 求无限长线电流求无限长线电流 I 的磁矢位，设电流沿的磁矢位，设电流沿+z 方向流动。方向流动。与计算无限长线电荷的电位一样，令与计算无限长线电荷的电位一样，令 可得到无限长线电流可得到无限长线电流的磁矢位的磁矢位 L xyzL-L( , , ) z zddzI le I zR电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场4.4 电感电感Inductance1. 一、一、 磁通与磁链磁通与磁链 ii 单匝线圈形成回路的单

31、匝线圈形成回路的磁链磁链定定义为穿过该回路的义为穿过该回路的磁通磁通量量 多匝线圈形成的导线回路的多匝线圈形成的导线回路的磁链磁链定义为所有线圈的定义为所有线圈的磁通总和磁通总和 CI 细回路细回路 粗导线构成的回路，粗导线构成的回路，磁链分为磁链分为 两部分两部分：一部分是粗导线包围：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的的、磁力线不穿过导体的外磁通量外磁通量 o ；另一部分是磁力线穿过；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量内磁通量 i。 iCI o粗回路粗回路电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场二、电 感 与

32、回路交链的磁通总量与回路交链的磁通总量( (磁链磁链) )和与产生该磁链的电流之比值和与产生该磁链的电流之比值. .IL*电感取决于导线回路的形状、大小、材料及周围媒质的磁导率等。电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场 自感自感（记为（记为L）:1. 回路交链的磁链为本身回路上的电流所产生回路交链的磁链为本身回路上的电流所产生, 总是正值总是正值; 互感互感（记为（记为M）:1. 回路交链的磁链是别的回路上的电流所产生回路交链的磁链是别的回路上的电流所产生, 有可能为负值有可能为负值;2. 互感是互易的互感是互易的;电电 感感自感互感2112MM电磁场电磁场第第4章章 恒

33、定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场三、自感三、自感 设回路设回路 C 中的电流为中的电流为I ，所产生的磁场与回路，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链交链的磁链为为 ，则磁链，则磁链 与回路与回路 C 中的电流中的电流 I 有正比关系，其比值有正比关系，其比值IL称为回路称为回路 C 的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。 外自感外自感ILiiILoo 内自感；内自感；粗导体回路的自感：粗导体回路的自感：L = Li + Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。电流无关。 自感的特点自感的特点：电磁场电磁场第

34、第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场*多匝回路的电多匝回路的电 感感N匝密绕线圈 1l1S通过单匝回路所围面积的磁通量:dsBs11通过多匝导体回路所围面积的磁通量，即磁链为321321dsBdsBdsBsss若N匝密绕，各匝交链的磁通量相同，则磁链为dsBNNs11该密绕线圈的全磁通 (磁链) 为 N电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场内自感与外自感如图所示, 同轴线的横截面，内导体通过直流I，它与外导体（流过反向直流I）构成导体回路。 0baIIeL 即, 通过ab区域的磁通为外磁链,它与内导体中的全部电流交链。 在该区域:2IzB 故轴向长度为l时外磁链

35、为abIlIdzbaloeln22对应的外自感外自感:ablILeeln2*外自感外自感导体外部的磁链称为外磁链外磁链，用 表示,由它计算的自感称为外自感外自感e电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场*内自感内自感u通过导体内部的磁链称为内磁链，用通过导体内部的磁链称为内磁链，用 表示表示 ; ;u由内磁链算出的自感称为内自感由内磁链算出的自感称为内自感 。 即, 通过a区域的磁通为内磁链,它只与内导体中的部分电流交链。 在a处通过轴向长度l、宽d的矩形面元的元磁通为ldaIdsBdoii212与该元磁通交链的电流不是I，而是它的一部分IIaaII2222iiL0baII

36、电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场22aIIN相当于1 id所交链的匝数N小于1，即元磁链为ldaIaNddoii22212长为l的导体内磁链为82034IldaIldaooili故长l的圆柱导体内自感为8lILoii由上，长l的同轴线自感为abllLLLoeiln28电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场 例例7 解解：先求内导体的内自感。设同轴：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为线中的电流为I ，由安培环路定理，由安培环路定理0ii22,22IIHBaa穿过沿轴线单位长度的矩形面积元穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS = d的磁通为的磁通

37、为0ii2ddd2IBSa (0)a求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导体厚度，外导体厚度可忽略不计，其半径为可忽略不计，其半径为b，空气填充。，空气填充。得得与与di 交链的电流为交链的电流为22IIa 则与则与di 相应的磁链为相应的磁链为30ii4ddd2IIIaabadIiB2222idaIaIIlHC电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场因此内导体中总的内磁链为因此内导体中总的内磁链为300ii40dd28aIIa0ii8LI故故单位长度的内自感单位长度的内自感为为再求内、外导体间的外自感。再求内、外导体间的外自感

38、。00ooddln22baIIba00ioln82bLLLa02IB0ooddd2I则则o0oln2bLIa故故单位长度的外自感单位长度的外自感为为单位长度的总自感单位长度的总自感为为电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场 例例8 设同轴线内导体半径为a(m), 外导体内半径为b(m), 外半径为c(m)。同轴线所用材料磁导率均为0(H/m)。试计算同轴线单位长度的总自感。 计算同轴线总自感 电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场解解 801iLabnIdIbae121200所以外自感是 abnILee120 计算外导体的内自感, 应首先计算外导体中

39、的磁通密度B, 及穿过其单位长度纵截面的磁通量, 由安培环路定律得 22220)(2bcbIIB电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场1222220bcbIB所以 22220222222121bcbIbcbNddii式中N为交链匝数, 穿过外导体纵截面单位长度磁通量是 bcncbccbcbcIdcbcIdIbcbdcbcbii14)(4)()(8)()(2214222442220222222002222222电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场bcncbccbcbcILii14)(4)()(8422244222022同轴线单位长度总自感是 )/(2

40、1mHLLLLiei电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场例例9 计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半径为计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半径为a ，两导线的间距为两导线的间距为D ，且，且 D a 。导线及周围媒质的磁导率为。导线及周围媒质的磁导率为0 。00o11d()dln2DaaIIDaBSxxDxa011( )()2yIB xexDx穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为 解解 设两导线流过的电流为设两导线流过的电流为I 。由。由于于D a ，故可近似地认为导线中的，故可近似地认为导

41、线中的电流是均匀分布的。应用安培环路定电流是均匀分布的。应用安培环路定理和叠加原理，可得到两导线之间的理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点平面上任一点P 的磁感应强度为的磁感应强度为xyzxDaPII电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场于是得到平行双线传输线于是得到平行双线传输线单位长度的外自感单位长度的外自感o00olnlnD aDLIaa00ioln4DLLLa00i284L 两根导线两根导线单位长度的内自感为单位长度的内自感为故得到故得到平行双线传输线单位长度的自感为平行双线传输线单位长度的自感为电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场

42、 四四、 互感互感 对两个彼此邻近的闭合回路对两个彼此邻近的闭合回路C1 和回路和回路 C2 ，当回路，当回路 C1 中通过中通过电流电流 I1 时，不仅与回路时，不仅与回路 C1 交链的交链的磁链与磁链与I1 成正比，而且与回路成正比，而且与回路 C2 交链的磁链交链的磁链 12 也与也与 I1 成正比，其成正比，其比例系数比例系数12121IM 称为称为回路回路 C1 对回路对回路 C2 的互感系数，简称互感。的互感系数，简称互感。21212IM 同理，回路同理，回路 C2 对回路对回路 C1 的互感为的互感为C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁

43、场恒定电场和恒定磁场 互感的特点：互感的特点： 互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关。磁介质有关，而与电流无关。 满足互易关系，即满足互易关系，即M12 = M21 当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互 感系数感系数 M 为正值；反之，则互感系数为正值；反之，则互感系数 M 为负值为负值。电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场五、纽曼公式五、纽曼公式 如图所示的两个如图所示的两个回路回路 C1 和回路和回路

44、C2 ，回路回路 C1中的电流中的电流 I1 在回路在回路 C2 上的任一上的任一点产生的矢量磁位点产生的矢量磁位1110214)(CRlIrAd回路回路 C1中的电流中的电流 I1 产生的磁场与回路产生的磁场与回路 C2 交链的磁链为交链的磁链为C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r纽曼公式纽曼公式 2121210121dd4dCCCRllIlA同理同理 2112021dd4CCRllM故得故得 1221012dd4CCRllM 122101221dd4CCRllMMM电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场 例例10 设一根无限长细直导线与一个直角三角形的导线框在同一平面内, 一边相互平行, 如图 所示。 试计算直导线与三角形导线间的互感。 xyz电磁场电磁场第第4章章 恒定电场和恒定磁场恒定电场和恒定磁场 解解 假设细长直导线中通有电流I, 计算穿过三角形导线框中的磁通, 由安培环路定律可得 zxIB20则穿过三角形框的磁通是 ydxz