《数学物理方法》第六章_勒让德函数

1、篇特殊函数与狄拉克d函数本篇介绍勒让德(Legendre)函数，贝塞尔(Bessel)函数;狄拉克(Dirac)d函数的来源、定义和性质第6章 勒让德函数本章首先求出勒让德方程和关联勒让德方程的有界解(称为相应方程的本征函数)，进而给出它们的微分表达式，积分表达式，母函数，递推公式，正交性、正交归一关系式与完备性等 6.1 勒让德方程与勒让德多项式本节首先介绍二阶线性齐次常微分方程的级数解法，随后求出勒让德方程的通解，舍去不符合有界性条件的特解，最后规定最高次幂项系数，即得勒让德多项式4 6.1.1 二阶线性齐次常微分方程的级数解法二阶线性齐次常微分方程的级数解法l二阶线性齐次常微分方程的标准

2、形式是二阶线性齐次常微分方程的标准形式是l式中式中w(z)是待求的复变函数是待求的复变函数; p(z)和和q(z)是已是已知的复变函数，称为方程的系数知的复变函数，称为方程的系数l一般来说，方程在复平面的不同区域的解可一般来说，方程在复平面的不同区域的解可以有不同的形式通常的间题是：求方程在以有不同的形式通常的间题是：求方程在某点某点z0的邻域内满足一定条件的邻域内满足一定条件如初始条件如初始条件w(z0) = C0 , w (z0) = C1 的解的解5l级数解法对方程没有特殊的要求它的级数解法对方程没有特殊的要求它的基本方法是：把方程的解表示为以基本方法是：把方程的解表示为以z0为为中心、

3、带有待定系数的幂级数，将这个中心、带有待定系数的幂级数，将这个幂级数代入方程及定解条件，求出所有幂级数代入方程及定解条件，求出所有待定系数即可待定系数即可l方程方程(6.1.1)的解的形式由方程的系数的解的形式由方程的系数p(z)及及q(z)的解析性决定的解析性决定6常点、正则奇点、非正则奇点常点、正则奇点、非正则奇点l如果如果p(z)和和q(z)在在z0点的邻域解析，点的邻域解析， z0称为方称为方程的程的常点常点；l如果如果z0最多是：最多是： )p(z)的一阶极点，的一阶极点，) )q(z) 的二的二阶极点，阶极点， z0称为方程的称为方程的正则奇点正则奇点； 注：注： )或或)=)=

4、)和和) ) l如果如果z0不满足上面两种条件，则不满足上面两种条件，则 z0称为方程称为方程配配非正则奇点非正则奇点。7定理定理1l在常点在常点z0的邻域的邻域|z- z0|R内，方程内，方程(6. 1. 1)有唯一满足初始条件初始条件有唯一满足初始条件初始条件w(z0) = C0 , w (z0) = C1 的幂级数解的幂级数解(6.1.2)8定理定理2 在正则奇点在正则奇点z0的邻域的邻域|z-z|R内，方程的内，方程的解为解为C00 ， D00。lr r1和和r r2称为方程的指标方程称为方程的指标方程9指标方程的确定：将指标方程的确定：将l代入方程代入方程(6.1.1)，由最低次幂项

5、的系数和为，由最低次幂项的系数和为零得到零得到r r的方程的方程(称为指标方程称为指标方程)，方程的两个，方程的两个根就是根就是r r1和和r r2(取取r r1 r r2)lw2 2(z) 含或不含对数项，取决含或不含对数项，取决 r r1和和r r2是否为零是否为零与整数；系数与整数；系数a是否为零而定是否为零而定10定理定理1和定理和定理2的证明见有关专著的证明见有关专著l本篇将用两个非常重要的例子说明二阶线本篇将用两个非常重要的例子说明二阶线性齐次常微分方程的级数解法性齐次常微分方程的级数解法u第第6章以勒让德方程为例章以勒让德方程为例(在常点的邻域求解在常点的邻域求解)，u第第7章以

6、贝塞尔方程为例章以贝塞尔方程为例(在正则奇点的邻域在正则奇点的邻域内求解内求解)l若讨论的方程是实数方程，自变量可用若讨论的方程是实数方程，自变量可用x表表示，函数可用示，函数可用y表示，即方程表示，即方程(6. 11)可改可改写为写为y (x)p(x)y (x)q(x)y(x)0 (6. 1. 5)11 6.1.2 勒让德方程的本征值问题勒让德方程的本征值问题l二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程(1- -x2)y (x)- -2xy (x)- -l(l+ +1)y(x)0 - -1x1 (6.1.6)l称为勒让德方程称为勒让德方程l方程中的方程中的 l(l+ +1)=l l 是待定

7、参数是待定参数l y(x)是待求函数是待求函数12在在x=0的邻域求勒让德方程的有界解的邻域求勒让德方程的有界解l在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称为勒让德方程的本征值问题方程中的参数为勒让德方程的本征值问题方程中的参数l(l+ +1)=l l称为本征值，方程的解称为本征值，方程的解y(x)称为本征称为本征函数函数l理论和实例都可以证明理论和实例都可以证明(见见11.4节节)，不是，不是l l 取取任何值时方程都有非零解任何值时方程都有非零解l因此，求解勒让德方程的本征值问题可以归因此，求解勒让德方程的本征值问题可以归结为求解本征值结为求解本征值l l

8、 = l(l+ +1) 与本征函数与本征函数y(x).131. 级数解的形式级数解的形式l可见，可见，x=0是方程的常点方程的解具有形是方程的常点方程的解具有形式式l为了讨论系数的解析性质，以判定为了讨论系数的解析性质，以判定z0=0是方程的是方程的常点、正则奇点还是非正则奇点，必须将常点、正则奇点还是非正则奇点，必须将p(x)及及q(x)分别延拓为分别延拓为l但为叙述与书写方便，仍采用但为叙述与书写方便，仍采用xz z的记号的记号14 2. 系数递推公式系数递推公式l 由此得系数递推公式由此得系数递推公式 153. 由递推公式求系数，得通解由递推公式求系数，得通解 16勒让德方程的通解可表示

9、为勒让德方程的通解可表示为l它们是勒让德方程的两个线性无关的特解它们是勒让德方程的两个线性无关的特解174. 有界解的要求，自然边界条件有界解的要求，自然边界条件l现在以现在以y0(x)为例，求级数的收敛半径为例，求级数的收敛半径 令令u=x2，则，则级数级数Y0(u)相邻两项的系数分别为相邻两项的系数分别为Cn和和Cn-2由由式式(6. 1. 10)可得可得18 这表明，在这表明，在x=1处，两级数是发散的处，两级数是发散的19物理量总是有界的物理量总是有界的l因此，在求解勒让德方程时，要求解在因此，在求解勒让德方程时，要求解在x=1有界，并把有界，并把“解在解在x=1有界有界”的的条件称为

10、勒让德方程的条件称为勒让德方程的自然边界条自然边界条件件l为了得到在闭区间为了得到在闭区间-1,1内有界的解，必内有界的解，必须研究在什么条件下，这两个无穷级数须研究在什么条件下，这两个无穷级数才能中断为多项式才能中断为多项式.205. 本征值与本征函数本征值与本征函数l从系数递推公式从系数递推公式(6.1.9), 若若l为偶数：为偶数：l =2n(n为为正整数正整数)，则级数，则级数y0(x) 将到将到x2n项为止将项为止将k=l=2n代入式代入式(6.1.9)，易见，易见x2n+2项的系数为项的系数为l重复应用式重复应用式(6. 1. 9)，可证，可证C2n+4, C2n+6, 均为均为零

11、。零。 y0(x)的最高次幂为的最高次幂为x2n= xll根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的解，取常数解，取常数C1 =0，则勒让德方程的解为，则勒让德方程的解为(6.1.16) 21l同理，若同理，若l为奇数：为奇数：l=2n+1(n为正整数为正整数)，则级，则级数数y1(x)到到x2n+1项为止将项为止将k=l=2n+1代入式代入式(6. 1. 9)，即得，即得x2n+3项的系数为项的系数为l重复应用式重复应用式(6. 1. 9)，可证，可证C2n+5, C2n+7, 均为均为零。零。 y1(x)的最高次幂为的最高次幂为x2n+1= xl 类似地，

12、类似地，取常数取常数C0=0，则勒让德方程的解为，则勒让德方程的解为22l因此，无论因此，无论 l 为偶数还是奇数，勒让德为偶数还是奇数，勒让德方程的解都方程的解都中断中断为为 l 次的多项式次的多项式(6.1. 16)或式或式(6. 1.17)，因而在，因而在x=1保持有保持有界这表明本征值界这表明本征值l l=l(l+1)，l=0,1,2,l本征函数本征函数y(x)如式如式(6.1.16)或式或式(6.1.17)所示所示236.1.3 勒让德多项式勒让德多项式l勒让德方程是线性齐次方程，将式勒让德方程是线性齐次方程，将式(6. 1.16)，式式(6.1.17)乘以任意常数仍为勒让德方程的解

13、乘以任意常数仍为勒让德方程的解l历史上为了让这个多项式与函数历史上为了让这个多项式与函数(1-2xt+t2)- -1/2的展开系数一致，选择最高次幂项的系数的展开系数一致，选择最高次幂项的系数Cl为为l再利用系数递推公式再利用系数递推公式(6. 1.9)求出低次幂项的求出低次幂项的系数，得到的多项式称为勒让德多项式，记系数，得到的多项式称为勒让德多项式，记作作Pl(x)24将式将式(6. 1.9)以以Ck表示表示Ck+2改为以改为以Ck+2表示表示Ck 2526为了简洁地表示勒让德多项式，采用了我们在为了简洁地表示勒让德多项式，采用了我们在1.1节已用过的简写记号节已用过的简写记号 (6.1.

14、20) 27s = 0对应最高次幂对应最高次幂 x = l,而而s= l/2 对应最低次对应最低次幂：若幂：若 l 为偶数为偶数,对应对应 x 零次幂；若零次幂；若 l 为奇数，为奇数，则对应于则对应于 x 壹次幂。由式壹次幂。由式(6. 1.20)可求出头几可求出头几个勒让德多项式：个勒让德多项式：28勒让德多项式的函数曲线如图勒让德多项式的函数曲线如图6. 1所示所示 29由式由式(6. 1.20)可以直接得到关于可以直接得到关于Pl(x)的奇偶性的奇偶性及若干特殊值：及若干特殊值：(1) 奇偶性奇偶性Pl(- -x) (- -1)l Pl(x) (6.1.22)l这直接用这直接用- -x

15、替代式替代式(6. 1.20)中的中的x，利用，利用(- -x)l-2-2s =(- -1)l (- -x)l-2-2s 可得可得30(2) Pl(0)的特殊值的特殊值l鉴于勒让德多项式的级数表示过于复杂，不便使用，鉴于勒让德多项式的级数表示过于复杂，不便使用，人们常利用它的微分表达式和积分表达式人们常利用它的微分表达式和积分表达式31作业作业- 6.1 第第128页页Group CGroup BGroup A6.1.16.1.26.1.36.2 勒让德多项式的微分与积分表达式母函数与递推公式勒让德多项式 微分表达式-罗德里格斯(Rodrigues)公式; 母函数; 积分表达式施列夫利公式和拉

16、普拉斯积分 递推公式336.2.1 勒让德多项式的微分表达式勒让德多项式的微分表达式罗德里格罗德里格斯公式斯公式l证明证明 从罗德里格斯公式右边出发来证从罗德里格斯公式右边出发来证明二项式展开定理为明二项式展开定理为 34对对(x2-1)l求求l阶导数后除以阶导数后除以(2ll!)得到得到l为何求和指标的最大值为为何求和指标的最大值为l/2，因为对于指，因为对于指数数(2l-2s)l的项，在求的项，在求l 阶导数后均为零，故：阶导数后均为零，故：只含只含(2l-2s) l的项，即：的项，即：s l/2的项这样当的项这样当 l为偶数时，为偶数时，l/2为最大值；为最大值； l为奇数时，为奇数时，

17、(l-1)/2为最大值。用简写符号表示就是为最大值。用简写符号表示就是 l/235在等式右边的分子分母中同乘以在等式右边的分子分母中同乘以(l-2s)！，有！，有l罗德里格斯公式得证罗德里格斯公式得证36 6.2.2 勒让德多项式的母函数勒让德多项式的母函数l若函数若函数w(x,t)的泰勒级数为的泰勒级数为l则则w(x,t)称为称为Pl(x)的母函数的母函数(或生成函数或生成函数)l勒让德多项式的母函数为勒让德多项式的母函数为l式中规定多值函数的单值分支为式中规定多值函数的单值分支为.37将将x看作参数看作参数,w(x,t)作为作为t的函数在的函数在|t|1解析解析今在今在|t|1 的圆内将它

18、展开为泰勒级数，可证明的圆内将它展开为泰勒级数，可证明展开系数为展开系数为l奇点奇点 的的|t12|1证明证明 (1)在在|t|1内，将内，将w(x,t)展开为泰勒级数展开为泰勒级数其中其中al为泰勒系数为泰勒系数, C为在为在|t|1内包围内包围t=0点的回路点的回路38(2)为证明为证明al =Pl(x)，作变换，作变换(u为复变数为复变数) 39代入代入al ，便有，便有 其中其中u平面的曲线平面的曲线C 是在式是在式(6.2.5)的变换下的变换下t平面曲线平面曲线C的像当的像当t=0时，由式时，由式 (6.2.6)得到得到u=x.既然既然t=0在在曲线曲线C的内部，因此的内部，因此u=

19、x在曲线在曲线C 的内部的内部l(3)应用高阶导数公式计算式应用高阶导数公式计算式(6.2.7)的积分的积分(6.2.8) l最后的等式是罗德里格斯公式将式最后的等式是罗德里格斯公式将式(6.2.8)代入泰代入泰勒级数，即得式勒级数，即得式(6.2.4).40 6.2.3 勒让德多项式的积分表达式勒让德多项式的积分表达式l勒让德多项式有两个积分表达式，分别称为勒让德多项式有两个积分表达式，分别称为施列夫利施列夫利(Schlfli)公式公式和和拉普拉斯积分拉普拉斯积分1.施列夫利公式施列夫利公式l将将al Pl(x)代入式代入式(6.2.7)，即施列夫利公式，即施列夫利公式 式中式中u=x在曲线

20、在曲线C 的内部的内部2.拉普拉斯积分拉普拉斯积分41拉普拉斯积分证明拉普拉斯积分证明l在施列夫利公式中，取在施列夫利公式中，取u平面的回路平面的回路C 为以为以x为圆心为圆心 ， 为半径的圆周，则为半径的圆周，则42l将以上各式代人施列夫利公式，即将以上各式代人施列夫利公式，即得拉普拉斯积分得拉普拉斯积分43【例例6.2.1】试由拉普拉斯积分证明勒让试由拉普拉斯积分证明勒让德多项式的特殊值德多项式的特殊值Pl(1) =1, =1, Pl(- -1) = = (- -1)l 6.2.11)l解解 分别将分别将x =1代入拉普拉斯积分，得代入拉普拉斯积分，得44【例例6.2.2】试由拉普拉斯积分

21、证明试由拉普拉斯积分证明 |Pl(x)|1 1 (6.2.12)l证明证明 将将x = cosq q 代入拉普拉斯积分，并利用代入拉普拉斯积分，并利用复变积分的性质复变积分的性质5，便有，便有456.2.4 勒让德多项式的递推公式勒让德多项式的递推公式在积分过程中在积分过程中, 常用到以下几个递推公式常用到以下几个递推公式(l 1):46递推公式的证明方法：递推公式的证明方法：(1)母函数关系式为母函数关系式为l对对t求导得求导得l两边乘以两边乘以(1- -2xt+ +t2)，再将母函数关系式代入，再将母函数关系式代入左边，即有左边，即有l两边比较两边比较 t l 的系数的系数(l11)，即得

22、式，即得式(6.2.13) 47llllllllllllllllllllllllllllllllltxPltxxPltxPltxPltxxPltxPltxPltxPxtxPltxPtxPx)()() 12()() 1()() 1()() 12()()()(2)()()(111111001021001110010-=+=+=-=+-=+-=+=+-+=+-+-=-48 (2)由母函数关系式由母函数关系式(6.2.18)两边对两边对x求导，求导，再与式再与式(6.2.19)联立，可得联立，可得比较等式两边比较等式两边t l的系数，即得式的系数，即得式(6.2.14) )()()()()()()()

23、()(111111000 xPxPxxlPtxPtxPxtxPltxPtxPxtxPllllllllllllllllllllll-=+=-=-=-=4950l其他证明方法？其他证明方法？ 5152作业作业- 6.2 第第132页页Group AGroup BGroup C6.2.36.2.46.2.26.2.46.2.16.2.46.3 勒让德多项式的 正交性与完备性在介绍“正交性”含义的基础上，证明勒让德多项式的正交性；计算勒让德多项式的模, 导出勒让德多项式的正交归一关系式；在介绍“完备性”含义的基础上，给出以Pl(x)为基将函数f (x)展开为广义傅里叶级数的条件，以及计算广义傅里叶系数

24、的公式54 6.3.1 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式勒让德多项式的正交性与正交归一关系式1“正交性正交性”与与“正交归一关系式正交归一关系式”浅析浅析 (1)、三维欧几里得、三维欧几里得(Euclid)空间空间三维欧几里得空间的基矢三维欧几里得空间的基矢i，j，k如果用如果用 ek 或或 ek (k，n1，2，3)表示，则有表示，则有l因为因为e1 e2(即即i j)，故有，故有e1e2 =0 ，式，式(6.3.1)表表明明e1与与e2互相垂直，即正交互相垂直，即正交l又因又因ele1=e2e2=e3e3=1,表明它们自身通过点表明它们自身通过点积积“”的运算等于的运算等于1,称为归一

25、称为归一公式公式(6.3. 1)称为基矢系称为基矢系ek的正交归一关系式的正交归一关系式55(2) 函数空间函数空间(以三角函数为例以三角函数为例)l利用积化和差公式容易证明利用积化和差公式容易证明(6.3.2) (6.3.3) 的正交归的正交归一关系式一关系式 56l解解 利用利用el 点乘第一式得点乘第一式得57其实，不用这样麻烦：只要比较等式两边其实，不用这样麻烦：只要比较等式两边 ek 或或cos(kp px/l)的系数就可。它的根据就是上面介绍的系数就可。它的根据就是上面介绍的正交归一关系式的正交归一关系式582. 勒让德多项式的正交性勒让德多项式的正交性lPl(x)及及Pk(x)分

26、别是方程分别是方程l 阶及阶及k 阶方程的特解阶方程的特解l证明证明 改写勒让德方程改写勒让德方程 (6.1.6)(1- -x2)y“(x)- -2xy (x)- -l(l+ +1)y(x)0 59l用用Pk(x)乘以第一式、乘以第一式、 Pl(x)乘以第二式后相乘以第二式后相减，然后再对减，然后再对x作定积分，即有作定积分，即有60对前两项作分部积分：对前两项作分部积分：lkll，故式中方括号不为零，即得，故式中方括号不为零，即得(6.3.4)式式0互相抵消互相抵消61 3. 勒让德多项式的模勒让德多项式的模l矢量矢量A的模定义为的模定义为 l如果将矢量的点积如果将矢量的点积“ ” ” 换为

27、换为 积分区间为积分区间为Pl(x)的定义域，即得的定义域，即得Pl(x)的的模的定义模的定义 可证明可证明 62证明证明 思路思路 用两种方式计算母函数平方在用两种方式计算母函数平方在-1,1-1,1区间上对区间上对x的积分，然后进行比较的积分，然后进行比较(1)、利用勒让德多项式的正交性、利用勒让德多项式的正交性(只有只有k=l 时积时积分才不为零分才不为零)可得可得(2)、利用展开式、利用展开式(见例见例3.3.6-P64)63 将式将式(6.3.6)与式与式(6.3.7)联立，得联立，得 l因为式因为式(6.3.8)在在|t|1区域内点点成立，可知区域内点点成立，可知t的同次幂项系数必

28、须相等，即的同次幂项系数必须相等，即 64由此得勒让德多项式的模由此得勒让德多项式的模654.勒让德多项式的正交归一关系式勒让德多项式的正交归一关系式l综合式综合式(6.3.4)和式和式(6.3.9)，得，得66 6.3.2 勒让德多项式的完备性勒让德多项式的完备性1. “完备性完备性”浅析浅析(1)、三维欧几里得空间、三维欧几里得空间l三维欧氏空间中三维欧氏空间中e1,e2,e3构成一个完备系，是构成一个完备系，是指不存在任何矢量与指不存在任何矢量与e1,e2,e3都正交；都正交；l三维空间的任一矢量三维空间的任一矢量A均可用均可用 ek (k=1,2,3)展展开为开为l二维空间中二维空间中

29、el与与e2构一个完备系，是指在二维构一个完备系，是指在二维空间中不存在任何矢量与空间中不存在任何矢量与 el , e2都正交因而都正交因而二维空间的任一矢量二维空间的任一矢量B均可用均可用ek (k=1,2)展开展开为为67l那么，在三维空间中那么，在三维空间中el与与e2是否构成完备系呢？是否构成完备系呢？l在三维空间中可以找到在三维空间中可以找到e3 ，与，与el , e2都正交都正交l因此，三维空间的任意矢量不能用因此，三维空间的任意矢量不能用el , e2来展来展开，如开，如l可见，在三维空间中可见，在三维空间中el与与e2就不构成完备系就不构成完备系(缺了一个基矢，不完备了缺了一个

30、基矢，不完备了)68(2)函数空间函数空间(以三角函数为例以三角函数为例)l三角函数系三角函数系 也构成一个完备系也构成一个完备系 l高等数学已证明，在高等数学已证明，在-11内，若内，若f(x)满足连续满足连续或只有第一类间断点或只有第一类间断点(指指f(x)在该点的跃度有在该点的跃度有限限)，在区间内仅有有限个极大及极小值，则，在区间内仅有有限个极大及极小值，则可展开为傅里叶级数可展开为傅里叶级数 (6.3. 15) 69l这表明，三角函数系这表明，三角函数系(6.1.15)的每一个函数的每一个函数 可以看作函数空间的可以看作函数空间的“基矢基矢”，满足一定条，满足一定条件的函数件的函数f

31、(x)可以用这个函数系作为基来展开，可以用这个函数系作为基来展开，这显示了函数系这显示了函数系(6.3. 15)的完备性的完备性702.勒让德多项式勒让德多项式Pl(x)的完备性的完备性l若函数若函数 f(x)在在-1,1-1,1上有连续的一阶导数和分上有连续的一阶导数和分段连续的二阶导数，则段连续的二阶导数，则f(x)在在-1,1-1,1上可以展上可以展开为绝对且一致收敛的级数开为绝对且一致收敛的级数 称为广义傅里叶级数。称为广义傅里叶级数。 lPl(x)可以作为广来傅里叶级数展开的基，可以作为广来傅里叶级数展开的基，表明表明Pl(x)是完备的。是完备的。 71l用用Pk(x)乘以乘以(6.

32、3.17)式两端后，对式两端后，对x从从-1到到1积积分，并利用正交归一关系式分，并利用正交归一关系式(6.3.12)，可得，可得 l将上式两端的将上式两端的 k用用l 表示，即有表示，即有(6.3.19) (6.3.18) 72【例例6.3.2】试将试将f(x)=x3展开为广义傅里展开为广义傅里叶级数叶级数l解解 由于由于Pl(x)是是l 次多项式，次多项式， f(x)=x3是奇函数，是奇函数，最高次幂为三次，故最高次幂为三次，故 f(x)可按可按P1(x)及及P3(x)展展开为广义傅里叶级数。开为广义傅里叶级数。l本题可采用如下三个方法：本题可采用如下三个方法：73(方法一方法一)l按式按

33、式(6.3.19)求展开系数后代入式求展开系数后代入式(6.3.17)74(方法二方法二)l由式由式(6.3.17)两边两边x的同次幂项系数相等求展的同次幂项系数相等求展开系数将开系数将P1(x)及及P3(x)代入代入l由此得与方法一相同的结果由此得与方法一相同的结果75（方法三）利用习题（方法三）利用习题6.3.1的结论的结论l代入式代入式(6.3.19)计算，亦得相同的结果计算，亦得相同的结果76作业作业- 6.3 第第138页页Group CGroup BGroup A6.3.2(1)6.3.3(3)6.3.16.3.2(2)6.3.3(2)6.3.16.3.2(3)6.3.3(1) 6

34、.3.46.4 关联勒让德方程与 关联勒让德函数本节首先求出关联勒让德方程的有界解(关联勒让德函数)及其微分表达式微分表达式随后计算关联勒让德函数的模，并给出它的正交归一正交归一关系式，接着介绍它的四个基本递推公四个基本递推公式式最后，以关联勒让德函数为基将满足一定条件的函数展开为广义傅里叶级数广义傅里叶级数，并给出广义傅里叶系数的计算公式广义傅里叶系数的计算公式78 6.4.1 关联勒让德方程的有界解关联勒让德方程的有界解l二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程 称为关联勒让德方程称为关联勒让德方程l现在，尝试用级数解法在现在，尝试用级数解法在x=1的邻域求解关的邻域求解关联勒让德方程

35、由于联勒让德方程由于x=1是是 79故故x =1是关联勒让德方程的正则奇点是关联勒让德方程的正则奇点l在正则奇点在正则奇点x =1的邻域内，方程的解具有的邻域内，方程的解具有式式(6.1.3)，式，式(6.1.4)给出的形式。给出的形式。l令令l代入方程代入方程 (6.4. 1)，由，由(x1)的最低次幂项系的最低次幂项系数和为零得到指标方程为数和为零得到指标方程为4r r2-m2= 0.l从而求得方程的指标从而求得方程的指标r r = m/2。但进一步将。但进一步将指标代入求系数时，却发现系数递推公式中指标代入求系数时，却发现系数递推公式中出现三个待定系数，求解比较复杂出现三个待定系数，求解

36、比较复杂80l可见直接采用级数法求解关联勒让德方程并可见直接采用级数法求解关联勒让德方程并非好方法有没有其他捷径呢？非好方法有没有其他捷径呢？ l考虑到考虑到m=0时，关联勒让德方程就简化为勒时，关联勒让德方程就简化为勒让德方程这样，通过这两个方程的联系应让德方程这样，通过这两个方程的联系应当可以找到这两个方程的解的联系当可以找到这两个方程的解的联系81 现在分别讨论现在分别讨论m 0及及m0的情形：的情形：(1) m 0的情形的情形l因为因为Pl(x)是勒让德方程的解，故有是勒让德方程的解，故有 (6.4.2)l将上式对将上式对x求求m阶导数，阶导数，82利用莱布尼茨公式利用莱布尼茨公式l这

37、就是这就是 所满足的方程所满足的方程l计算式计算式(6.4.3)的第一项与第二项的第一项与第二项(见本节习题见本节习题)后，方程后，方程(6.4.3)可写成可写成(6.4.4)83l 前面尝试用级数法在前面尝试用级数法在x=1求解关联勒让德方求解关联勒让德方程时，已求得方程的指标程时，已求得方程的指标r r1 1 = m/2自然猜想关自然猜想关联勒让德方程的解具有联勒让德方程的解具有 的形式将式的形式将式(6.4.5)代入式代入式(6.4.1)，考查当，考查当y(x)满足关联勒让德方程时，满足关联勒让德方程时， w(x) 应满足什应满足什么方程结果得到么方程结果得到 (6.4.6)84比较式比较式(6.4.4)与式与式(6.4.6)，l发现发现w(x)与与P(m)(x