自动控制原理第7章 线性离散控制系统

1、2010.12.211杨春曦2010.12.212u8.1 概述u8.2 采样过程的数学描述采样过程的数学描述u8.3 信号恢复u8.4 Z变换理论u8.5 采样系统的数学模型采样系统的数学模型u8.6 采样系统分析采样系统分析2010.12.213u8.1 概述u8.2 采样过程的数学描述u8.3 信号恢复u8.4 Z变换理论u8.5 采样系统的数学模型u8.6 采样系统分析2010.12.214离散控制系统离散控制系统 定义：线性控制系统中任一环节出现采样开关或数字信号， 称为线性离散控制系统。l 数字系统：某处传输或处理的信号是数码信号/数字序列。J （计算机控制系统）l 采样系统：某处

2、传输或处理的信号是时间的离散函数。J （脉冲序列信号）1、计算机控制系统计算机控制系统 直接数字控制系统 计算机监督控制系统 集散控制系统2010.12.215（1）直接数字控制系统直接数字控制系统（DDCDirect Digital Control）图8-1 直接数字控制系统（DDC）2010.12.216（2）计算机监督控制系统）计算机监督控制系统 （SCCSurveillance Computer Control System）图8-2 计算机监督控制系统（SCC）2010.12.217（3）集散控制系统（）集散控制系统（TDCTotal and Distributed Control）

3、图8-3 集散控制系统（TDC）2010.12.218l 控制系统结构简单，容易实现多路控制；l 信号的检测/转换等控制精度高；l 数码/采样信号抗干扰能力强，适合远距离传送；l 可实现复杂的控制目标，控制管理一体化。计算机控制系统的优点计算机控制系统的优点：2010.12.219一般说来，采样系统是对连续信号在某些规定的时间瞬时上取值。2、采样系统采样系统（1 1）采样方式）采样方式 周期采样：在有规律的间隔上取离散信息。 随机采样：信息之间的间隔是时变/随机的。2010.12.2110采样开关采样开关：把连续信号转变为脉冲序列。 采样周期：T(s) 采样频率： 采样角频率： 采样持续时间：

4、 保持器：信号复现，把脉冲序列转变为连续信号。2sT（2 2）信号的采样和复现信号的采样和复现1sfT2010.12.21112sT（3 3）采样系统的典型结构图）采样系统的典型结构图s：理想采样开关。瞬时脉冲幅值= 偏差信号的幅值 ：保持器的传递函数。( )hG s2010.12.2112u8.1 概述u8.2 采样过程的数学描述u8.3 信号恢复u8.4 Z变换理论u8.5 采样系统的数学模型u8.6 采样系统分析2010.12.2113（3 3）采样系统的典型结构图）采样系统的典型结构图一、采样过程及其数学描述一、采样过程及其数学描述 采样：把连续信号变为脉冲信号的过程称为采样过程。 可

5、以看成是一个幅值调制过程。 采样器：实现采样的装置称为采样器。采样器是采样系统的基本元件，每隔一段时间，开关闭合一次，使输入信 号通过。 理想采样器好像是一个幅值调制器。2010.12.2114因为 的数值仅在采样瞬时才有意义，所以有( )()( )()()TnttnTttTtnT设连续输入信号为 ，经调制后，输出信号为脉冲强度等于相应瞬间 时 的值。即( )e t( )( )( )Te te tttnT( )e t( )e t( )e t( )() ()ne te nTtnT2010.12.2115对于实际的采样控制系统，总有一个工作起始时间，因此假定当t0时e(t)=0。则断续信号描述为（

6、时域描述）:( )(0) ( )( ) ()(0)( )e tete TtTee T00( )( )() ()()()nnE tL e tLe nTtnTe nT LtnT0( )() ()ne te nTtnT 说明:1、e*(t)的拉氏变换E*(s)2010.12.2116()( )nTsstnTsLtnTet edte00( )( )() ()()()nnE tL e tLe nTtnTe nT LtnT根据拉氏变换的实位移定理，所以有0( )()nTsnEse nT e上式将E*(s)与离散时域信号e*(nT)联系起来，可以直接看出e*(t)的时间响应。但是e*(t)仅描述了e(t)在

7、采样时刻的值，所以E*(s)不可能给出e(t)在两个采样时刻之间的任何信息。2010.12.2117例1 设e(t)=1(t)，试求e*(t)的拉氏变换。例2 设e(t)=e-at，t0，a为常数，求e*(t)的拉氏变换。上例表明，用拉氏变换法来对离散信号进行变换时，得到的式子是有关s的超越函数，不利于分析。因此要引入z变换。2010.12.21182、 e*(t)的频谱E*(j)通过傅立叶级数展开，经过变换（P268）得1()()111()()()snssEjE sjnTE jjE jE jjTTT如果连续信号e(t)的频谱|E(j)|是单一的连续函数，则离散信号e*(t)的频谱|E*(j)

8、|是以采样角频率s为周期的无穷多个频谱之和。2010.12.2119要想从采样信号e*(t)中完全复现出采样前的连续信号e(t)，对采样角频率s有一定的要求。2010.12.2120maxmax二、香农香农（shannon）采样定理采样器的输入信号具有有限频谱：采样定理：为使离散信号不失真的还原成原来的连续信号，采样频率必须大于等于原连续信号所含最高频率的两倍。即max2s如果采样频率满足上面条件，则两相邻信号间无交叉部分。因此可设计如下理想滤波特性的滤波器，即可不失真地恢复原连续信号。2010.12.2121max22T三、采样周期的选择工程实践表明，根据下表给出的参考数据选择采样周期T，可

9、以取得满意的控制效果。工业过程T的选择2010.12.2122u8.1 概述u8.2 采样过程的数学描述u8.3 信号恢复u8.4 Z变换理论u8.5 采样系统的数学模型u8.6 采样系统分析2010.12.2123能将采样信号转变成在两个连续采样时刻之间保持常量的信号，即在区间 内，零阶保持器的输出值一直保持为e(nT)，从而使采样信号变成阶梯信号。,(1)tnTnT信号保持控制系统中的被控对象、执行部件通常都是在模拟量下工作的。因而采样信号经过控制器后，必须转变成连续信号。实现这种转换过程的装置就是保持器。一、零阶保持器2010.12.2124因为在每个采样区间的值均为常数，其导数为零，故

10、称为零阶保持器。()(), 0hhe nTte nTtT 2010.12.21251 1、零阶保持器的传递函数( )1( )1()hg tttT如果给零阶保持器输入一个理想单位脉冲(t)，则其脉冲过渡函数gh(t)是幅值为1，持续时间为T的矩形脉冲，即对上式取拉氏变换，得11( )TsTsheeG ssss零阶保持器的传递函数也可以从保持器的输入输出信号关系式中求出。2010.12.2126零阶保持器的幅频特征和相频特性如下图所示：频率特性：1）低通特性。增加，|Gh(j)|迅速减小。2）相角滞后特性。越大，滞后越多，系统稳定性变差。2010.12.2127u8.1 概述u8.2 采样过程的数

11、学描述u8.3 信号恢复u8.4 Z变换理论u8.5 采样系统的数学模型u8.6 采样系统分析2010.12.2128由于采样信号的拉氏变换是s的超越函数，出现指数项 ，无法得到像线性连续系统中那样的线性代数特征方程。kTse0( )()kkX zx kT z引入变量 ，则得Z变换的定义式：Tsze一、Z变换的定义Z变换将复平面问题转化为Z平面上的问题：S平面断续信号的拉氏变换为：0( )()kTskXsx kT eZ平面：2010.12.2129根据Z变换定义，将 展开成无穷级数表达式，对于常用函数Z变换的级数形式，通常可以写出其闭合形式。0( )()kkX zx kT zx*(t)的Z变换

12、记为Zx*(t)，在Z变换中，X(z)为采样脉冲序列的Z变换，即只考虑采样时刻的信号值。0( )( )()kkZ x sX zx kT z 二、z变换表达式的求法1、级数求和法2010.12.2130例例8-1：求 的Z变换 (P272)120( )1( ),( )()kx ttx ttkT结论：相同的Z变换X(z)对应于相同的采样函数x*(t)，但是不一定对应于相同的连续函数x(t)。2010.12.2131对于简单连续函数的拉氏变换，将其展成部分分式和的形式，查表。P273，Z变换表11( )()()11(1)( )()1(1)()aTaTaTABG sssassazzzeG zZssaz

13、zezze2、部分分式法例例8-2：求 的Z变换表达式。(P272)解：( )()aG ss sa2010.12.2132221()()221111112121122sin()()11111( )2 12 1sinsin11 2cosj tjtj Tj Tj Tj TjjLtssjsjsjsjLeesjF ZZsjezjezzTzTezezzzTz 例例8-3：求 。(P273)解1：( )sinF zZt2010.12.2133( )sinF zZt例例8-3：求 。(P273)解2：cos2j tj teet欧拉公式2010.12.21341、线性定理三、z变换的性质 （P273）z变换是

14、线性变换，满足齐次性、均匀性。2、实位移定理指整个采样序列在时间轴上左右平移若干T，向左平移为超前，向右为迟后。2010.12.21353、复位移定理4、微分定理5、初值定理6、终值定理2010.12.2136Z变换函数通常可表示为两个多项式之比的形式：Z变换将分析差分方程的问题转换为分析代数方程问题，然后通过求X(z)的原函数，可求出离散系统的时域响应。四、Z反变换1、幂级数法（长除法） （P276）用分子除分母，并将商按的 升幂排列得：1z2010.12.2137解：则例例8-4：已知 ，求Z反变换。( )zX zza2010.12.2138又称为查表法，其基本思想是将 展开成部分分式(

15、)X zz1( )( ),()iniiiiz ziX zAX zAzzzzzz四、Z反变换2、部分分式法然后查Z变换表P273，即可求得原函数()x kT例例8-5：已知 ， 求Z反变换。2010.12.2139查表法得例8-6：已知 ，求z反变换 （P276）12( )111(1)(2)(1)(2)(2)(1)( )(2)(1)X zAAZzzzzzzzzzX zzz( )(1)(2)zX zzz()2121,0,1,2,kkkx kTk解：3、留数法（反演积分法）11()( )inkizzf kTres F z z2010.12.2140所以例8-7：已知 ，求z反变换 （P277）211

16、210.51,(1)2(1)(0.5)0.5,(0.5)0.5(1)(0.5)kzkkzz zzreszzzz zzreszzz 2( )(1)(0.5)zX zzz解：()20.5 ,0,1,2,kx kTk2010.12.2141u8.1 概述u8.2 采样过程的数学描述u8.3 信号恢复u8.4 Z变换理论u8.5 采样系统的数学模型u8.6 采样系统分析2010.12.21422010.12.2143采样系统的数学模型采样系统的数学模型 差分方程 脉冲传递函数 离散状态空间表达式 (现代控制理论)2010.12.2144一、差分方程及其求解2010.12.21452、差分方程求解201

17、0.12.2146例8-8：已知离散系统的差分方程为 ， 求差分方程的解。2010.12.2147二、脉冲传递函数开环采样系统：在实际中，只讨论在采样时刻输出与输入离散信号间的关系。1、定义：脉冲传递函数是在零初始条件下，输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比。零初始条件：在t0时，输入脉冲序列各采样值r(T)，r(2T)，以及输出脉冲序列各采样值y(T)，y(2T)，均为零。2010.12.2148输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比，记作若已知R(z)和G(z)，则在零初始条件下，00()( )( )( )()kkkky kT zY zG zR zr kT z2010.1

18、2.2149说明：在实际系统中，系统输出是连续信号y(t)，输出端并没有采样开关，我们将虚设一个与输入端同步的虚拟采样开关。表明：G(z)所能描述的，只是y(t)在采样时刻上的离散值y*(t)。2010.12.2150三、脉冲传函的求法（一）开环系统的脉冲传函1、串联环节的脉冲传函开环采样系统由几个环节串联组成时，采样开关的数目和位置将直接影响脉冲传函的形式。121212( )( ) ( ),( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )X zG z R z Y zG z X zG z G z X zY zG zG z G zX z2010.12.21512）串联环节之间没

19、有采样开关121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )G sG s G sY zG zZ G s G sGG zX z结论： 没有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的 G(z)，等于串联环节的传递函数乘积后的相应Z变换。2010.12.2152（二）闭环系统的脉冲传函(1)输出对给定输入的脉冲传函令d(t)=01、误差采样闭环采样系统2010.12.21532010.12.21542010.12.2155(2) 输出对扰动的脉冲传函 令 r(t)=02010.12.2156系统中各动态环节的传函不变，但采样开关处于不同位置，所求的脉冲传函也不相同；有时开关所处位置，

20、会使系统求不出脉冲传函，而只能求出输出的Z变换表达式。2010.12.2157说明： 在采样系统的分析中，存在这样一些系统，在前向通路中无采样开关存在，已有的采样开关S既不对输入的信号r(t)采样，也不对输出信号y(t)采样，严格意义上讲，系统不仅闭环脉冲传递函数不存在，而且系统的Y(z)也无定义。 但从系统物理意义的角度看，系统输出都必须能检测，所以象这种情况，一般都默认在输出端有一个虚拟的采样开关存在，以保证Y(z)有定义。2010.12.2158例8-7：已知闭环采样系统如图，求系统的单位阶跃响应。解：2010.12.21592010.12.2160u8.1 概述u8.2 采样过程的数学

21、描述u8.3 信号恢复u8.4 Z变换理论u8.5 采样系统的数学模型u8.6 采样系统分析2010.12.2161采样系统分析采样系统分析 稳定性分析 暂态响应 稳态误差分析 2010.12.2162一、稳定性分析采样系统的稳定性分析实际上是将S平面的信息，通过Z变换转移到了Z平面。 1、采样系统稳定的充要条件采样系统稳定的充要条件：采样系统闭环特征方程的根的模小于1，则系统是稳定的。2010.12.2163例8-8：已知采样系统结构如下图示，分析系统稳定性。所以系统不稳定解：2010.12.2164劳斯代数判据无法直接应用在Z平面上，因此引入双线性映射,将Z平面的点映射到W平面上。wujv

22、zxjy1+1-wzw2、稳定性判据假定Z平面上一点 对应W平面上一点令： ，则有当然，也可以令 1+(T/2)1-(T/2)wzw2010.12.2165因此可在W平面上利用劳斯代数判据分析采样系统的稳定性。2010.12.2166例8-9：已知采样系统结构如下图示，分析系统的稳定性。由闭环特征方程解：2010.12.2167劳斯表中第一列为正，该采样系统稳定。解：2010.12.2168稳定性分析的特殊问题：稳定性分析的特殊问题：u 潜伏震荡：离散输出是稳定的，但实际物理系统输出可能振 荡；Z变换只考虑采样时刻的局限性。u 连续系统经离散化后，其稳定性一般会变坏，对参数的取值要 求更高。u 采样系统的稳定性除与系统的固有结构和参数有关外，还与系 统的采样周期有关。2010.12.2169例8-10：当T=0.1s时，分析稳定性。求使系统稳定的k取值范围。解：离散系统，0k0， 则系统稳定。2010.12.2170二、采样系统的暂态性能 离散系统的动态特性，是由外加输入信号作用下的输出曲线来反映的，通常给定输入为单位阶跃信号，研究的是过渡过程中各采样点上的离散值。1、采样系统的时域性能指标例8-11：已知采样系统结构如图，T=1s，在单位阶跃信号作用下， 试分析该系统有无零阶保持器时的动态性能。2010.12.2171 解： 1）有零阶保持器用长除法求得输出响应序列