第四章 立体的投影

1、第四章第四章 立体的投影立体的投影 基本几何体基本几何体（按照其表面（按照其表面的组成）的组成）平面立体：表面全部由平面围成的几何体（简称平面体）平面立体：表面全部由平面围成的几何体（简称平面体） 曲面立体：表面全部由曲面或曲面与平面围成的几何体曲面立体：表面全部由曲面或曲面与平面围成的几何体（简称曲面体）（简称曲面体） 我们把这些简单的几合体称为我们把这些简单的几合体称为基本几何体基本几何体，有时也称为，有时也称为基本形基本形体体，把建筑物及其构配件的形体称为，把建筑物及其构配件的形体称为建筑形体建筑形体。 在建筑工程中，我们会接触到各种形状的在建筑工程中，我们会接触到各种形状的建筑物建筑物

2、（如：房屋、水塔）（如：房屋、水塔）及其及其构配件构配件（如：基础、梁、柱等）的形状虽然复杂多样，但经过仔细分（如：基础、梁、柱等）的形状虽然复杂多样，但经过仔细分析，不难看出它们一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割、或相交析，不难看出它们一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割、或相交等形式组合而成。等形式组合而成。 平面立体的投影平面立体的投影 一、平面立体的投影一、平面立体的投影 平面立体的表面都是平面立体的表面都是平面多边形平面多边形， 凡是带有斜面的平面体统称为凡是带有斜面的平面体统称为斜面体斜面体，如棱锥、棱台等。，如棱锥、棱台等。 绘制平面立体的投影，实质上就是绘制平面立体各

3、多边形表面，即绘绘制平面立体的投影，实质上就是绘制平面立体各多边形表面，即绘制各棱线和各顶点的投影。制各棱线和各顶点的投影。 在平面立体的投影图中，在平面立体的投影图中，可见棱线用实线表示可见棱线用实线表示，不可见棱线用虚线表不可见棱线用虚线表示，示，以区分可见表面和不可见表面。以区分可见表面和不可见表面。 （一）棱柱体（一）棱柱体 （1）形体特征形体特征: 棱柱的各棱柱的各棱线互相平行，底面、顶面棱线互相平行，底面、顶面为多边形。棱线垂直顶面时为多边形。棱线垂直顶面时称称直棱柱直棱柱，棱线倾斜顶面时，棱线倾斜顶面时称称斜棱柱斜棱柱。 （2）安放位置安放位置 : 安放形体时安放形体时要考虑两个

4、因素：要考虑两个因素：一要使形体一要使形体处于稳定状态，二要考虑形体处于稳定状态，二要考虑形体的工作状况。的工作状况。为了作图方便，为了作图方便，应尽量使形体的表面平行或垂应尽量使形体的表面平行或垂直于投影面直于投影面。 （3）投影分析投影分析 （二）棱锥体（二）棱锥体 （1）形体特征）形体特征: 底面是多边形，棱底面是多边形，棱线交于一点，侧棱面均为三角形。线交于一点，侧棱面均为三角形。 （2）安放位置）安放位置: 底面底面ABC平行于平行于H面。面。 （3）投影分析）投影分析 【例【例4-1】 作四棱台的正投影图作四棱台的正投影图 解：（解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 1）四棱台的

5、上、下底面都与）四棱台的上、下底面都与H面平行，前、面平行，前、后两棱面为侧垂面，左、右两棱面为正垂面。后两棱面为侧垂面，左、右两棱面为正垂面。2）上、下两底面与）上、下两底面与H面平行，其水平投影反面平行，其水平投影反映实形；其正面、侧面投影积聚为直线。映实形；其正面、侧面投影积聚为直线。3）前、后两棱面与）前、后两棱面与W面垂直，其侧面投影积聚为直线；与面垂直，其侧面投影积聚为直线；与H、V面倾斜，投影为缩小面倾斜，投影为缩小的类似形。的类似形。4）左、右两个面与）左、右两个面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、W面倾斜，投影为缩小面倾斜，投影为缩小的类

6、似形。的类似形。5）四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长。）四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长。 二、平面立体上点和直线的投影二、平面立体上点和直线的投影 即在其表面上取点、取线的作图问题即在其表面上取点、取线的作图问题 其作图的其作图的基本原理基本原理就是：平面立体上的点和直线一定在立体表面上。就是：平面立体上的点和直线一定在立体表面上。 判断立体表面上点和线可见与否的原则是判断立体表面上点和线可见与否的原则是：如果点、线所在的表面投：如果点、线所在的表面投影可见，那么点、线的同面投影一定可见，否则不可见。影可见，那么点、线的同面投影一定可见，否则不可见。 求解方法求解

7、方法有：有： （一）从属性法（一）从属性法 当点位于立体表面的某条棱线上时，那么点的投影必定当点位于立体表面的某条棱线上时，那么点的投影必定在棱线的投影上，既可利用线上点的在棱线的投影上，既可利用线上点的“从属性从属性”求解。求解。 （二）积聚性法（二）积聚性法 当点所在的立体表面对某投影面的投影具有积聚性时，当点所在的立体表面对某投影面的投影具有积聚性时，那么点投影必定在该表面对这个投影面的积聚投影上。那么点投影必定在该表面对这个投影面的积聚投影上。 （三）辅助线法（三）辅助线法 【例【例4-2】已知三棱柱的三面投影及已知三棱柱的三面投影及其表面上的点其表面上的点M和和N的正面投影的正面投影

8、m和和n，求作它们的另两个投影，求作它们的另两个投影 。 分析分析 ：根据已知条件，：根据已知条件，M点必在三点必在三棱柱前右侧的棱面上（因棱柱前右侧的棱面上（因m可见），可见），而而N点必在三棱柱的后棱面上（因点必在三棱柱的后棱面上（因n不不可见）。可见）。 作图作图：利用棱柱各棱面的水平投影有积聚性，可向下引投影连接，直：利用棱柱各棱面的水平投影有积聚性，可向下引投影连接，直接找到两点的水平投影接找到两点的水平投影m和和n，然后即可按投影规律求出这两点的侧面投，然后即可按投影规律求出这两点的侧面投影影m和和n。 【例【例4-3】 如下图所示，已知四棱柱的三面投影及其表面上的点如下图所示，已

9、知四棱柱的三面投影及其表面上的点M、N的正的正面投影，求出另外两面投影。面投影，求出另外两面投影。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 【例【例4-4】已知三棱锥的三面投影已知三棱锥的三面投影及其表面上点及其表面上点K的正面投影的正面投影k和点和点L的水平投影的水平投影l,求出它们的别两个求出它们的别两个投影。投影。 1、分析、分析 2、作图、作图 （1）利用过锥顶）利用过锥顶S的辅助线求的辅助线求K点各投影点各投影 （2）利用过）利用过L点且平行于底边的直线为辅点且平行于底边的直线为辅助线求助线求L点的各投影点的各投影 【例【例4-5】 如左图所示，已知三如左图所示，已知三棱锥的三面

10、投影及其表面上的线棱锥的三面投影及其表面上的线段段EF的投影的投影ef，求出线段的其它，求出线段的其它投影。投影。 下面列出了一些下面列出了一些工程中常见到的平面立体的投影图和立体图工程中常见到的平面立体的投影图和立体图，可按，可按前述平面立体投影图的画法对它们进行分析，以便更进一步熟悉平面前述平面立体投影图的画法对它们进行分析，以便更进一步熟悉平面立体投影的表达方法和规律。立体投影的表达方法和规律。 第二节第二节 曲面立体的投影曲面立体的投影 一、基本概念一、基本概念 由曲面包围或者由曲面和平面包围而成的立体称为由曲面包围或者由曲面和平面包围而成的立体称为曲面立体曲面立体。圆柱、圆。圆柱、圆

11、锥、球和环是工程上常见的曲面立体。锥、球和环是工程上常见的曲面立体。 （一）曲线（一）曲线 曲线曲线 曲线曲线可以看成是一个点按一定规律运动而形成的轨迹。可以看成是一个点按一定规律运动而形成的轨迹。 平面曲线平面曲线：曲线上各点都是在同一个平面内（如圆、椭圆、双曲：曲线上各点都是在同一个平面内（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）。线、抛物线等）。空间曲线空间曲线：曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）。：曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）。 （二）曲面（二）曲面 曲面曲面 曲面曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成。可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成。

12、直线曲面直线曲面：由直线运动而形成的曲面称为。：由直线运动而形成的曲面称为。 曲线曲面曲线曲面：由曲线运动而形成的曲面称为。：由曲线运动而形成的曲面称为。 回转体回转体是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成的，因是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成的，因此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体。此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体。 圆柱曲面圆柱曲面是一条直线是一条直线围绕一条轴线始终保围绕一条轴线始终保持平行和等距旋转而持平行和等距旋转而成。成。 母线母线圆锥面圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的。是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成

13、的。 母线母线球面球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。 （三）素线与轮廓线（三）素线与轮廓线 形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线素线。 我们把确定曲面范围的外形线称为我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线轮廓线（或（或转向轮廓线转向轮廓线），轮廓），轮廓线也是可见与不可见的分界线。线也是可见与不可见的分界线。 当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重轮廓线与素线重合合，这种素线称为，这种素线称为轮廓素线轮廓素线。 在三面投影体系中，常

14、用的四条轮廓素线分别为：形体在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、最前边素线、最后边素线最后边素线、最左边素线最左边素线和和最右边素线最右边素线。 （四）纬圆（四）纬圆 由回转体的形成可知，母线上任意一点的运动轨迹为圆，该圆垂直轴由回转体的形成可知，母线上任意一点的运动轨迹为圆，该圆垂直轴线，此圆既为线，此圆既为纬圆纬圆。 二、曲面立体的投影二、曲面立体的投影 （一）圆柱体的投影（一）圆柱体的投影 （1）形体分析）形体分析 圆柱体是由圆柱面和两个圆形的底面所围成的。圆柱体是由圆柱面和两个圆形的底面所围成的。 （2）安放位置）安放位置 我们只研究圆柱轴我们只研究圆柱轴线垂直

15、于某一投影面，底面、顶面为投线垂直于某一投影面，底面、顶面为投影面平行面的情况。影面平行面的情况。 （3）投影分析）投影分析 H面投影：面投影： V面投影：面投影： W面投影：面投影： （4）作图步骤）作图步骤 1）用点划线画出圆柱体各投影的）用点划线画出圆柱体各投影的轴线、中心线；轴线、中心线； 2）有直径画水平投影圆；）有直径画水平投影圆； 4）由）由“高平齐、宽相等高平齐、宽相等”作侧面投影矩形。作侧面投影矩形。 3）由）由“长对正长对正”和高度作正面投影矩形；和高度作正面投影矩形； 注意注意：非轮廓线的素线投影不必画出非轮廓线的素线投影不必画出。 （二）圆锥体的投影（二）圆锥体的投影

16、（1）形体分析）形体分析 圆锥体是由圆锥面和底平面所围成的。圆锥体是由圆锥面和底平面所围成的。 （2）安放位置）安放位置 当圆锥体在投影面体系中的位置一经确定后，它对各投影面的投当圆锥体在投影面体系中的位置一经确定后，它对各投影面的投影轮廓也随之确定。如右图所示，圆锥轴线垂直于影轮廓也随之确定。如右图所示，圆锥轴线垂直于H面，底平面为水平面。面，底平面为水平面。 （3）投影分析）投影分析 H面投影面投影 V面投影面投影 W面投影面投影 （4）作图步骤）作图步骤 用点划线画出圆锥体三面投影的轴线、中心线；用点划线画出圆锥体三面投影的轴线、中心线； 画出底面圆的三面投影。底面为水平面，水平投画出底

17、面圆的三面投影。底面为水平面，水平投影为反映实形的圆，其它两投影积聚为直线段，长影为反映实形的圆，其它两投影积聚为直线段，长度等于底圆直径；度等于底圆直径； 依据圆锥的高度画出锥顶点依据圆锥的高度画出锥顶点S的三面正投影。的三面正投影。 画轮廓线的三面正投影，即连接等腰三角形的腰。画轮廓线的三面正投影，即连接等腰三角形的腰。 当素线的投影不是轮廓线时，均不画出。当素线的投影不是轮廓线时，均不画出。 （三）圆球体的投影（三）圆球体的投影 1、投影分析、投影分析 圆球体的三面投影都是大小相等的圆，是圆球体的三面投影都是大小相等的圆，是球体在三个不同方向的轮廓线的投影，其直球体在三个不同方向的轮廓线

18、的投影，其直径与球径相等。径与球径相等。 H面投影的圆面投影的圆a是是 V面投影的圆面投影的圆b是是 W面投影的圆面投影的圆c是是 2、作图步骤、作图步骤 用点划线画出圆球体各投用点划线画出圆球体各投影的中心线影的中心线 以球的直径为直径画三个等以球的直径为直径画三个等大的圆，如右图所示。大的圆，如右图所示。 bac三、曲面立体上点和直线的投影三、曲面立体上点和直线的投影 （一）圆柱面上的点和线（一）圆柱面上的点和线 1圆柱面上点的投影圆柱面上点的投影 如右图所示，若已知圆柱面上两点如右图所示，若已知圆柱面上两点A和和B和和正面投影正面投影a和和b，求出它们的水平投影，求出它们的水平投影a、b

19、和和侧面投影侧面投影a、b。 分析分析 ：根据已知条件：根据已知条件a可见，可见，b不可见，可知不可见，可知A点在前半个圆柱面上；点在前半个圆柱面上；B点在后半个圆柱面上。点在后半个圆柱面上。利用圆柱的水平投影有积聚性，可直接找到利用圆柱的水平投影有积聚性，可直接找到a和和b，然后根据已知二投影求出，然后根据已知二投影求出a和和b。 由于由于A点在左半圆柱面上，所以点在左半圆柱面上，所以a为可见；为可见；而而B点在右半圆柱面上，所以点在右半圆柱面上，所以b为不可见。为不可见。 2圆柱面上线的投影圆柱面上线的投影 【例【例4-5】 如下图所示，已知圆柱面上的如下图所示，已知圆柱面上的AB线段的正

20、面投影线段的正面投影ab，求其另两面投，求其另两面投影。影。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 （二）圆锥面上的点和线（二）圆锥面上的点和线 1圆锥面上点的投影圆锥面上点的投影 圆锥体的投影没有积聚性，在其表面上取点的方法有两种：圆锥体的投影没有积聚性，在其表面上取点的方法有两种： 方法一：素线法。方法一：素线法。 【例【例4-6】 如下图所示，已知圆锥面上一点如下图所示，已知圆锥面上一点A的正面投影的正面投影a，求，求a、a。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 方法二：纬圆法。方法二：纬圆法。 【例【例4-7】 如下图所示，已知圆锥表面上一点如下图所示，已知圆锥表面上一点

21、A的投影的投影a，求，求a、a。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 2圆锥表面上线的投影圆锥表面上线的投影 【例【例4-8】 如下图所示，已知圆锥表面上的线段如下图所示，已知圆锥表面上的线段AB的正面投影，求其另两面投影。的正面投影，求其另两面投影。 作圆锥面上线段的投影的方法作圆锥面上线段的投影的方法：是求出线段上的：是求出线段上的端点、轮廓线上的点、分界点端点、轮廓线上的点、分界点等等特殊位置特殊位置的点及适当数量的的点及适当数量的一般点一般点，并依次连接各点的同面投影。，并依次连接各点的同面投影。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 （三）圆球体上的点和线（三）圆球体上

22、的点和线 1圆球体上的点圆球体上的点 由于圆球体的特殊性，过球面上一点可以作属于球体的无数个纬圆，为作图方由于圆球体的特殊性，过球面上一点可以作属于球体的无数个纬圆，为作图方便，便，常沿投影面的平行面作相应投影面的常沿投影面的平行面作相应投影面的纬圆纬圆，这样过球面上任一点可以得到，这样过球面上任一点可以得到H、V、W三个方向的纬圆三个方向的纬圆。因此只要求出过该点的纬圆投影，即可求出该点的投影。因此只要求出过该点的纬圆投影，即可求出该点的投影。 【例【例4-9】 如下图所示，已知球面上的一点如下图所示，已知球面上的一点A的投影的投影a，求，求a及及a。 解：解：（1）分析）分析 由由a得知得

23、知A点在左上半点在左上半球上，可以利用水平纬球上，可以利用水平纬圆解题。圆解题。 （2）作图）作图 2圆球体上的线圆球体上的线 【例【例4-10】 如右图所示，已知如右图所示，已知属于球体上的点属于球体上的点A、B、C及线及线段段EF的一个投影，求其另两个的一个投影，求其另两个投影。投影。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 小结小结：求曲面上点的投影的方法主要有：求曲面上点的投影的方法主要有素线法素线法和和纬圆法纬圆法两种，在采用这两种方法时两种，在采用这两种方法时应着重弄清以下概念：应着重弄清以下概念： （1 1）某一点在曲面上，则它一定在该曲面的素线或纬圆上。）某一点在曲面上，则

24、它一定在该曲面的素线或纬圆上。 （2 2）求一点投影时，要先求出它所在的素线或纬圆的投影。）求一点投影时，要先求出它所在的素线或纬圆的投影。 （3 3）为了熟练地掌握在各种曲面上作素线或纬圆的投影，必须了解各种曲面的）为了熟练地掌握在各种曲面上作素线或纬圆的投影，必须了解各种曲面的形成规律和特性。形成规律和特性。 第三节第三节 立体表面交线的投影立体表面交线的投影 一、立体表面的截交一、立体表面的截交线线 平面与锥面的交线 圆柱面与锥面的交线 我们把假想用来截割形体的平面，称为我们把假想用来截割形体的平面，称为截平面截平面。 截平面与形体表面的交线称为截平面与形体表面的交线称为截交线截交线。

25、截平面截平面 截交线围成的平面图形称为截交线围成的平面图形称为截面截面（或（或断面断面）。）。 截交线截交线截交截交线线断面断面平面立体和曲面立体截交线都具有以下特性平面立体和曲面立体截交线都具有以下特性： 1截交线的形状一般都是截交线的形状一般都是封闭的平面多边形或封闭的平面多边形或曲线曲线。 2截交线是平面与立体表面的共有线，既在截截交线是平面与立体表面的共有线，既在截平面上，又在立体表面上，平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面是截平面与立体表面共有点的集合。共有点的集合。 （一）平面立体截交线（一）平面立体截交线 平面立体截交线的特征：平面立体截交线的特征： 平面立体截交线是一个平

26、面立体截交线是一个封闭的平面多边形封闭的平面多边形，多边形，多边形的的顶点顶点是平面立体的是平面立体的棱线与截平面的交点棱线与截平面的交点，多边形的，多边形的每条边每条边是平面立体的是平面立体的棱面与截平面的交线棱面与截平面的交线。 截平面截平面 截交线截交线截交截交线线断面断面求作平面立体截交线的方法有两种方法：求作平面立体截交线的方法有两种方法： （1）交点法：）交点法：即先求出平面立体的棱线、底边与截平即先求出平面立体的棱线、底边与截平面的交点，然后将各点依次连接起来，即得截交线。面的交点，然后将各点依次连接起来，即得截交线。 连接各交点有一定的原则：连接各交点有一定的原则：只有两点在同

27、一个棱面只有两点在同一个棱面上时才能连接，可见棱面上的两点用实线连接，不可上时才能连接，可见棱面上的两点用实线连接，不可见棱面上的两点用虚线连接。见棱面上的两点用虚线连接。 （2）交线法：）交线法：即求出平面立体的棱面、底面与截平面即求出平面立体的棱面、底面与截平面的交线。的交线。 1、棱柱上的截交线、棱柱上的截交线 【例【例4-11】 如下图所示，求作四棱柱被正垂面截断后的投影。如下图所示，求作四棱柱被正垂面截断后的投影。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 （3）求作截断面的实形）求作截断面的实形 2棱锥上的截交线棱锥上的截交线 【例【例4-12】 求作正垂面求作正垂面P截割三棱锥

28、截割三棱锥S-ABC所得的截交线。所得的截交线。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 （2）作图）作图 【例【例4-13】 如图如图4-25所示，求作铅垂面所示，求作铅垂面Q截割三棱锥截割三棱锥S-ABC所得的截交线。所得的截交线。 解：解：（1）分析）分析 3带缺口的平面立体的投影带缺口的平面立体的投影 画带有切口形状的投影时，关键是要把切口轮廓线的投影表达清楚。而画切口轮画带有切口形状的投影时，关键是要把切口轮廓线的投影表达清楚。而画切口轮廓线的投影，廓线的投影，其实质就是求作切口平面与立体的截交线，其实质就是求作切口平面与立体的截交线，切口的截交线就是由数条切口的截交线就是由数条

29、截交线组合而成。截交线组合而成。 例例：完成带切口的四棱柱的投影：完成带切口的四棱柱的投影 （图中双点划线表示立体上被切掉的部分，粗（图中双点划线表示立体上被切掉的部分，粗实线表示留下的部分）实线表示留下的部分） 。解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 【例【例4-14】 如右图所示，已知三如右图所示，已知三棱锥及其上缺口的棱锥及其上缺口的V面投影，求面投影，求H面和面和W面投影。面投影。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 （二）曲面立体截交线（二）曲面立体截交线 （1）平面与曲面立体相交，所得的平面与曲面立体相交，所得的截交线一般为封闭的平面曲线截交线一般为封闭的平面曲线。

30、（2）截交线上的每一点，都是截平面与曲面立体表面的）截交线上的每一点，都是截平面与曲面立体表面的共有点共有点。 求曲面立体截交线的方法：求曲面立体截交线的方法：求出足够的共有点，然后依次连接起来，即得截交线。求出足够的共有点，然后依次连接起来，即得截交线。 求共有点的方法有：求共有点的方法有：素线法、纬圆法和辅助平面法。素线法、纬圆法和辅助平面法。 曲面立体截交线的特征：曲面立体截交线的特征： 平面与圆柱面相交，根据截平面与圆柱轴线相对位置的不同，所得的截交线平面与圆柱面相交，根据截平面与圆柱轴线相对位置的不同，所得的截交线有三种情况有三种情况 1圆柱上的截交线圆柱上的截交线 圆柱面上的截交线

31、圆柱面上的截交线【例【例4-15】 如右图所示，求正垂面与圆柱的截交线。如右图所示，求正垂面与圆柱的截交线。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 1）求特殊点。）求特殊点。这些点包括轮廓线上的点、这些点包括轮廓线上的点、特殊素线上的点、极限点以及椭圆长短轴特殊素线上的点、极限点以及椭圆长短轴的端点。的端点。 2）求一般点。）求一般点。为了作图准确，在截交线上特为了作图准确，在截交线上特殊点之间选取一些一般位置点。殊点之间选取一些一般位置点。 3）连点。）连点。将所求各点的侧面投影顺次光滑将所求各点的侧面投影顺次光滑连接连接 4）判别可见性。）判别可见性。 2圆锥上的截交线圆锥上的截交线

32、 当平面与圆锥截交时，当平面与圆锥截交时，根据截平面与圆锥轴线相对位置的不同根据截平面与圆锥轴线相对位置的不同，可产生五种不同，可产生五种不同形状的截交线：形状的截交线： 圆锥面上的截交线圆锥面上的截交线 【例【例4-16】 如下图所示，已知圆锥的三面投影和正垂面如下图所示，已知圆锥的三面投影和正垂面P的投影，求截交线的投的投影，求截交线的投影及实形。影及实形。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 1）求长轴端点）求长轴端点 2）求短轴端点）求短轴端点 3）求最前、最后素线与）求最前、最后素线与P面的交点面的交点E、F 4）求一般点）求一般点L、N 5）连接各点并判别可见性）连接各点并

33、判别可见性 6）求截面的实形）求截面的实形 【例【例4-17】 如下图所示，求作侧平面如下图所示，求作侧平面Q与圆锥的截交线。与圆锥的截交线。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 3球上的截交线球上的截交线 球体上的截面不论其角度如何，所得截交线的形状都是圆。截平面距球心球体上的截面不论其角度如何，所得截交线的形状都是圆。截平面距球心的距离决定截交圆的大小，经过球心的截交圆是最大的截交圆。的距离决定截交圆的大小，经过球心的截交圆是最大的截交圆。 （1）球上截交线的特征：）球上截交线的特征： （2）球上截交线的投影分析）球上截交线的投影分析 4带缺口的曲面立体的投影带缺口的曲面立体的投影

34、 【例【例4-18】 如下图所示，给出圆柱切割体的正面投影和水平投影，补画出侧面投影。如下图所示，给出圆柱切割体的正面投影和水平投影，补画出侧面投影。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 1）求特殊点。）求特殊点。 2）求一般点。）求一般点。 【例【例4-19】如下图所示，求切割后圆锥的投影。】如下图所示，求切割后圆锥的投影。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 1）求特殊点）求特殊点 2）求一般点）求一般点 3）连点并判别可见性）连点并判别可见性 【例【例4-20】 如下图所示，已知半球体被切割后的正面投影，画出其水平投影及侧如下图所示，已知半球体被切割后的正面投影，画出其水

35、平投影及侧面投影。面投影。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 二、立体表面的相贯线二、立体表面的相贯线 在建筑形体中常常会遇到由两个或两个以上的基本形体在建筑形体中常常会遇到由两个或两个以上的基本形体相交相交（或称（或称相贯相贯）而）而成的组合形体，两相交的立体称为成的组合形体，两相交的立体称为相贯体相贯体。它们的表面交线称为。它们的表面交线称为相贯线相贯线（或称（或称相交线相交线）。）。 1.相贯线是两形体表面的共有线。相贯线是两形体表面的共有线。 2.相贯线上的点即为两形体表面的共有点，同时也是两形体表面的分界点。相贯线上的点即为两形体表面的共有点，同时也是两形体表面的分界点。

36、立体相交可分为三种情况：立体相交可分为三种情况： （1）平面立体与平面立体相交，）平面立体与平面立体相交， （2）平面立体与曲面立体相交，）平面立体与曲面立体相交， （3）曲面立体与曲面立体相交。）曲面立体与曲面立体相交。 相贯线的特性相贯线的特性: 直线与立体相交直线与立体相交 直线与立体表面相交，其交点称为直线与立体表面相交，其交点称为贯穿点贯穿点。 贯穿点的特征：一般情况是成对出现的（一进一出）。贯穿点的特征：一般情况是成对出现的（一进一出）。 求贯穿点的常用方法有两种：求贯穿点的常用方法有两种： 第一种方法：利用积聚性求贯穿点；第一种方法：利用积聚性求贯穿点； 第二种方法：利用辅助平面

37、求贯穿点。即当直线与立体表面的投影没有积聚性第二种方法：利用辅助平面求贯穿点。即当直线与立体表面的投影没有积聚性时，用辅助平面求贯穿点。时，用辅助平面求贯穿点。 作辅助平面求贯穿点的步骤如下：作辅助平面求贯穿点的步骤如下： 首先，过直线作适当的辅助平面；首先，过直线作适当的辅助平面； 其次，求出辅助平面与平面立体的截交线；其次，求出辅助平面与平面立体的截交线； 再次，求出截交线与已知直线的交点，即为所求的贯穿点。再次，求出截交线与已知直线的交点，即为所求的贯穿点。 辅助平面的选择原则：辅助平面的选择原则：应使所作的辅助平面与立体的交线简单易画应使所作的辅助平面与立体的交线简单易画(直线或圆直线

38、或圆)，为了简化作图，通常选择投影面垂直面作为辅助面。为了简化作图，通常选择投影面垂直面作为辅助面。 1直线与平面立体相交直线与平面立体相交 （1）利用积聚性法求贯穿点）利用积聚性法求贯穿点 【例【例4-21】 如下图所示，已知铅垂线如下图所示，已知铅垂线EF的水平投影，求其与三棱锥的水平投影，求其与三棱锥S-ABC 的贯穿的贯穿点。点。 解：解：1）分析）分析 2）作图）作图 求贯穿点的正面投影求贯穿点的正面投影m、n。 判别可见性。判别可见性。 【例【例4-22】 如下图所示，求一般位置直线如下图所示，求一般位置直线EF与三棱柱与三棱柱ABC 的贯穿点的贯穿点M、N。 解：解：1）分析）分

39、析 2）作图）作图 求贯穿点的正面投影求贯穿点的正面投影m、n。 判别可见性。判别可见性。 （2）利用辅助平面法求贯穿点）利用辅助平面法求贯穿点 【例【例4-23】 如下图所示，求直线如下图所示，求直线KL与三棱锥与三棱锥S-ABC 的贯穿点的贯穿点M、N。 解：解：1）分析）分析 2）作图）作图 作辅助平面。作辅助平面。 求出截交线的水平投影求出截交线的水平投影123，123与与kl的交点的交点m、n即为贯穿点即为贯穿点M、N的水平投影。的水平投影。 判别可见性。判别可见性。 2直线与曲面立体相交直线与曲面立体相交 （1）利用积聚性法求贯穿点）利用积聚性法求贯穿点 【例【例4-24】 如下图

40、所示，求一般位置直线如下图所示，求一般位置直线AB与圆柱的贯穿点。与圆柱的贯穿点。 解：解：1）分析）分析 2）作图）作图 求水平投影求水平投影m、n。 根据点、线的从属关系，根据点、线的从属关系，求出求出m、n。 判别可见性。判别可见性。 （2）利用辅助平面法求贯穿点）利用辅助平面法求贯穿点 【例【例4-25】 如左图所示，求正垂线如左图所示，求正垂线CD与圆与圆锥面的贯穿点。锥面的贯穿点。 解：解：1）分析）分析 2）作图）作图 求正面投影求正面投影k、l。 求水平投影求水平投影k、l。 判别可见性。判别可见性。 两平面立体的表面交线两平面立体的表面交线 相交形体的表面交线称为相交形体的表

41、面交线称为相贯线相贯线。 两平面立体相贯线的特征两平面立体相贯线的特征：一般情况为空间折线，特殊情况为平面折线，每：一般情况为空间折线，特殊情况为平面折线，每段折线是两立体棱面的交线，每个折点是一立体棱线与另一立体的贯穿点。段折线是两立体棱面的交线，每个折点是一立体棱线与另一立体的贯穿点。 立体的相贯形式有两种：立体的相贯形式有两种： 一是全贯一是全贯，即一个立体完全穿过另一个立体，相贯线有两组；，即一个立体完全穿过另一个立体，相贯线有两组； 二是互贯二是互贯，两个立体各有一部分参与相贯，相贯线为一组。，两个立体各有一部分参与相贯，相贯线为一组。 求两平面体相贯线的方法：求两平面体相贯线的方法

42、：有两种有两种 （1）交点法交点法先作出各个平面体的有关棱线与另一立体的交点，再将所有交点先作出各个平面体的有关棱线与另一立体的交点，再将所有交点顺次连成折线，即组成相贯线。连点的规则是：只有当两个交点对每个立体来说，顺次连成折线，即组成相贯线。连点的规则是：只有当两个交点对每个立体来说，都位于同一个棱面上时才能相连，否则不能相连。都位于同一个棱面上时才能相连，否则不能相连。 （2）交线法交线法直接作出两平面立体上两个相应棱面的交线，然后组成相贯线。直接作出两平面立体上两个相应棱面的交线，然后组成相贯线。 判别可见性：判别可见性：判别的原则是判别的原则是，只有位于两立体都可见的棱面上的交线才是

43、可见的。，只有位于两立体都可见的棱面上的交线才是可见的。只要有一个棱面不可见，面上的交线就不可见，应画成虚线。只要有一个棱面不可见，面上的交线就不可见，应画成虚线。 【例【例4-26】 如下图所示，求作直立的三棱柱和水平的三棱柱的相贯线。如下图所示，求作直立的三棱柱和水平的三棱柱的相贯线。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 是互贯，互贯的相贯是互贯，互贯的相贯线为一组空间折线。线为一组空间折线。 【例【例4-27】 见下图所示，求作长方体和三棱锥的相贯线。见下图所示，求作长方体和三棱锥的相贯线。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 1）在正面上标出各贯穿点的投影；）在正面上标

44、出各贯穿点的投影； 2）作水平面）作水平面P、Q，求出全部折点，求出全部折点的水平投影，进一步求出其侧面投的水平投影，进一步求出其侧面投影；影； 3）连点并判别可见性。）连点并判别可见性。 【例【例4-28】 如下图所示，求作三棱锥和三棱柱的相贯线。如下图所示，求作三棱锥和三棱柱的相贯线。 解：解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 1）求折点。）求折点。 2）连折点。）连折点。 3）判别可见性。）判别可见性。 平面立体与曲面立体的表面交线平面立体与曲面立体的表面交线 平面立体与曲面立体相交时，平面立体与曲面立体相交时，其相贯线的特征：其相贯线的特征： 1.相贯线是由若干段平面曲线或平面曲线相

45、贯线是由若干段平面曲线或平面曲线和直线所组成。和直线所组成。作相贯线投影图的方法：作相贯线投影图的方法：先求出转折点，再根据求曲面体上截交线的方法，先求出转折点，再根据求曲面体上截交线的方法，求出每段曲线或直线。求出每段曲线或直线。 2.各段平面曲线或直线，就是平面立体上各棱各段平面曲线或直线，就是平面立体上各棱面截割曲面立体所得的截交线。每一段平面面截割曲面立体所得的截交线。每一段平面曲线或直线的折点，就是平面立体的棱线与曲线或直线的折点，就是平面立体的棱线与曲面立体表面的交点。曲面立体表面的交点。 【例【例4-29】如下图所示，求四棱锥与圆柱的相贯线。】如下图所示，求四棱锥与圆柱的相贯线。

46、 解：（解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 1）求连接点。）求连接点。 2）求特殊点。）求特殊点。 3）判别可见性并连线。）判别可见性并连线。 【例【例4-30】 如下图所示，给出圆锥薄壳基如下图所示，给出圆锥薄壳基础的主要轮廓线，求作相贯线。础的主要轮廓线，求作相贯线。 解：（解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 1）求特殊点。）求特殊点。 3）连点。）连点。 4）判断可见性。）判断可见性。 2）同样用素线法求出两对称的一般点）同样用素线法求出两对称的一般点E、F的正面投影的正面投影e、f及侧面投影及侧面投影e、f； 两曲面立体表面的交线两曲面立体表面的交线 两曲面体表面相贯线的特征：

47、两曲面体表面相贯线的特征：一般是一般是封闭的空间曲线封闭的空间曲线，特殊情况下可能为，特殊情况下可能为平平面曲线或直线面曲线或直线。 两曲面体表面相贯线的性质：两曲面体表面相贯线的性质：组成相贯线的所有相贯点，均为两曲面体表面组成相贯线的所有相贯点，均为两曲面体表面的的共有点共有点。 求相贯线的原理：求相贯线的原理：先求出一系列的共有点，然后依次连接各点，即得相贯线。先求出一系列的共有点，然后依次连接各点，即得相贯线。 求相贯线的方法：求相贯线的方法： 1.积聚投影法积聚投影法相交两曲面体，如果有一个表面投影相交两曲面体，如果有一个表面投影具有积聚性具有积聚性时，时，就可利用该曲面体投影的积聚

48、性作出两曲面的一系列共有点，然后依次就可利用该曲面体投影的积聚性作出两曲面的一系列共有点，然后依次连成相贯线。连成相贯线。 2.辅助平面法辅助平面法根据三面共点原理，作辅助平面与两曲面相交，求出根据三面共点原理，作辅助平面与两曲面相交，求出两辅助截交线的交点，即为相贯点。两辅助截交线的交点，即为相贯点。 求共有点时求共有点时，应先求特殊点，再求一般点。，应先求特殊点，再求一般点。 相贯线上的特殊点包括：相贯线上的特殊点包括：可见性分界点，曲面投影轮廓线上的点，极限位置点可见性分界点，曲面投影轮廓线上的点，极限位置点（最高、最低、最左、最右、最前、最后）等。（最高、最低、最左、最右、最前、最后）

49、等。 选择辅助平面的原则是：选择辅助平面的原则是：辅助截平面与两个曲面的截交线（辅助截交线）的辅助截平面与两个曲面的截交线（辅助截交线）的投影都应是最简单易画的直线或圆。因此在实际应用中往往多采用投影面的投影都应是最简单易画的直线或圆。因此在实际应用中往往多采用投影面的平行面作为辅助截平面。平行面作为辅助截平面。 【例【例4-31】 如下图所示，求作两轴线正交的圆柱体的相贯线。如下图所示，求作两轴线正交的圆柱体的相贯线。 解：（解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 1）求特殊点）求特殊点 2）求一般点）求一般点 3）连点并判别可见性）连点并判别可见性 【例【例4-32】 如下图所示，求圆柱与

50、圆锥的相贯线。如下图所示，求圆柱与圆锥的相贯线。 解：（解：（1）分析）分析 （2）作图）作图 1）求特殊点）求特殊点 求最低点求最低点 求最高点求最高点 求最右点求最右点 求圆锥正面轮廓线上的点求圆锥正面轮廓线上的点 2）求一般点）求一般点 3）连线并判别可见性。）连线并判别可见性。 三、同坡屋面交线的画法三、同坡屋面交线的画法 四坡屋面四坡屋面 坡屋面坡屋面单坡屋面单坡屋面 双坡屋面双坡屋面 同坡屋面同坡屋面：既屋檐高度相等、各屋面与水平面倾角相等的屋面。：既屋檐高度相等、各屋面与水平面倾角相等的屋面。 同坡屋面交线的画法，其实同坡屋面交线的画法，其实质是求两平面交线的问题。质是求两平面交

51、线的问题。 同坡屋面上各种交线的名称同坡屋面上各种交线的名称 同坡屋面交线及投影特性同坡屋面交线及投影特性 （1）同坡屋面的屋檐平行时，其）同坡屋面的屋檐平行时，其屋面必相交成水平的屋脊（或平屋面必相交成水平的屋脊（或平脊）。屋脊的脊）。屋脊的H面投影，必平行于面投影，必平行于檐口线的檐口线的H面投影，且与两檐口线面投影，且与两檐口线等距。等距。 （2）檐口线相交的相邻两个坡屋）檐口线相交的相邻两个坡屋面，必相交于倾斜的斜脊或天沟。面，必相交于倾斜的斜脊或天沟。它们的它们的H面投影为两檐口线面投影为两檐口线H面投面投影夹角的平分线。斜脊位于凸墙影夹角的平分线。斜脊位于凸墙角上，天沟位于凹墙角上

52、。角上，天沟位于凹墙角上。 （3）在屋面上如果有两斜脊、两天沟或一斜脊一天沟相交于一点，则必有第三）在屋面上如果有两斜脊、两天沟或一斜脊一天沟相交于一点，则必有第三条屋脊通过该点。或一个斜脊与平脊相交，必有第三个斜脊（或天沟）通过该交条屋脊通过该点。或一个斜脊与平脊相交，必有第三个斜脊（或天沟）通过该交点。这个点就是三个相邻屋面的共有点。点。这个点就是三个相邻屋面的共有点。 （4）当建筑物外形不是矩形时，屋面要按一个建筑整体来处理，避免出现水平天）当建筑物外形不是矩形时，屋面要按一个建筑整体来处理，避免出现水平天沟。沟。 【例【例4-33】 如下图所示，已知屋檐的水平投影及同坡屋面的坡度为如下

53、图所示，已知屋檐的水平投影及同坡屋面的坡度为30，画出其，画出其三面投影。三面投影。 解：作图步骤如下解：作图步骤如下 （1）先按投影规律画出屋顶的水平投影。）先按投影规律画出屋顶的水平投影。 （2）画）画V面投影。面投影。 （3）由）由H面、面、V面投影求面投影求W面投影面投影 【例【例4-34】 如右图所示，已知屋面如右图所示，已知屋面倾角倾角和房屋的平面图形，求屋面的和房屋的平面图形，求屋面的交线。交线。 解：作图步骤如下解：作图步骤如下 在屋面平面图形上经每一屋角作在屋面平面图形上经每一屋角作45线。线。 作每一对檐口线（前后和左右）的中作每一对檐口线（前后和左右）的中线，即屋脊线。线

54、，即屋脊线。 折线折线abcdef即为所求屋脊线的即为所求屋脊线的H面投影。面投影。 (4)根据屋面倾角和投影规律，作出根据屋面倾角和投影规律，作出屋面的屋面的V面及面及W面投影。面投影。 第四节第四节 组合体的三面正投影组合体的三面正投影 一、组合体的组成一、组合体的组成 由基本几何体组成的形体称为组合体。由基本几何体组成的形体称为组合体。 组合体组合体（根据构成方式的不同）（根据构成方式的不同）叠加型组合体叠加型组合体：是由若干个基本几何体叠加而成：是由若干个基本几何体叠加而成 切割型组合体切割型组合体：是由基本几何体切割去某些形体而成：是由基本几何体切割去某些形体而成 相贯型组合体相贯型

55、组合体：是由若干个基本几何体相交而成：是由若干个基本几何体相交而成 综合型组合体综合型组合体：是既有叠加又有切割或相交的组合体：是既有叠加又有切割或相交的组合体 二、组合体三面投影图的画法二、组合体三面投影图的画法 （一）三面投影和三视图（一）三面投影和三视图 基本几何体在基本几何体在H、V及及W投影面上的投影统称为投影面上的投影统称为三面投影三面投影。 三面投影三面投影 H面投影又称为面投影又称为水平投影水平投影 V面投影又称为面投影又称为正面投影正面投影 W面投影又称为面投影又称为侧面投影侧面投影 在建筑工程制图中，通常把建筑形体或组合体在投影面上的投影称为在建筑工程制图中，通常把建筑形体

56、或组合体在投影面上的投影称为视图视图；既把建筑形体或组合体的三面投影图称为既把建筑形体或组合体的三面投影图称为三面视图三面视图（简称三视图简称三视图）。）。 三视图三视图 形体的水平投影称为形体的水平投影称为平面图平面图 形体的正面投影称为形体的正面投影称为正立面图正立面图 形体的侧面投影称为形体的侧面投影称为左侧立面图左侧立面图 三视图三视图 形体的水平投影称为形体的水平投影称为平面图平面图 形体的正面投影称为形体的正面投影称为正立面图正立面图 形体的侧面投影称为形体的侧面投影称为左侧立面图左侧立面图 （二）组合体三面投影图的画法（二）组合体三面投影图的画法 把一个复杂形体分解成若干基本形体

57、或简单形体的方法，称为把一个复杂形体分解成若干基本形体或简单形体的方法，称为形体分析法形体分析法。它是画图、读图和标注尺寸的基本方法。它是画图、读图和标注尺寸的基本方法。 1形体分析形体分析 如下图如下图a所示为一室外台阶，把它可以看成是由边墙、台阶、边墙三大部分组成。所示为一室外台阶，把它可以看成是由边墙、台阶、边墙三大部分组成。 再如下图再如下图a所示是一肋式杯形基础，可以把它看成由底板、中间挖去一楔形块的所示是一肋式杯形基础，可以把它看成由底板、中间挖去一楔形块的四棱柱和六块梯形肋板组成。四棱柱和六块梯形肋板组成。 画组合体的投影图时，必须正确表示画组合体的投影图时，必须正确表示各基本形

58、体之间的表面连接各基本形体之间的表面连接。形体之间。形体之间的表面连接可归纳为以下四种情况：的表面连接可归纳为以下四种情况： （1）两形体表面）两形体表面相交时相交时，两表面投影之间应画出交线的投影；，两表面投影之间应画出交线的投影； （2）两形体的表面）两形体的表面共面时共面时，两表面投影之间不应画线；，两表面投影之间不应画线； （3）两形体的表面）两形体的表面相切时相切时，由于光滑过渡，两表面投影之间不应画线；，由于光滑过渡，两表面投影之间不应画线； （4）两形体的表面）两形体的表面不共面时不共面时，两表面投影之间应该有线分开。，两表面投影之间应该有线分开。 2投影图选择投影图选择 投影图

59、选择包括确定物体的安放位置、选择正面投影及确定投影图数量等。投影图选择包括确定物体的安放位置、选择正面投影及确定投影图数量等。 （1）确定安放位置）确定安放位置 一要使形体处于稳定状态，二要考虑形体的工作状况。一要使形体处于稳定状态，二要考虑形体的工作状况。为为了作图方便，应尽量使形体的表面平行或垂直于投影面了作图方便，应尽量使形体的表面平行或垂直于投影面。 （2）选择正面投影）选择正面投影 正立面图是表达形体的一组视图中正立面图是表达形体的一组视图中最主要的视图最主要的视图，所以在视图分析的过程中应，所以在视图分析的过程中应重点考虑。其选择的原则为：重点考虑。其选择的原则为： 1）应使正面投

60、影尽量反映出物体各组成部分的形状特征及其相对位置；）应使正面投影尽量反映出物体各组成部分的形状特征及其相对位置； 2）应使视图上的虚线尽可能少一些；）应使视图上的虚线尽可能少一些； 3）应合理利用图纸的幅面；）应合理利用图纸的幅面； 正面投正面投影方向影方向（3）确定投影图数量：用较少的投影图把物体的形状完整、清楚、准确的表达）确定投影图数量：用较少的投影图把物体的形状完整、清楚、准确的表达出来。出来。 3画图步骤画图步骤 （1）选取画图比例、确定图幅）选取画图比例、确定图幅 （2）布图、画基准线）布图、画基准线 正面投正面投影方向影方向（3）绘制视图的底稿）绘制视图的底稿 根据物体根据物体投