哈工大自控课件第三章

1、2022-6-281HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析本章重点 时域响应的基本概念； 一阶系统的时域响应、性能指标和参数的求取； 二阶系统的时域响应及欠阻尼状态下性能指标的计算； 系统暂态性能随极点变化的规律； 代数稳定性判据； 输入信号和扰动信号作用下稳态误差的计算。2022-6-282HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析本章难点 二阶系统的时域响应； 改善系统动态性能的方法； 输入信号和扰动信号同时

2、作用时稳态误差的计算； 代数稳定性判据的应用。2022-6-283HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析3.1 3.1 典型的输入信号典型的输入信号3.2 3.2 线性定常系统的时域响应线性定常系统的时域响应3.3 3.3 一阶系统的暂态响应一阶系统的暂态响应3.4 3.4 控制系统暂态响应的性能指标控制系统暂态响应的性能指标3.5 3.5 二阶系统的暂态性能指标二阶系统的暂态性能指标第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析3.6 3.6 高阶系统的动态性能高阶系统的动态性能3.73.7控制系

3、统的稳态误差控制系统的稳态误差3.8 3.8 稳定性和代数稳定性判据稳定性和代数稳定性判据3.9 3.9 劳斯赫尔维茨稳定判据劳斯赫尔维茨稳定判据3.103.10基本控制规律分析基本控制规律分析2022-6-284HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析建立系统数学模型的目的是为了分析控制系统的性能。 系统的性能分为动态性能和稳态性能如何评价？动态性能：用控制系统在典型输入下的响应来评价 稳态性能：一般是通过系统在典型输入信号下引起的稳态误差来评价 。建立稳态误差的概念；介绍稳态误差的计算方法；讨论消除

4、或减少误差的途径。第三章控制系统的时域分析2022-6-285HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析确定性能指标，使分析系统化，便于比较系统的性能。预测系统在更为复杂的输入下的响应。3.1典型的输入信号为何要采用典型输入信号进行系统性能研究？实际系统的输入信号千差万别；典型信号便于进行数学分析和实验研究；2022-6-286HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析选取典型信号的原则：1. 反映系统大部分的实际工

5、作情况；2. 尽可能简单，便于分析和处理；3. 选取可能使系统工作在最不利的情况的实验信号。、单位阶跃函数1,01( )0,0ttt1( )1Lts二、单位斜坡函数,0( )0,0ttr tt21 L ts2022-6-287HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析三、抛物线函数（加速度阶跃函数）21,( )2tt0r t0,t 0或211( )2tt23111( )2Ltts四、脉冲函数五、正弦信号( )sinr tAt2022-6-288HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自

6、动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析3.2线性定常系统的时域响应时域分析 就是分析系统的时间响应，也就是分析描述系统运动微分方程的解。一、微分方程解的形式)()()()()(11110trftrbtrdtdbtrdtdbtrdtdbmmmmmm)()()()(1111tcatcdtdatcdtdatcdtdnnnnnn齐次微分的特征方程为：0111nnnnaaa2022-6-289HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析2. 网络的响应=暂态响应（暂态分量）+稳态响应（

7、稳态分量）1. 线性常微分方程的通解=齐次方程通解+非齐次方程任一特解tnttnekekektc21211)(齐次方程通解：ki为待定常数，i为n个互异的根。 tnttnetketketktc)()()()(21212非齐次方程特解：c(t)=c1(t)+c2(t) 微分方程的解：3. 系统的响应=零状态响应+零输入响应零状态响应稳态分量暂态分量1（由输入信号引起）零输入响应暂态分量2（由初始状态引起）2022-6-2810HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析二、利用拉氏变换法分析系统的响应考虑输出

8、和输入的初始条件，对微分方程两端做拉氏变换得到： )()()(1)()()()(00sNsNsDsRsDsNsCcrnnnnasasassD111)(mmmmbsbsbsbsN1110)(系统的响应为C(s)的拉氏反变换)()()(1)()()()(0011sNsNsDLsRsDsNLtccr由输入信号引起由初始状态引起2022-6-2811HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析)()()()()()()()(sQsPsDsNsRsDsNsClkkkniiissBssAsC11)()()()(sQsP

9、sR展成部分分式： siD(s)=0的根，即系统传递函数的极点。skQ(s)=0的根，和系统输入信号的形式有关。得到系统的零状态响应为：lktsknitsikieBeAsC11)(零状态响应的暂态分量 零状态响应的稳态分量 2022-6-2812HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析给定输入是单位阶跃函数，系统输出即为单位阶跃响应BeAssDsNLthnitsii111)()()(常数B是稳态分量。给定输入是单位斜坡函数，系统输出即为单位斜坡响应tBBeAssDsNLthinitsii01211)()

10、()(如果多项式输入具有如下形式：kktkRtRtRRtr! 2)(2210稳态响应为：kksstkBtBtBBtc! 2)(22102022-6-2813HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析如果输入是单位脉冲函数 1)()(0dtettLst单位脉冲响应为： )()()(1sDsNLtg权函数只有暂态响应，而稳态响应总是为零。 3-3 一阶系统的暂态响应 系统的单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数。2022-6-2814HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理

11、论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析分析在零初始条件下对一些典型信号的响应 、一阶系统的单位阶跃响应11111)(TsTssTsshTteth1)(做拉氏反变换t=0处斜率最大，为1/T 没有超调 经过T和T响应分别达到稳态值的95%和98% 。T越小响应速度就越快。 2022-6-2815HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析二、单位脉冲响应11)(TssgTteTsCLtg1)()(1)()(thdtdtg2022-6-2816HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLO

12、GY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析三、单位斜坡响应11111)(222TsTsTssTssC)1 ()(TtTteTteTttc)1 ()()()(TteTtctrte一阶系统时域分析一阶系统时域分析无零点的一阶系统无零点的一阶系统 (s)=Ts+1k, T时间常数时间常数(画图时取画图时取k=1,T=0.5)单单位位脉脉冲冲响响应应k(t)=T1e-Ttk(0)=T1K(0)=T12单位阶跃响应单位阶跃响应h(t)=1-e-t/T?c(t)=t-T+Te-t/T1 、3个图各如何求个图各如何求T？2 、调节时间、调节时间ts=？3 、r(t)=vt时

13、，时，ess=？4、求导关系、求导关系h(0)=1/Th(T)=0.632h()h(2T)=0.865h()h(3T)=0.95h()h(4T)=0.982h()T单位斜坡响应单位斜坡响应r(t)= (t) r(t)= 1(t) r(t)= t k(0)=T1K(0)=T12问问1 、3个图各如何求个图各如何求T？2 、调节时间、调节时间ts=？3 、r(t)=vt时，时，ess=？4、求导关系、求导关系2022-6-2818HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析11111)()()(000TsKsK

14、sKsKsRsCs01, 1KTK1111111)()()(00000000TsKsKTKKsTKsTKsRsCs00001,1KTTKKK2022-6-2819HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析.4 控制系统暂态响应的性能指标1. 最大超调量: 在暂态期间输出超过对应于输入的终值的最大偏离量。表示相对稳定性。 %100)()(%maxccc2. 峰值时间tp: 对应于最大超调量发生的时间。3. 上升时间tr： 第一次达到对应于输入的终值的时间 4. 调整时间ts: 又叫过渡过程时间,偏差达到容许

15、的范围之内所经历的暂态过程时间。 5. 延迟时间td： 输出第一次达到稳态值的50所需要的时间。 6. 振荡次数N： 在调整时间内响应曲线偏离稳态值的振荡次数。 7. 稳态误差ess： )(1cess2022-6-2820HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析tp、ts、tr、td、是阶跃响应过程的快速性指标。%、N是时间响应的平稳性指标。它们描述了瞬态响应过程，反映了系统的动态性能。称为动态性能指标。 ess描述了稳态响应，反映了稳态性能，称为稳态性能指标。其它性能指标：02)( dtteISE误差

16、平方积分：时间乘误差平方积分：02)( dttteITSE时间乘误差绝对值积分：0)(dtteIAE0)(dttetITAE误差绝对值积分：h(t)t时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量% =AB100%动态性能指标定义动态性能指标定义1h(t)t调节时间调节时间tsh(t)t时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量% =AB100%调节时间调节时间ts2022-6-2822HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析3.5 二阶系统的动态性能指标一、二阶系统的结构0

17、2012002010020100201) 1(1) 1()(KKssTKKTsKKTsKKs12111220201202010TssTKsKKsKKT02010KKTT 1K00201121TKK2022-6-2823HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析12112)(002200002200sTsTKsTsTKs12)1 (2220002200TssTKKsTsTK001KTT001K001KKK自己做！2022-6-2824HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自

18、动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析121)(22TssTs2222nnnssTn1)()(221121)()(122222sCsCssssssssssCssnnnnnn(1) 当=0时，特征方程有一对共轭虚根。s1,2=jn。瞬态响应为：tssLtcnncos)(2211瞬态响应是无阻尼的周期振荡,振荡角频率是n2022-6-2825HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析（2） 当01时，方程有两个不同的负实数根。122, 1nns)1(exp121)1(exp12122222

19、2ttnn瞬态响应是两个单调衰减的过程。 221122)(nnnsssLtc)1)(12(1)1)(12(12222221nnnnssL2022-6-2828HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析121(1)nT221(1)nT)1(exp121)1(exp121222222ttnn2112122111exp()exp()1111TTttTTTTTT21121211exp()exp()11ttTTTTTT令：令：注意：注意：1. c1(t)的形状？的形状？ c1(0)=？ c1()=？ 3. 单调性。

20、单调性。c(t)的符的符号。号。2022-6-2829HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析2022-6-2830HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析二阶系统的瞬态响应有如下特点：参数 对瞬态响应曲线的形状影响极大。当0，瞬态响应是等幅振荡，频率为n。n称为无阻尼振荡角频率，系统被称为无阻尼系统。 01时，瞬态响应是一个从-1到0单调递增的过程。阻尼系数和n决定了二阶系统的瞬态响应特征，称为二阶系统的特征参

21、数。2 - 1S1,2=-nnS1,2=-n-n=S1,2 = jn01101j0j0j0j0二二阶系统单位阶系统单位阶跃响应定性分析阶跃响应定性分析2(s)=s2+2ns+n2n2-j1-2 nS1,2=nh(t)= 1T2tT1T21e+T1tT2T11e+h(t)= 1-(1+nt) e- tnh(t)= 1-cosntj0j0j0j0T11T2111010sin(dt+)e- t h(t)=1-211n过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼零阻尼零阻尼2022-6-2832HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三

22、章控制系统的时域分析二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应22( )sin11ntnng tet 01时2222( )exp (1)21exp (1)21nnnng ttt2022-6-2833HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析二阶系统的单位斜坡响应二阶系统的单位斜坡响应2222121( )sin121ntnnnc ttetarctg 时，稳态误差为时，稳态误差为2( )nett 2022-6-2834HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章

23、控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析二、二阶系统的动态性能指标二、二阶系统的动态性能指标ns1s2jn21-nj21-nj01cos1,2ns1欠阻尼二阶系统的动态性能指标2( )1sin1ntdec tt (1) 上升时间tr,( )1rc t2sin01n rtd retd rtrdt2022-6-2835HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析(2) 峰值时间tp 应为c(t)第一次出现峰值所对应的时间。根据dc(t)/dt=0,得2( )1sin1ntdec tt ( )0dc tdtsi

24、ncos()0ndddtt21tantanddntd pt21pdnt2022-6-2836HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析（3）最大超调量% 当t=tp时，c(t)有最大值cmax(t)=c(tp)，而阶跃响应的稳态值为1，最大超调量为： 2( )1sin1ntdec tt 21pdnt2221( )1exp()sin()1exp()111pc t 注意到2sin()sin1 2% ( ) 1 100%exp100%1pc t说出超调量和阻尼比的关系？2022-6-2837HARBIN INS

25、TITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析%和关系曲线2022-6-2838HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析（4）调节时间ts根据调节时间的定义，当tts时，应有( )( )( )c tcc 2( )1sin1ntdec tt 211nte曲线的包络线为：2sin1ntdet 2022-6-2839HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分

26、析设当t=ts时包络线与误差带的边线相交。 21nte 211ln1sntsstt取0.05时，3snt取0.02时，4snt当较小时，可取211，进步计算可近似有：sftNt（5）振荡次数N2221fdnt要求要求：已知极点的位置或是、n，确定系统的性能指标。给定性能指标可以确定二阶系统的特征参数值。2022-6-2840HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析和ts/T的关系曲线(01)ts/T0.707时，ts=3T,%5%。0.7，工程上称最佳阻尼比。通常取0.40.8，%在2.5%25%，ts

27、=3.75T8T 。2022-6-2841HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析ts/T和ts/T的关系曲线(10，使得所有的的初态x(t0)，引起的受扰运动满足：0( )x t( )x t，tt0，t(-,+)。则原点0z称为李亚普诺夫意义下t0时间稳定的平衡状态。说明：1初始条件区域只是一个很小的区域，所以李亚普诺夫意义下的稳定是一种“局部稳定性”，即“小偏差”稳定性。2对于任意初始条件下的稳定性问题，只能在方程下进行讨论。2022-6-2872HARBIN INSTITUTE OF TECHNO

28、LOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析系统的稳定性表现为时域响应的收敛性。如果系统的零输入响应和零状态响应都是收敛的，系统就被认为是总体稳定的。二、线性定常系统稳定的充分必要条件)()()()(1111tcatcdtdatcdtdatcdtdnnnnnn)()()()()(11110trftrbtrdtdbtrdtdbtrdtdbmmmmmm)()()(1)()()()(00sNsNsDsRsDsNsCrc)()()(1)()()()(0011sNsNsDLsRsDsNLtcrc2022-6-2873HARBIN INSTITUTE OF TECHNO

29、LOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析1 零输入响应的稳定性系统的零输入响应为：dsesDsNsNjsDsNsNLtcstjcjcrcrc)()()(21)()()()(000011如果对于任何初始状态)0()0()0()1(1)1 (11nccc、0)(lim1tct则称该系统的零输入响应是稳定的。2022-6-2874HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析假设)()()(00sDsNsNrc的n个极点分布如下实数极点有q个，其中s1是l重极点，另外q-l是

30、相异实极点si(i=2,3,q-l)。复数极点有2r个，设其为kkkjs(k=1,2,r)。由拉氏反变换可得系统零输入响应为tsllllebtbtlbtlbtc1122111)!2()!1()(rkkktklqitsiteCeBki12)cos(2022-6-2875HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析可见，系统零输入响应稳定的充分必要条件是系统传递函数的全部极点si(i=1,2,3,n)，完全位于s平面的左半平面。), 2 , 1(0)Re(nisi2.零状态响应的稳定性定义：系统的零状态响应为d

31、sesRsDsNjtcstjcjc)()()(21)(2如果系统对于每一个有界输入的零状态响应仍保持有界，则称该系统的零状态响应是稳定的，或称为有界输入有界输出稳定（BIBO）。2022-6-2876HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析dtrgtc)()()(02零状态响应可以用卷积分表示dtrgtc)()()(02假定r(t)有界。则有1)(Ktr则有|为范数算子10K如果系统的单位脉冲响应也能够满足20)(Kdg20K则必然有2102)()()(KKdtrgtc说明对有的t，零状态响应c2(t)

32、有界。2022-6-2877HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析系统的单位脉冲响应是其传递函数的原函数，所以有tslllleatatlatlatc1122112)!2()!1()(rkkktklqitsiteDeAki12)cos(可见，只要系统传递函数的全部极点si(i=1,2,3,n)，完全位于s平面的左半平面，即：), 2 , 1(0)Re(nisi才能使20)(Kdg20K2022-6-2878HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统

33、的时域分析第三章控制系统的时域分析线性定常系统稳定的充分必要条件是：系统传递函数的全部极点都必须位于系统传递函数的全部极点都必须位于S S平面的左平面的左半平面，或者说全部极点都有负实部。半平面，或者说全部极点都有负实部。3-9 劳斯赫尔维茨稳定判据种由特征方程的系数来判定系统稳定性的的代数方法。对于一阶系统，特征方程为0)(10asasD极点为01aaP极点为负的充要条件是0, 010aa2022-6-2879HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析对于一阶系统，特征方程为0)(2120asasasD

34、其根为02201012, 122aaaaaa要使系统稳定，极点必须具有负实部，因此其稳定的充要条件为. 0, 0, 0210aaa一、劳斯判据不必求解方程，判定在一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根 。 2022-6-2880HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析(1)写出关于s的多项式方程 0122110nnnnnasasasasa系数为实数，an0，排除零根的情况。(2)设方程中所有系数都存在，并且均大于0，这是系统稳定的必要条件。方程如果缺项或是具有负的系数，则一定是不稳定的。 （3）

35、如果系数都是正的按下列方式编制劳斯表2022-6-2881HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析s sn na0a2a4a6s sn n1 1a1a3a5a7s sn n2 2b1b2b3b4s sn n3 3c1c2c3c4s s2 2e1e2s s1 1f1s s0 0g113021131201aaaaaaaaaaaaaaaaaaab12131121311bbaabbbbaabaabbbbaac判据系统极点实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列系

36、数符号改变的次数。2022-6-2882HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析三、劳斯判据的应用1.判定系统的稳定性例：D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0s413524s3s2124231520251s1615142s0005 劳斯表第一列元素符号改变2次，表明系统有2个正实部的根，该系统是不稳定的。2022-6-2883HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6

37、s+7=0劳劳 斯斯 表表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1= -8-8 41 2 第一列出现零元第一列出现零元素时，素时，用正无穷小量用正无穷小量 代替。代替。2+87-8(2 +8) -7271 2 7 -8计算劳斯表时可能出现的几种特殊情况如果劳斯表第1列中出现0，则可以用一个小的正数代替它，然后继续计算其它元素。劳斯表出现零行劳斯表出现零行设系统特征方程为：设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳劳 斯斯 表表s0s1s2s3s451756116601 劳斯表何时会出现零行劳斯表何时会出现

38、零行?2 出现零行怎么办出现零行怎么办?3 如何求对称的根如何求对称的根? 由零行的上一行构成由零行的上一行构成辅助方程辅助方程: 有大小相等符号相反的有大小相等符号相反的特征根时会出现零行特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数对其求导得零行系数: 2s1211继续计算劳斯表继续计算劳斯表1第一列全大于零第一列全大于零,所以系统稳定所以系统稳定错啦错啦!由综合除法可得另两由综合除法可得另两个根为个根为s3,4= -2,-3解辅助方程得对称根解辅助方程得对称根: s1,2=j2022-6-2885HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章

39、控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析s5+s4+3s3+3s2+2s+2=0设系统特征方程为：设系统特征方程为：s513213s4s3s2s122/34603/2第三行全部为零！由上一行构造辅助方程。Q(s)=s4+3s2+2=0求导得：4s3+6s=0由此方程得到s3行的各项系数2s02 劳斯表第一列元素符号没有改变， 系统没有正实部的根，但该系统是不稳定的。 原方程中关于原点对称的根可以通过解辅助方程Q(s)=s4+3s2+2=0求出。2022-6-2886HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域

40、分析利用劳斯判据判断系统的稳定性的结论为：系统稳定的充分必要条件是系统的特征方程没有缺项，全部系数大于0，且劳斯表第一列所有元素也大于0。2分析系统参数对稳定性的影响已知系统的开环传递函数为) 125. 0)(11 . 0()(sssKsG确定稳定的开环放大倍数的取值范围，和临界放大系数KP。 特征方程为：0) 125. 0)(11 . 0(Ksss035. 0025. 023Ksss040401423Ksss2022-6-2887HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析s3s2s1144040K14001440Ks040K稳定条件为K0144040K0解得使系统稳定的K值范围0K143. 确定系统的相对稳定性 具体做法是：sz-a代入原系统的特征方程，得出以z为变量的方程。应用劳斯判据于新的方程。若满足稳定的充要条件。则该系统的特征根都落在s平面中s-a直线的左半部分，即只有a以上的稳定裕度。ajS平面02022-6-2888HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制