偏微分方程数值解

1、第三章第三章 椭圆形方程的有限差分法椭圆形方程的有限差分法有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的两种有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的两种用数值微商或数值积分导出相应的线性代数方程组用数值微商或数值积分导出相应的线性代数方程组. 主要数值方法主要数值方法. 两种方法的主要差别：离散化的第二步两种方法的主要差别：离散化的第二步. 有限差分法：从定解问题的微分或积分形式出发，有限差分法：从定解问题的微分或积分形式出发，但基函数要按特定但基函数要按特定方式选取方式选取.有限元方法：从定解问题的変分形式出发，用有限元方法：从定解问题的変分形式出发，用Ritz- -Galerkin 方法导出相应的线

2、性代数方程组，方法导出相应的线性代数方程组，差分法求解的主要步骤：差分法求解的主要步骤：(3) 差分方程的解法差分方程的解法. .(1) 对求解区域做网格剖分对求解区域做网格剖分. . 一维：将区间分成等距或不等距的小区间单元一维：将区间分成等距或不等距的小区间单元. . 二维：将区域分割成一些均匀或不均匀的矩形，二维：将区域分割成一些均匀或不均匀的矩形，其边与其边与坐标轴平行，或分割成一些三角形或一些凸四边形等坐标轴平行，或分割成一些三角形或一些凸四边形等. . (2) 构造逼近微分方程定解问题的差分格式：构造逼近微分方程定解问题的差分格式：三种方法三种方法直接差分化法、积分插值法、有限体积

3、法直接差分化法、积分插值法、有限体积法(或广义差分法或广义差分法). .差分解的存在唯一性、差分性及稳定性的研究差分解的存在唯一性、差分性及稳定性的研究. .1 差分逼近的基本概念差分逼近的基本概念考虑二阶微分方程边值问题考虑二阶微分方程边值问题22,(1.1)( ),( ),(1.2)d uLuqufaxbdxu au b 将其分成等分，分点为将其分成等分，分点为,0,1,;ibaxaih iNhN将方程将方程 (1.1) 在节点在节点ix其中其中 q，f 为为 a , b 上的连续函数，上的连续函数，0,q为给定常数为给定常数. .处再离散化处再离散化. . i22431124()2 (

4、)()()12iiiiu xu xu xd uhd uo hhdxdx由由 Taylor 展开得展开得其中其中ix于是在于是在ix112() 2 ( )()( ) ( )( )( ),(1.3)iiiiiiiu xu xu xq x u xf xR uh其中其中 2434( )( )().12iihd u xRuO hdx 舍去舍去将方程将方程 (1.1) 写成写成( )iRu点取值点取值. .表示方括号内的函数在表示方括号内的函数在得逼近方程得逼近方程 (1.1) 的差分方程为：的差分方程为：11,22iiihiiiiuuuL uqufh 称称( )iR u形成关于形成关于iu11202,1

5、,2,1,iiiniiiiNuuuL uqufiNhuu(1.4)(1.5)注注 此方程组尽管是高阶方程组，但每个方程未知数此方程组尽管是高阶方程组，但每个方程未知数 对方程组对方程组 (1.4)(1.5) 的解分析需要考虑以下几个问题：的解分析需要考虑以下几个问题：最多有最多有3 3个易于求解个易于求解. .为差分方程为差分方程 (1.3) 的截断误差的截断误差. .的线性代数方程组的线性代数方程组(a) 解是否惟一解是否惟一？0h iu( )?iu x以以hI121,Nx xxLhI0,Nxaxb定义在定义在()hiiuxunI()nnIor I对对hI(b) 当网格无限加密时，即当网格无

6、限加密时，即时，差分解时，差分解是否收敛到真解是否收敛到真解(c) 在何种度量下收敛？在何种度量下收敛？(d) 收敛速度如何？收敛速度如何？为了解决如上问题，需要给出如下说明：为了解决如上问题，需要给出如下说明：内点和界点内点和界点表示网格内点表示网格内点的集合的集合，表示网格表示网格集合集合. .hI上的网函数上的网函数. .或或上的函数上的函数称为称为上的网函数引进如下范数：上的网函数引进如下范数：11|m ax |,hciiNuu 其中其中22111|.Niihiuuuhh定义定义1.1 1.1 设设 U 是某一充分光滑的函数类，是某一充分光滑的函数类，( )hR u称差分算子称差分算子

7、,uU0lim|( )|0,(1.6)hhR uhL222101| ,hhhuuu12201|,Nhiiuh u断误差定义的网格函数断误差定义的网格函数. . 为相为相容条件容条件. .是由截是由截恒有恒有若对任何若对任何逼近微分算子逼近微分算子 L ，并称，并称 (1.6)注注 当用当用hL22c01|( )|()|( )|()|( )|( ).hhhR uO hR uO hR uO h，定义定义1.2 当当 h 充分小时，若充分小时，若 (1.4) (1.5) 的解的解| |称称如果存在与网格如果存在与网格00,NvvhIhf0,hhuhu0lim |0,hhuu,1,2,3,1,hiiL

8、 vfiNL阶也就不同阶也就不同. .且按某一范数且按某一范数定义定义1.3 对于差分方程对于差分方程数数 M 和和0| ,0hhRvMfhh逼近逼近 L 时，选择网函数的范数不同，逼近的时，选择网函数的范数不同，逼近的 存在，存在， 有有 收敛到边值问题的解收敛到边值问题的解 u . .无关无关的的常数常数及右端及右端使使 称差分方程关于右端稳定称差分方程关于右端稳定. .相同的收敛阶相同的收敛阶. .hu| |( )|hRR u定理定理1.1 若边值问题的解若边值问题的解 u 充分光滑，差分方程按充分光滑，差分方程按满足相容条件，且关于右端稳定，则差分解满足相容条件，且关于右端稳定，则差分

9、解收敛到边值问题的解收敛到边值问题的解 u ，且有，且有与与| |按按2 两点边值问题的差分格式两点边值问题的差分格式考虑两点边值问题考虑两点边值问题 ,udduduLprqufaxbdxdxdxu au b (2.2)(2.1)其中其中min , ,( )0, , , ,pC a bp xpr q fC a b是给定的常数是给定的常数. . ,2.1 直接差分法直接差分法(1) 取取 N+1 个节点将个节点将 I =a, b 分成分成 N 个小区间个小区间: :01iNaxxxxbLL1:,1,2,iiiIxxxiNL1,max.iiiiihxxhh于是，得到于是，得到 I 的一个网格剖分的

10、一个网格剖分. .(2) 对对 I = a, b 进行对偶剖分进行对偶剖分1121,1,2,2iiixxxiN取取1,iixx称为半整数点称为半整数点，则则的中点的中点0131222NNaxxxxxb 构成构成 I 的一个对偶剖分的一个对偶剖分. .(3) 将方程将方程 (2.1) 在内点在内点ix111()()iiiiu xu xhh2212()2iiiihhdud uO hdxdx(2.3)112( )()()iiiiu xu xp xh23331122()24iiihdud uppO hdxdx(2.4)处离散化处离散化. .233312()24iiihdud uppO hdxdx111

11、2()()()iiiiu xu xp xh2331312()24iiihdud uppO hdxdx(2.5)将将 (2.5) 减减 (2.4) 再除以再除以1,2iihh11111122()( )( )()2()()iiiiiiiiiiu xu xu xu xp xp xhhhh3213111222()12iiiiiiihhdudud upppO hhhdxdxdx得得2321123()()()412iiiiiiihhhhdduddud upppO hdxdxdxdxdx于是得逼近方程于是得逼近方程 (2.1)(2.2) 的差分方程：的差分方程：111111221102,1,2,1,iiii

12、hiiiiiiiiiiiiiiiNuuuuL upphhhhuuqufiNhhuu 误差为误差为23221232111( )()()()4122iiiiiiddud ud uR uhhpprO hdxdxdxdx 2.2 积分插值法积分插值法( )( )( )udduLp xq x uf xdxdx ( ) 在在 a, b 内任一小区间内任一小区间(1)(2),xx(2)(2)(2)(1)(1)(1)( )( )xxxxxxddup xdxqudxf x dxdxdx考虑守恒型微分方程考虑守恒型微分方程上积分得：上积分得：(2)(2)(1)(1)(1)(2)()()( )xxxxW xW xq

13、 x udxf dx其中其中( )( )duW xp xdx(1)( 2 )1122,iixxxx112211221122()()iiiixxxxiiW xW xqudxf dx令令( ),( )duW xdxp x取取则则或或1,iixx11112( )1()( )( )iiiixxiixxiW xuudxW xdxp xp x利利用用中中矩矩形形公公式式于是于是112,iiiiiuuWah又又12121,2iixiiiixhhqudxd u121212( ).iixixiidq x dxhh111.( )iixixidxahp x沿沿积分，得积分，得得守恒型差分方程得守恒型差分方程：111

14、111()2iiiiiiiiiiiiuuuuaahhd uhh其中其中121212( )iixixiif x dxhh(2.6)11(),2iiihh2.3 边值条件的处理边值条件的处理考虑第二、第三边值条件考虑第二、第三边值条件0101( )( )( )( )u au au bu b(2.7) (2.8)由于由于( )0,p x 01( )( )( ),p b u bu b不妨设不妨设01( )( )( ),p a u au a(2.9) (2.10)取取(1)(2)012,xxaxx得得11220012( )()xxxxW aW xqudxf dx而而001( )( )(),x aduW

15、ap xudx 故故11220010012()()xxxxW xqudxuf dx101101111121(),( )xxuudxW xaahhp x112200100012,2xxxxhqudxd udqdxh于是逼近边值条件于是逼近边值条件 (2.9)(2.10) 的差分方程为：的差分方程为：10111000101()()0.22uuhhad uh (2.11)可以证明：当网格均匀且系数光滑时，差分方程可以证明：当网格均匀且系数光滑时，差分方程(2.6)( )291P2();O h11220010012,2xxxxhf dxf dxh逼近微分方程逼近微分方程的阶为的阶为边界差分方程边界差分

16、方程(2.11)2().O h逼近逼近 (2.9) (2.11) 的阶为的阶为作业作业第第3节节 二维椭圆边值问题的差分格式二维椭圆边值问题的差分格式( , ),( , )uf x yx yG (3.1)G 的边界的边界 T 为分段光滑曲线为分段光滑曲线. . ( , )Tux y( (第一边值条件第一边值条件) ) (3.2)( , )Tux yn( (第二边值条件第二边值条件) ) (3.3)( , )Tukux yn( (第三边值条件第三边值条件) ) (3.4)考虑考虑 Poisson 方程方程在在 T 上上 u 满足下列边值条件之一：满足下列边值条件之一：3.1 五点差分格式五点差分

17、格式122212() .hhh作两族与坐标轴平行的直线作两族与坐标轴平行的直线:1,0,1,xihi两族直线的交点两族直线的交点12(,)ih ih( ,)( , ).ijx yi j或或取定沿取定沿 x 轴和轴和 y 轴方向的步长轴方向的步长12,hh ，令令2,0,1,yjhj为网点或节点，记为为网点或节点，记为若若121jjiiyyxxhh或或(,),(,)ijijxyxy与与T 交点交点( (也称界点也称界点) )的集合；的集合；( ,),hijGx yGjyy内点；否则称为非正则内点内点；否则称为非正则内点( ,)ijx y,hG| 1iijj则称则称是相邻节点是相邻节点.令令表示所

18、有属于表示所有属于G 内部的节点内部的节点( (也称内点也称内点) )的集合；的集合；hT表示网线表示网线ixx或或,hhhGGT用用hG代替区域代替区域.hhGT若内点若内点的四个相邻点都属于的四个相邻点都属于称其为正则称其为正则设设(,)ijxy1,1,1,1221222ijijiji jiji jhijijuuuuuuufhh (3.5)利用利用Taylor展式可知展式可知44224212441( )()()12ijuuR uhhO hO hxy 差分方程差分方程 (3.5) 称为五点差分格式称为五点差分格式代替代替为正则内点，沿为正则内点，沿 x, y 方向分别用二阶中心差商方向分别用

19、二阶中心差商,xxyyuu则有则有若取正方形网格，即若取正方形网格，即12,hhh则差分方程则差分方程 (3.5)简化为简化为21,11,1().44ijiji jiji jijhuuuuuf若若1,11,1().4ijiji jiji juuuuu(3.6)0f ( Laplace方程方程 ) , 则则3.2 边值条件的处理边值条件的处理1 讨论第一边值条件：讨论第一边值条件：|( , )ux y当当( ,).ijijux y100320402112111(2),uuuuuuufhhhh是非正则内点，如同正则内点，建立是非正则内点，如同正则内点，建立不等距的差分格式，如在节点不等距的差分格式

20、，如在节点 0 处有处有(,)ihjxy时，取时，取当当(,)ijxy031111,()2ihxxhhh其截断误差阶为其截断误差阶为( ).O h如上处理边值条件缺点是破坏了对称正定性，而这一如上处理边值条件缺点是破坏了对称正定性，而这一性质是五点差分格式所固有的性质是五点差分格式所固有的为了保持对称正定性，可用为了保持对称正定性，可用100320402112111(2),uuuuuuufhhhh此时，其截断误差阶为此时，其截断误差阶为 0()1 .O hO(3.7)仅讨论一种特殊情况，假设仅讨论一种特殊情况，假设h中的节点是两族网线中的节点是两族网线针对边值条件，在针对边值条件，在ABC上对

21、上对 (3. 8) 积分，积分，TBACABCAABCAudsf dxdyn202,ppABuuudsABnh2 讨论第二、三边值条件讨论第二、三边值条件|.ukurn(3.8)的交点的交点公式得公式得而而101,ppBCuuudsBCnh2P0P1P利用利用Green000()()pppCACAudsrku dsrk uCAn201000021()pppppppuuuuABBCrk uCAhhABCf dxdy于是于是 (3.9) 就是逼近就是逼近 (3.8) 的差分方程的差分方程. .(3.9)于是有于是有4 极值定理极值定理 敛速估计敛速估计定理定理4.1 设设hG0 (0),hijhi

22、jL uL u( ,),ijhx yG（负的极小），除非（负的极小），除非iju .常常数数证明证明 用反证法，设用反证法，设ijijhuuG 常常数数, , 且且在在中某点达到正中某点达到正的极大值的极大值 M .由于由于hG联通，必有某一内点联通，必有某一内点00(,),ijxy001,.ijuMiju是是上任一网函数，若上任一网函数，若对任意对任意则则不可能在内点取正的极大不可能在内点取正的极大iju使使00,ijuM且至少有一个相邻网点，比如且至少有一个相邻网点，比如00(,),ijxy使使于是有于是有000000000000,1,1,11,1()0.hijijijijijijL ua

23、aaaaM矛盾矛盾（负的极小），则一定在边界上取（负的极小），则一定在边界上取推论推论4.2 若网函数若网函数iju0,( ,),ijijhux yT0,( ,).ijijhux yG注注本定理说明在定理中所给条件下，若有正的极大本定理说明在定理中所给条件下，若有正的极大推论推论4.1 差分方程有唯一解差分方程有唯一解满足满足0,( ,),hijijhL ux yG则则|,( ,),hijhijijhL uL Ux yG定理定理4.2 设设,ijijuU是两个网函数，满足是两个网函数，满足则则|,( ,).ijijijhuUx yG证明由条件可知证明由条件可知0,( ,),0,hijijhijijhL ux yGUuT于于()0,0,hijijhijijhL UuGUuT于于于于|,(