自动控制原理课件 第三章 时域分析法

1、1第三章 时域分析法时域分析法31 时域分析基础32 一、二阶系统分析与计算33 系统稳定性分析34 稳态误差分析计算主要内容2 基本要求基本要求 熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特 点。熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。2.了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。3.正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。34.正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应 用条件。5.熟练掌握计算稳态误差的方法。6.掌握系统的型次和静态误差系数的概念。 4控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制系统的基础

2、，经典控制论中三种分析（时域、根轨迹、频域）、研究和设计控制系统的方法，都是建立在这个基础上的。53 31 1 时域分析基础时域分析基础 一、时域分析法的特点一、时域分析法的特点根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。时域分析法是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。6二、典型初始状态，典型外作用二、典型初始状态，典型外作用1. 典型初始状态典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为通常规定控制系统的初始状态为零零状态。状态。即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数

3、相即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。态。72. 典型外作用典型外作用 单位阶跃函数单位阶跃函数1(1(t t) ) = = =0t00t1)t (1)t (f其拉氏变换为：其拉氏变换为：s1dte1)s(F)t (fL0st= = = = - - 其数学表达式为：其数学表达式为：1tf f( (t t) )8 单位斜坡函数单位斜坡函数其拉氏变换为：其拉氏变换为：20sts1dtet)s(F)t (fL= = = = - -0t0t0t)t (1t)t (f = =. .= = 其数学表达式为：

4、其数学表达式为：tf f( (t t) )9 单位脉冲函数单位脉冲函数000)()(= = = = =ttttfd d 其数学表达式为其数学表达式为其拉氏变换为其拉氏变换为1)()(= = =sFtfL + - -= =1)( dttd d定义：定义：图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。0(1)10 正弦函数正弦函数其拉氏变换为其拉氏变换为220sin)()(sdtetsFtfLst+ += = = = - -000sin)( = =ttttf 其数学表达式为其数学表达式为f(t)11三、典型时间响应三、典型时间响应q初状态为零的系统，在典

5、型输入作初状态为零的系统，在典型输入作用下的输出，称为典型时间响应。用下的输出，称为典型时间响应。121. 单位阶跃响应单位阶跃响应定义：系统在单位阶跃输入r(t)=1(t)作用下的响应，常用h(t)表示。( )s若系统的闭环传函为 ，则h(t)的拉氏变换为1( )( )h tLH s-=故1( )( )( )( )H ssR sss= = (3-1)0132. 单位斜坡响应单位斜坡响应定义：系统在单位斜坡输入r(t)=t1(t)作用下的响应，常用 表示。( )tc t故1( )( )ttc tLC s-=则有21( )( )( )( )tC ssR sss= = (3-2)143. 单位脉冲

6、响应单位脉冲响应定义：系统在单位脉冲输入 r(t)=(t)作用下的响应，常用k(t)表示。注：关于正弦响应，将在第五章里讨论故11( )( )( )k tLK sLs-=则有( )( )( )( ) 1( )K ssR sss= = = (33)-154.三种响应之间的关系三种响应之间的关系由式(3-3)可将式(3-1)和式(3-2)写为：11( )( )( )H ssK sss= =22111( )( )( )( )tC ssK sH ssss= =相应的时域表达式为0( )( )dth tk=0( )( )dttc th=16四、阶跃响应的性能指标四、阶跃响应的性能指标t)(th)(pth

7、1ptst误差带误差带0171.峰值时间峰值时间tp：指：指h(t)曲线中超过其稳态值而曲线中超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间。达到第一个峰值所需的时间。2.超调量超调量 ：指：指h(t)中对稳态值的最大超出中对稳态值的最大超出量与稳态值之比。量与稳态值之比。3.调节时间调节时间ts：指响应曲线中，：指响应曲线中，h(t)进入稳态进入稳态值附近值附近 5%h( )或或 2%h( )误差带，而不再超误差带，而不再超出的最小时间。出的最小时间。4.稳态误差稳态误差ess：指响应的稳态值与期望值之：指响应的稳态值与期望值之差。差。18注意事项：。和而没有稳态误差入，则只有而言的，对于非阶跃输应

8、三项指标是针对阶跃响及ssssssteet,%,1932 一、二阶系统分析与计算q定义：定义： 由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应20一阶系统数学模型一阶系统数学模型微分方程：微分方程：动态结构图：动态结构图：传递函数：传递函数：)()()(trtcttcT=+dd11)()(+ += =TssRsCTs1)(sR)(sC21一阶系统单位阶跃响应输入：输入：输出：输出：)( 1)(ttr= =ssR1)(= =sTssRssC111)()()(+=TttC-=e1)(22单位阶跃响

9、应曲线初始斜率：0d ( )1|dth ttT=t23性能指标1. 平稳性平稳性 ：2. 快速性快速性ts：3.准确性准确性 ess：非周期、无振荡，非周期、无振荡， 0%595. 0)(3s误差带对应时，=tcTt%298. 0)(4s误差带对应时，=tcTt0)(1=-=cesst24举例说明（一阶系统）举例说明（一阶系统）n一阶系统如图所示，一阶系统如图所示，试求：试求：n当当KH0.1时，求系时，求系统单位阶跃响应的调统单位阶跃响应的调节时间节时间ts，放大倍数，放大倍数K，稳态误差，稳态误差ess。n如果要求如果要求ts0.1s，试问系统的反馈系数试问系统的反馈系数KH应调整为何值？

10、应调整为何值？1.讨论讨论KH的大小对系的大小对系统性能的影响及统性能的影响及KH与与ess的关系。的关系。看懂例题看懂例题3-1并回答上述各题并回答上述各题s100)(sR)(sCHK)(sE)(sB100sHK25二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应q定义：定义： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。系统。26二阶系统数学模型二阶系统数学模型二阶系统的微分方程的一般式为二阶系统的微分方程的一般式为阻尼比无阻尼振荡频率n22d( )d ( )2( )( )dd22nnnc tc tc tr ttt+=(0)n27二阶系统的

11、反馈结构图二阶系统的反馈结构图)2(2nnss + +)(sR)(sC(2)2nns s+28二阶系统的传递函数二阶系统的传递函数开环传递函数：开环传递函数：222( )( )2nnnC sR sss=+2( )(2)nnG ss s=+闭环传递函数：闭环传递函数：29二阶系统的特征方程为二阶系统的特征方程为2220nnss+=解方程求得特征根：当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：12012( )ees ts tc tAAA=+式中： 为由r(t)和初始条件确定的待定的系数。 012,AAAs1,s2完全取决于完全取决于 ， n两个参数。两个参数。21,21nns= -30q此时此时s1

12、, s2为为一对共轭复一对共轭复根，且位于根，且位于复平面的左复平面的左半部。半部。21,2j1nns= -特征根分析 （欠阻尼）0131特征根分析 （临界阻尼）q此时此时s1, s2为为一对相等的一对相等的负实根。负实根。 s1=s2=- n21,21nnns= -= -1=32特征根分析 （过阻尼）q此时此时s1, s2为为两个负实两个负实根，且位根，且位于复平面于复平面的负实轴的负实轴上。上。21,21nns= -133特征根分析 （零阻尼）q此时此时s1, s2为为一对纯虚根，一对纯虚根，位于虚轴上。位于虚轴上。qs1,2= j n21,21jnnns= -= 0=34特征根分析 （负

13、阻尼）q此时此时s1, s2为为一对实部为一对实部为正的共轭复正的共轭复根，位于复根，位于复平面的右半平面的右半部。部。21,2j1nns= -10- 35特征根分析 （负阻尼）q此时此时s1,s2为为两个正实根，两个正实根，且位于复平且位于复平面的正实轴面的正实轴上。上。21,21nns= -14Tst412.欠阻尼欠阻尼 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应(01)21,2j1nns= -dj-=222( )( )2nnnC sR sss=+n=为根的实部的模值；21dn=-为阻尼振荡角频率。42二阶欠阻尼系统的输出二阶欠阻尼系统的输出2221( )2nnnc ssss=+2222

14、1()()nnndndssss+=-+拉氏逆变换得：拉氏逆变换得：2( )1ecos(sin)1ntddc ttt-= -+-21( )1esin(arccos)1ntdc tt-= -+-43二阶欠阻尼系统输出分析q二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量值等于量和暂态分量组成。稳态分量值等于1，暂，暂态分量为衰减过程，振荡频率为态分量为衰减过程，振荡频率为d。44下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。45下面根据上图来分析系统的结构参数 、 对阶跃响应的影响。n 平稳性（平稳性（ ）2e1ntA-=-暂态分量的振幅为：结论：结论：

15、越大，越大，d越小，幅值也越小，响应的越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之， 越小，越小， d 越大，振荡越严重，平稳性越差。越大，振荡越严重，平稳性越差。21dn=-振荡角频率为：46当当 0时，为零阻尼响应，具有频率为时，为零阻尼响应，具有频率为 的的不衰减（等幅）振荡。不衰减（等幅）振荡。n阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示4721dn=-结论：对于二阶欠阻尼系统而言，结论：对于二阶欠阻尼系统而言， 大，大， 小，系统响应的平稳性好。小，系统响应的平稳性好。n 在在 一定的情况下，一定的情况下， 越大，振荡频率越大，振

16、荡频率 也越高，响应平稳性也越差。也越高，响应平稳性也越差。nd48 快速性快速性从图中看出，对于5误差带，当 时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量5，平稳性也较好，故称 为最佳阻尼比。0.707=0.707=总结：总结： 越大，调节时间 越短；当 一定时， 越大，快速性越好。 nstn49 稳态精度稳态精度21( )1esin(arccos )1ntdh tt-= -+-从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。50欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标单位阶跃响应性能指标1.上升时间上升时间 ：令

17、 ，则rt( )1rh t=211esin(arccos )11ntdt-+=-所以：arccosrdt-=51根据极值定理有：根据极值定理有：0)(=pttttcdd该项不可能为零该项不可能为零2sin1npt-2e1n ptn-0= =2.峰值时间：峰值时间：pt522sin10npt-=21(0 1, 2,)nptnn-=，取n=1得:21pdnt=-533.超调量超调量%将峰值时间 代入下式 /pdt=21( )1esin(arccos )1ntdh tt-= -+-得: 22 / 1 / 1max2e( )( )1sin(arccos )1 e1ph th t-= -+= +-所以:

18、2 / 1()( )%100%e100%( )ph thh-=544.调节时间调节时间st写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统时，经常采用下列近似公式。当阻尼比 时0.83.5(snt=取5误差带）4.5(snt=取2误差带）55三、二阶系统举例三、二阶系统举例q设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益为单位阶跃时，试计算放大器增益KA200，1500，13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp，调节时间，调节时间ts和超调量和超调量，并分析比较之。，并分析比

19、较之。56例题解析例题解析(1) 输入：单位阶跃函数输入：单位阶跃函数)( 1)(ttr=ssR1)(= =系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数AKssKs55 .345)(2+=A57例题解析例题解析(2)当当KA 200时时10005 .341000)(2+ + += =sss 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得：34.50.5452n=120.12rad s1pdnt-=-峰值时间：21e13%-=超调量： 3.00.17snt=调节时间：s6 .3110001=-sradn1rad s-58例题解析例题解析(3)当当K

20、A 1500时时75005 .3415005)(2+ + + = =sss 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得：34.50.22n=20.03784.851pnt=-峰值时间：s21e52.7%-=超调量： 3.00.17snt=调节时间：s116 .867500-=sradsradn59例题解析例题解析(4)当当KA 13.5时时5 .675 .345 .67)(2+ + += =sss 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得：1121. 85 .67-=sra

21、dsradn34.52.12n=?=pt峰值时间：0=超调量：1(6.451.7)1.44snt=-=调节时间：s无无60系统在单位阶跃作用下的响应曲线系统在单位阶跃作用下的响应曲线c(t)c(t)1 10 0t tK KA A=1500=1500K KA A=200=200K KA A=13.5=13.561四、四、 改善二阶系统响应的措施改善二阶系统响应的措施1.误差信号的比例微分控制误差信号的比例微分控制62系统开环传递函数为2(1)( )( )( )(2)ndnT sC sG sE ss s+=+闭环传递函数为2222(1)( )( )( )(2)ndndnnT sC ssR ssTs

22、+=+等效阻尼比为12ddnT=+63可见，引入了比例微分控制，使系统的等效阻尼可见，引入了比例微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。64前面图的相应的等效结构由此知道12( )( )( )c tc tc t=+65和 及 的大致形状如下1( )c t2( )

23、c t( )c t一方面，增加 项，增大了等效阻尼比 ，使 曲线比较平稳。另一方面，它又使 加上了它的微分信号 ，加速了c(t)的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比 的平稳作用。dTd1( )c t1( )c t2( )c td66总结：引入误差信号的比例微分控制，能否真正总结：引入误差信号的比例微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数间常数 。若。若 大一些，使大一些，使 具有过阻尼的具有过阻尼的形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。平

24、稳的情况下，显著地提高系统的快速性。dTdT1( )c t672.输出量的速度反馈控制输出量的速度反馈控制将输出量的速度信号c (t)采用负反馈形式，反馈到输入端并与误差信号e (t)比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图所示。68闭环传递函数为2222( )( )( )(2)nntnnC ssR ssKs=+等效阻尼比为12ttnK=+等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统的平稳性。693.比例比例-微分控制和速度反馈控制比较微分控制和速度反馈控制比较从实现角度看，比例-微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。

25、从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。70五、五、 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析l定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点，它们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用，可以忽略。71这时，高阶系统的时域分析就转化为相应的一、二阶系统。这就是所谓的主导极

26、点主导极点的概念，将在第四章中详细介绍。一、二阶系统的极点分布如下：7233 系统稳定性分析系统稳定性分析主要内容：主要内容：q线性定常系统稳定的概念线性定常系统稳定的概念q系统稳定的条件和稳定性的判定方法。系统稳定的条件和稳定性的判定方法。73一、系统稳定的概念一、系统稳定的概念q稳定性是指当扰动作用消失后，系统由初始稳定性是指当扰动作用消失后，系统由初始偏差状态恢复到原平衡状态的能力。偏差状态恢复到原平衡状态的能力。q若系统能恢复到平衡状态，就称该系统是稳若系统能恢复到平衡状态，就称该系统是稳定的，若系统在扰动作用消失后不能恢复平定的，若系统在扰动作用消失后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大

27、，则称系统是不稳衡状态，且偏差越来越大，则称系统是不稳定的。定的。74二、稳定性的数学条件二、稳定性的数学条件设系统的线性化增量方程为设系统的线性化增量方程为)()()()()()()()(111011110trbttrbttrbttrbtcattcattcattcammmmmnnnnnmndddddddddddd+=+-175对上式进行拉氏变换得对上式进行拉氏变换得)()()()()(011101110sMsRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn+=+-其中：其中：D(s)为系统闭环特征式，也称输出端为系统闭环特征式，也称输出端算子式；算子式；M(s)称为输入端算子式。称为输入端

28、算子式。R(s)为输为输入，入，C(s)为输出，为输出，M0(s)是是与系统的初始状态与系统的初始状态有关的多项式。有关的多项式。或简写为或简写为0( ) ( )( ) ( )( )D s C sM s R sMs=+76则有)()()()()()(0sDsMsRsDsMsC+ += =假定：01( )()niiiD sasss=-其中 互异。将C(s)等式右边的两项分别展成部分分式，可得111( )nlnjiiijiirjiBACC sssssss=+-77再进行拉氏逆变换，得= =)(tc=+nitsiiC1etsniiiAe=1该部分为稳态分量，该部分为稳态分量，即微分方程的特解，即微分

29、方程的特解，取决于输入作用。取决于输入作用。1erjls tjjB=+78= =)(tc=+nitsiiC1e1eins tiiA=1erjls tjjB=+该部分为瞬态分量，即微分方程的通解，运动规律取决于 ，由系统的结构参数确定。is79系统去掉扰动后的恢复能力，应由瞬态分量系统去掉扰动后的恢复能力，应由瞬态分量决定。此时，系统的输入为零。决定。此时，系统的输入为零。故：稳定性定义可转化为故：稳定性定义可转化为式中：式中：Ai，Ci均为常值，因此，系统的稳定均为常值，因此，系统的稳定性仅取决于特征根性仅取决于特征根si的性质。的性质。1lim()e0ins tiitiAC=+=80特征根的

30、性质对系统稳定性的影响l当当si为实根时，即为实根时，即si i时时：0 i lim()eis tiitAC+=0时：0=ilim()eis tiitAC+=iiAC+时时：0 i lim()eis tiitAC+= 810 i 0 i 0= =i t0)(tciiCA + +82特征根与系统稳定性的特征根与系统稳定性的关系关系(2)n当当si为共轭复根时，即为共轭复根时，即si，i+1 i ji)()(lim)(11)(tiitiitiiiiCACAjjee-+)()(lim11tiitiittiiiCACAj-+=eeej)sin(limiitttAi+=e则则若若, 0 i 0)sin(

31、lim=+iitttAie则则若若, 0= =i 则则若若, 0 i )sin()sin(limiiiitttAtAi+=+e=+)sin(limiitttAie83共轭复根情况下系统的稳定性共轭复根情况下系统的稳定性84结论：l系统稳定的充分必要条件是：系统稳定的充分必要条件是：系统的特征方程的所有根都具有负实部，系统的特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于或者说都位于s平面的虚轴之左。平面的虚轴之左。注：拉氏变换性质中的终值定理的适用条件：注：拉氏变换性质中的终值定理的适用条件： sE(s)在在s平面的右半平面解析，就是上面稳定条平面的右半平面解析，就是上面稳定条件的另一种表示，即特征

32、方程的所有根件的另一种表示，即特征方程的所有根si位于位于s平平面的虚轴之左。面的虚轴之左。85三、稳定性判据l判据之一：赫尔维茨（判据之一：赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据稳定判据系统稳定的充分必要条件是：特征方程的系统稳定的充分必要条件是：特征方程的赫尔维茨行列式赫尔维茨行列式Dk（k1,2,3,，n）全全部为正。部为正。86赫尔维茨判据赫尔维茨判据系统特征方程的一般形式为系统特征方程的一般形式为0)(1110= =+ + + + += =- - -nnnnasasasasD各阶赫尔维茨行列式为各阶赫尔维茨行列式为00aD = =11aD = =20312aaaaD = =3142053

33、130aaaaaaaaD = =nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaD00000422032312242012531-=（一般规定 ）00a 87举例：举例：系统的特征方程为系统的特征方程为010532234= =+ + + + +ssss试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。88解解：第一步：由特征方程得到各项系数第一步：由特征方程得到各项系数第二步：计算各阶赫尔维茨行列式第二步：计算各阶赫尔维茨行列式200= = = aD111= = = aD20312aaaaD = =3251= =75231- -= = - - = =0 结论：结论：系统不稳定。系统

34、不稳定。= =0a= =1a= =2a= =3a= =4a010532)(234= =+ + + + += =sssssD89l判据之二：林纳德判据之二：林纳德 奇帕特（奇帕特（Lienard-Chipard)判据判据系统稳定的充分必要条件为：系统稳定的充分必要条件为：系统特征方程的各项系数大于零，即系统特征方程的各项系数大于零，即), 2, 1, 0(0niai= = 奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即奇数阶或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即0 偶偶D0 奇奇D或或必要条件必要条件90举例：举例：l单位负反馈系统的开环传递函数为单位负反馈系统的开环传递函数为)125. 0)(11 .

35、0()(+ + += =sssKsG试求开环增益的稳定域。试求开环增益的稳定域。91解：解：第一步：求系统的闭环特征方程第一步：求系统的闭环特征方程0)125. 0)(11 . 0()(= =+ + + += =KssssD035. 0025. 023= =+ + + +Ksss第二步：列出特征方程的各项系数。第二步：列出特征方程的各项系数。025. 00= =a35. 01= =a12= =aKa = =3第三步：系统稳定的充分必要条件。第三步：系统稳定的充分必要条件。, 0)1( ia0 K要要求求0)2(2 D9220312aaaaD = =即即：1025. 035. 0K= =0025

36、. 035. 0 - -= =K解得：解得：开环增益的稳定域为：开环增益的稳定域为：140 K由此例可见，由此例可见，K越大，系统的稳定性越差。上述判越大，系统的稳定性越差。上述判据不仅可以判断系统的稳定性，而且还可根据稳定据不仅可以判断系统的稳定性，而且还可根据稳定性的要求确定系统参数的允许范围（即稳定域）。性的要求确定系统参数的允许范围（即稳定域）。93l判据之三：劳思判据之三：劳思(Routh)判据判据系统稳定的充分必要条件是：系统稳定的充分必要条件是：劳思表劳思表中第一列中第一列所有元素的计算值均大于零。所有元素的计算值均大于零。94若系统的特征方程为若系统的特征方程为01110= =

37、+ + + + +- - -nnnnasasasa则劳思表中各项系数如下图则劳思表中各项系数如下图1302113aaaaac- -= =2- -ns1504123aaaaac- -= =1706133aaaaac- -= =3- -ns1323131314ccaacc- -= =1313351324cacacc- -= =2s1, 1- -nc1,2- -ncnc, 10snnac= =+ +1,1024611357 nnsaaaasaaaa-s95关于劳思判据的几点说明l如果第一列中出现一个小于零的值，系统如果第一列中出现一个小于零的值，系统就不稳定。就不稳定。l第一列中数据符号改变的次数等

38、于系统特第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。根的个数。96例1设系统特征方程如下：设系统特征方程如下：05432234= =+ + + + +ssss试用劳思判据判断该系统的稳定性，并确试用劳思判据判断该系统的稳定性，并确定正实部根的数目。定正实部根的数目。97解：解：将特征方程系数列成劳思表将特征方程系数列成劳思表4s1353s2402s24132 - - 1= =20152 - - 5= =01s15241 - - 6- -= =00s5+ +- - -+ +结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。结

39、论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。05432234= =+ + + + +ssss98劳思表判据的特殊情况劳思表判据的特殊情况l在劳思表的某一行中，第一列项为零。l在劳思的某一行中，所有元素均为零。 在这两种情况下，都要进行一些数学处理，原则是不影响劳思判据的结果。99例例2设系统的特征方程为：设系统的特征方程为：0433=+- ss试用劳思判据确定正实部根的个数。试用劳思判据确定正实部根的个数。100解：解：将特征方程系数列成劳思表将特征方程系数列成劳思表321 1 0 4s ss3由表可见，第二行中的第一列项为零，所以第三行的第一列项出现无穷大。为避免这种情况，可可用因子用因子

40、(s+a)乘以原特征式，其中乘以原特征式，其中a可为任意正数可为任意正数，这里取a=1。3340ss-+=101于是得到新的特征方程为：043) 1)(43(2343=+-+=+-sssssss将特征方程系数列成劳思表：43210 1 3 4 1 14 4 2 4sssss-结论：第一列有两次符号变化，故方程有两个正实部根。102例例3 3设系统的特征方程为：设系统的特征方程为：试用劳思判据确定正实部根的个数。试用劳思判据确定正实部根的个数。65432237440ssssss+-=103解：解：将特征方程系数列成劳思表将特征方程系数列成劳思表65432237440ssssss+-=劳思表中出现

41、全零行，表明特征方程中存在一些大小相等，但位置相反的根。这时，可用全零行上一行的这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对其求导，用所得方程的系系数构造一个辅助方程，对其求导，用所得方程的系数代替全零行，继续下去直到得到全部劳思表。数代替全零行，继续下去直到得到全部劳思表。6543 1 -2 -7 -4s 1 -3 -4s 1 -3 -4s 0 0 0s104用 行的系数构造系列辅助方程 4s42F(s)=s34s-求导得：用上述方程的系数代替原表中全零行，然后按正常规则计算下去，得到3d ( )460dF ssss=-=1056543210 1 -2 -7 -4s 1 -3 -4s 1

42、 -3 -4s 4 -6 0s -1.5 -4 s -16.7 0s -4s65432237440ssssss+-=6543 1 -2 -7 -4s 1 -3 -4s 1 -3 -4s 0 0 0s3d ( )460dF ssss=-=106表中的第一列各系数中，只有符号的变化，所以该特征方程只有一个正实部根。求解辅助方程，可知产生全零行的根为 。再求出特征方程的其他两个根为 。(-1j 3)/22 , j107四、结构不稳定及改进措施四、结构不稳定及改进措施l某些系统，仅仅靠调整参数仍无法稳定，称结构不稳定系统结构不稳定系统。下图为液位可能控制系统。108消除结构不稳定的措施有两种n 改变积

43、分性质。 引入比例-微分控制，补上特征方程中的缺项。该系统的闭环特征方程为32100mpmT ssK K K K+=系数缺项，显然不满足系统稳定的必要条件，且无论怎么调整系统参数，都不能使系统稳定。1091. 1. 改变积分性质改变积分性质 用反馈 包围积分环节或者包围电动机的传递函数，破坏其积分性质。HK 2010HXsKXssK K=+ 211mmmHXsKXsT ssK K=+1102.2.引入比例微分控制引入比例微分控制在原系统的前向通路中引入比例-微分控制。 20111mH sKsHssT sKs+=+111其闭环特征方程为023=+KsKssTm由稳定的充分必要条件引入比例微分控制

44、后，补上了特征方程中s的一次项系数。只要适当匹配参数，满足上述条件，系统就可以稳定。221203,0,0,0immaKDDa aa aKKTT=-m则T均大于零；故1123 34 4 稳态误差分析计算稳态误差分析计算一、误差与稳态误差一、误差与稳态误差系统的误差e(t)常定义为：e(t)=期望值实际值误差的定义有两种误差的定义有两种:(1) e(t)=r(t)-c(t)(2) e(t)=r(t)-b(t)113稳态误差定义：稳定系统误差的终值称为稳态系统。当时间t趋于无穷时，e(t)极限存在，则稳态误差为 teetss= lim二、二、稳态误差的计算稳态误差的计算若e(t)的拉普拉斯变换为E(

45、s) ，且0lim ( )lim( )sstsee tsE s=0lim ( ),lim( )tse tsE s存在，则有1140lim ( ), lim( )tse tsE s在计算系统误差的终值(稳态误差)时，遇到的误差的象函数 一般是s的有理分式函数，这时当且仅当 的极点均在左半面，就可保证( )sE s( )E s存在，则就成立。注：sE E(s)的极点均在左半面的条件中，蕴涵了闭环系统稳定的条件。0lim ( )lim( )sstsee tsE s=115对上述系统，若定义e(t)=r(t)-b(t),则E(s)=R(s)-B(s)( )( ) ( )( )( )( )( )( )(

46、 )BRBNBRBNB ss R ss N sssB sN s= +其中为B(s)对R(s)的闭环传递函数，为对干扰信号的闭环传递函数。E( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )BRBNBRBNsR ss R ss N ss R ss N s=-从而得1-116121212( )( )( )1( )1( )1( )( )( )1( )( )( )BRERG s G s H sssG s G s H sG s G s H s= -= +1-称之为系统对输入信号的误差传递函数系统对输入信号的误差传递函数。212( )( )( )( )1( )( )( )BNENG s H

47、 sssG s G s H s= -+称 为系统对干扰的误差传递函数系统对干扰的误差传递函数。( )ENs000 lim( )lim( )lim( )ssRNssrssnsssesE ssEssEsee=+=+若具备应用终值定理条件，则( )( ) ( )( )( )ERENE ss R ss N s= +综合上述各式有：117例：例：系统结构如下图。当输入信号r(t)=1(t),干扰n(t)=1(t)时，求系统的总的稳态误差sse解：解： 判别稳定性。由于是一阶系统，所以只要参数 大于零，系统就稳定。12,K K 求E(s)。( )( ) ( )( )( )ERENE ss R ss N s

48、= +118根据结构图可以求出121( )1( )ERssG ssK K=+212( )( )ENCNKsssK K-= -=+依题意：R(s)=N(s)=1/s,则2121211( )KsE ssK KssK Ks-=+ 应用终值定理得稳态误差sse20012121111lim( )lim ssssKsesE sssK KssK KsK-=+= -+119三三 、输入信号作用下的稳态误差与系统结构参数的关系、输入信号作用下的稳态误差与系统结构参数的关系 当系统只有输入当系统只有输入r(t)作用时，系统的开环作用时，系统的开环传递函数为传递函数为)(sGREC)(sHB)()()()(sHsG

49、sEsB= =120将将G(s)H(s)写成典型环节串联形式：写成典型环节串联形式：为为积积分分环环节节的的个个数数。为为开开环环增增益益；式式中中， K0R00( ) E(s)=E ( )( )( )( )( )( )ERs D sssR sR ss D sKNs= =+求得：当sE(s)的极点全部在s平面的左半平面时，可用终值定理求得：100000( )lim( )lim( )( )( )sssssD sesE sR ss D sKNs+=+上式表明：系统的稳态误差除与输入有关外，只与系上式表明：系统的稳态误差除与输入有关外，只与系统的开环增益统的开环增益K和积分环节的个数有关。和积分环节

50、的个数有关。220122221220( )(1)(21)( )( )(1)(21)( )KNsKsssG s H ss TsT sT ss D s +=+1211.阶跃信号作用下的稳态误差阶跃信号作用下的稳态误差)( 1)(0trtr = =srsR0)(= =Kress+ += = =100时，时，当当 01= = =sse时时，当当 02= = =sse时，时，当当 要消除要消除阶跃信号阶跃信号作用下作用下的稳态误差，开环传递的稳态误差，开环传递函数中至少要有一个积函数中至少要有一个积分环节。分环节。但是，积分环但是，积分环节多会导致系统不稳定。节多会导致系统不稳定。10000000000

51、( )( )limlim( )( )( )( )sssssD srs D sres D sKNsss D sKNs+=+1222. 斜坡信号作用下的稳态误差斜坡信号作用下的稳态误差)( 1)(0ttVtr = =20)(sVsR= =0sse=当时，KVess01= = = 时，时，当当 02= = =sse时，时，当当 要消除要消除斜坡信号斜坡信号作用下作用下的稳态误差，开环传递的稳态误差，开环传递函数中至少要有两个积函数中至少要有两个积分环节。分环节。1100002000000( )( )limlim( )( )( )( )sssssD sVsD seVs D sKN sss D sKN

52、s+-=+1233.等加速信号作用下的稳态误差等加速信号作用下的稳态误差)( 12)(20ttatr = =30)(sasR= =0sse=当时，1sse= 当时，Kaess02= = = 时时，当当 要消除等加速信号作用要消除等加速信号作用下的稳态误差，开环传下的稳态误差，开环传递函数中至少要有三个递函数中至少要有三个积分环节。积分环节。但是，积分但是，积分环节多会导致系统不稳环节多会导致系统不稳定。定。1200003000000( )( )limlim( )( )( )( )sssssD sasD seas D sKN sss D sKN s+-=+124由以上分析可见，要消除系统在幂函数

53、输入信号作用下的稳态误差，则要求增加积分环节的数目，要减小系统的稳态误差，则要求提高开环增益。 系统型别是针对系统的系统型别是针对系统的开环传递开环传递函数中函数中积分环节的个数而言的。积分环节的个数而言的。 =的系统称为型系统；的系统称为型系统； 的系统称为的系统称为型系统；型系统； 的系统称为的系统称为型系统。型系统。125静态误差系数由)()(1)()(sHsGsRsE+=)()(1)(lim0sHsGsRsesss+=当 ssR1=)()(lim110sHsGesss+=定义静态位置误差系数 Kp 为)()(lim0psHsGKs=得126当 21ssR=)()(lim10sHssGesss=定义静态速度误差系数 Kv 为)()(lim0sHssGKsv=当 31ssR=)()(lim120sHsGsesss=定义静态加速