分析力学教学课件

1、分析力学分析力学主讲教师：王飞主讲教师：王飞学时学时24学分学分1.5性质性质必修必修致童鞋们之学生虐我千百遍，我待学生如初恋 教书是一场盛大的暗恋，你费劲心思去爱一群人，最后却只感动了自己。 曾经怕自己一个人考不好，现在怕一群人考不好。 你若不离不弃 我必生死相依 你若自我放弃 我也无能无力绪论绪论一一 什么是分析力学？什么是分析力学？ 分析力学是理论力学的一个分支，是对经典力学的高度数学化的表达。 经典力学最初的表达形式由牛顿给出，大量运用几何方法和矢量作为研究工具，因此它又被称为矢量力学（有时也叫“牛顿力学”）。 拉格朗日、哈密顿、雅可比等人使用广义坐标和变分法建立了一套同矢量力学等效的

2、力学表述方法。 同矢量力学相比，分析力学的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力学中极为复杂的问题，运用分析力学可以较为简便的解决。二二 研究对象研究对象 它的研究对象是质点系。质点系可视为宏观物体组成的力学系统的理想模型，例如刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都可看作质点系。 工程上的力学问题大多数是约束的质点系，由于约束方程类型的不同，就形成了不同的力学系统。例如，完整系统、非完整系统、定常系统、非定常系统等。三三 发展历史发展历史 1788年 拉格朗日 分析力学 世界上最早的一本分析力学的著作。虚功原理和达朗贝尔原理两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力学方程。

3、1834年，哈密顿 正则方程 用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程。哈密顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。 1894年 赫兹 首次将系统按约束类型分为完整约束和非完整约束两大类。 20世纪至今 分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。四四 应用应用 分析力学的方法可以推广到量子力学系统和复杂动力学系统中，在量子力学和非线性动力学中都有重要应用。 近20年来，又发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器人动力学以及

4、各种工程技术领域，也可推广应用于连续介质力学和相对论力学。五五 研究意义研究意义 分析力学是经典物理学的基础之一，也是整个力学的基础之一。六六 分析力学与理论力学比较分析力学与理论力学比较理论力学理论力学分析力学分析力学相同点相同点同属经典力学同属经典力学不不同同点点对象对象力力能量能量方法方法几何法几何法分析法分析法基础基础牛顿定律牛顿定律变分原理变分原理分析力学分析力学分析静力学分析静力学分析动力学分析动力学分析静力学分析静力学 以一般质点系为力学模型，应用达朗伯原理和虚位移原理方法得出平衡的普遍规律。 在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，运用动力学普遍方程和拉格朗日方程，解决非自由质点系的

5、动力学问题。分析动力学分析动力学内容内容第一章第一章虚位移原理虚位移原理第二章第二章动力学动力学普遍方程和拉格朗日方程普遍方程和拉格朗日方程第三章第三章哈密顿正则方程哈密顿正则方程第四章第四章力学的变分原理力学的变分原理第五章第五章一个自由度系统的振动一个自由度系统的振动第六章第六章两个自由度系统的振动两个自由度系统的振动第七章第七章狭义相对论的拉格朗日方法和狭义相对论的拉格朗日方法和 第一章第一章 虚位移原理虚位移原理1.约束及约束方程约束及约束方程2.自由度和广义坐标自由度和广义坐标3.虚位移虚位移4.虚位移原理虚位移原理5.虚位移原理的应用举例虚位移原理的应用举例6.用广义力表示的质点系

6、平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件7.在势力场中质点系的平衡条件及平衡的稳定性在势力场中质点系的平衡条件及平衡的稳定性1.约束及约束方程约束及约束方程1-1 约束的定义约束的定义 质点系质点系分为自由质点系和非自由质点系。分为自由质点系和非自由质点系。 若质点的运动状态（轨迹、速度等）只取决若质点的运动状态（轨迹、速度等）只取决于作用力和运动的初始条件，则这种质点系于作用力和运动的初始条件，则这种质点系称为称为自由质点系自由质点系；它的运动称为自由运动。；它的运动称为自由运动。 若质点系的运动状态受到某些预先给定的限若质点系的运动状态受到某些预先给定的限制（运动的初始条件也要满足这些限制条制

7、（运动的初始条件也要满足这些限制条件），则这种质点系称为件），则这种质点系称为非自由质点系非自由质点系；它；它的运动称为非自由运动。的运动称为非自由运动。 实现这些约束条件的物体称为约束体。 受到约束条件限制的物体叫做被约束体。习惯上，把约束体简称为约束,将被约束体简称为物体。 注意：这里的约束是名词，而非动词的约束。非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束 约束力（或约束反力）把约束对物体的作用力称为约束力。 主动力和约束力（或约束反力主动力和约束力（或约束反力） 主动力作用于被约束物体上的除了约束以外的力统称为主动力，如重力，结构承受的风力和水压力、

8、机械结构中的弹簧力以及电磁力等等。 约束反力是主动力引起的，故它是一种被动力。1.约束反力取决于约束本身的性质、主动力和物体的运动状态。约束反力的特点：约束反力的特点：2.大小常常是未知的，往往由平衡方程求得。3.作用点在物体与约束相接触的那一点。4.方向总是与约束限制物体的位移方向相反。 例如，光滑接触面约束：约束力沿接触面公法线方向指向物体。 在支座约束中，固定铰支座，约束反力过销中心，方向不能确定，通常用正交的两个分力表示。 解除约束原理解除约束原理 当受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡，若将其部分或全部约束解除，代之以相应的约束反力，则物体的平衡不受影响。1-2 约束方程约束方程

9、 用数学方程来表示的限制条件称为约束方用数学方程来表示的限制条件称为约束方程。程。0),(tzyxzyxf1-3 约束的分类约束的分类几何约束和运动约束几何约束和运动约束双面约束和单面约束双面约束和单面约束定常约束和非定常约束定常约束和非定常约束几何约束和运动约束几何约束和运动约束 几何约束：几何约束：只限制质点或质点系在空间的位置，只限制质点或质点系在空间的位置， 这种约束称为这种约束称为几何约束几何约束( (完整约束完整约束) )。xyolMlABxoyr222AAxyr0By 222()()ABABxxyyl222xyl运动约束运动约束：当质点系运动时受到的某些运动：当质点系运动时受到的

10、某些运动 条件条件的限制称为运动约束的限制称为运动约束(非完整约束非完整约束)。 即：这种约束对质点或质点系不仅有位移方面的限制，即：这种约束对质点或质点系不仅有位移方面的限制，而且有速度或角速度方面的限制。而且有速度或角速度方面的限制。 如：车轮在直线轨道上作如：车轮在直线轨道上作纯滚动（纯滚动（轨道限制轮心作直线轨道限制轮心作直线运动，且滚过的弧长等于轮心走过的距离。运动，且滚过的弧长等于轮心走过的距离。）Cxoy瞬心CMMxCPvCrMMPvCMMPvCMPvC M轮轮C C在水平轨道上在水平轨道上纯滚动纯滚动的条件表达的条件表达为为yC = r运动约束方程运动约束方程vCr=0或yC

11、= r0Cxr双面约束和单面约束双面约束和单面约束 双面约束双面约束：如果约束不仅限制质点在某一方向的如果约束不仅限制质点在某一方向的运动，而且能限制其在相反方向的运动，称之为运动，而且能限制其在相反方向的运动，称之为双面约束双面约束。 单面约束：单面约束：如果约束仅限制质点在某一方向的运如果约束仅限制质点在某一方向的运动，称之为动，称之为单面约束单面约束。约束：单摆约束：单摆约束分类约束分类约束方程约束方程刚性摆杆刚性摆杆双面约束双面约束不可伸长的绳不可伸长的绳单面约束单面约束222xyl222xyl定常约束和非定常约束定常约束和非定常约束 定常约束：定常约束：约束方程中不显含时间约束方程中

12、不显含时间 t的约束的约束 。f (x , y , z ) = 0 非定常约束非定常约束：约束方程中显含时间约束方程中显含时间 t的约束的约束。f (x , y , z ，t )=0举例：举例：定常约束定常约束：前面所列的单摆、曲柄连杆机构及车轮的约束；前面所列的单摆、曲柄连杆机构及车轮的约束；非定常约束非定常约束：变摆长的单摆变摆长的单摆。xyolMv其中摆锤其中摆锤M可简化为质点，软线是摆锤可简化为质点，软线是摆锤的约束，初始长度为的约束，初始长度为 ，穿过固定的小穿过固定的小圆环，圆环，在在拉拽拉拽过程中过程中,以速度以速度v伸长伸长。在。在任意瞬时任意瞬时t，其约束方程为其约束方程为:

13、2220()xylvtl本章只讨论：本章只讨论：完整的（几何的）、双面的、定常的约束完整的（几何的）、双面的、定常的约束！0),.,(111nnnzyxzyxf2.自由度和广义坐标自由度和广义坐标2-1 自由度自由度 定义：在完整约束的条件下，确定质点系位置的定义：在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的个数等于该质点系的自由度数。独立参数的个数等于该质点系的自由度数。质点系由质点系由n个质点、个质点、s个完整约束组成，个完整约束组成，则其自由度则其自由度 N = 3n s对平面问题，如对平面问题，如Oxy平面内，平面内，zi0，则则 N = 2n s情形一：以情形一：以质点质点作为质点

14、系基本单元作为质点系基本单元xyolM例：图示的平面摆例：图示的平面摆，其中：其中：n = 1，s = 1。则则 N = 211=1222xyl情形二：情形二：以以刚体刚体作为质点系基本单元作为质点系基本单元质点系由质点系由n个刚体、个刚体、s个完整约束组成，则其自由度个完整约束组成，则其自由度 N = 6n s对平面问题，如对平面问题，如Oxy平面内，两个平动一个转动，则平面内，两个平动一个转动，则 N = 3n s例例1 1：图示的：图示的轮轮C C在水在水平轨道上纯滚动平轨道上纯滚动，其中：其中：n = 1，s = 2。则则 N = 312=1Cx oyxCPvCyC = rvCr=0例

15、例2 2：图示的：图示的平面双摆由刚体平面双摆由刚体OA、AB及铰链及铰链O、A组成组成 ，其中：其中：n = 2，s = 4，则则 N = 324=2xyoAB12l1l22221222200()()ooAABABAxyxylxxyyl2-2 广义坐标广义坐标 定义：定义：确定质点系位置的独立参数称为广义坐标。确定质点系位置的独立参数称为广义坐标。 在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。系统的自由度数。例一：如曲柄连杆机构有一个自由度，可任选例一：如曲柄连杆机构有一个自由度，可任选xA、 yA 、 xB之一为广义坐标，而选之一为广

16、义坐标，而选 更方便。更方便。xoylrAB0sincossincos222BBAAyrlrxryrx例二：例二：再如平面双摆有两个自由度，选再如平面双摆有两个自由度，选 1 、 2为广义坐标为广义坐标比较合适。比较合适。 xyoAB 1 2l1l2221122111111sinsincoscossincosllyllxlylxBBAA对于有对于有n个质点的质点系，若有个质点的质点系，若有s个完整约束组成，则其自由个完整约束组成，则其自由度度N = 3n s，可选可选N个广义坐标个广义坐标 q1， q2 ，qN。),(),(),(212121NiiNiiNiiqqqzzqqqyyqqqxx),

17、2, 1(ni则各质点的坐标可由广义坐标表示为：则各质点的坐标可由广义坐标表示为：矢量形式为：矢量形式为：),(21Niiqqqrr注：用广义坐标表示各质点位置的一般表达式，隐含了约束注：用广义坐标表示各质点位置的一般表达式，隐含了约束条件，这是采用广义坐标的方便之处。条件，这是采用广义坐标的方便之处。3.虚位移虚位移1.定义：在某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，定义：在某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，可能实现的、任何无限小的位移称为可能实现的、任何无限小的位移称为虚位移虚位移。2.虚位移的特点：虚位移的特点： 虚位移仅与约束条件有关，是纯粹的几何量；虚位移仅与约束条件有关，是纯粹的几何

18、量； 与实位移相比：与实位移相比： 虚位移是无限小的位移；虚位移是无限小的位移； 实位移可为无限小，也可为有限值；实位移可为无限小，也可为有限值； 虚位移是假想的位移，与时间、力、质点系的运动情虚位移是假想的位移，与时间、力、质点系的运动情况无关；况无关； 在定常几何约束下，质点系无限小的实位移是其虚位在定常几何约束下，质点系无限小的实位移是其虚位移之一。移之一。3.说明说明 虚位移常用虚位移常用 r、 x、 s、等表示；等表示； 关于符号关于符号： -等时变分算子符号（变分符号）；等时变分算子符号（变分符号）； -表示无限小的变更；表示无限小的变更； 的运算规则与微分算子的运算规则与微分算子

19、“ “d ”的的 运算规则相同。运算规则相同。4.实位移（力学现象）和虚位移（几何概念）的差别实位移（力学现象）和虚位移（几何概念）的差别4-1.在在定常定常几何约束下，质点系无限小的实位移是其虚位移之一。几何约束下，质点系无限小的实位移是其虚位移之一。MMMMM 在图示瞬时，物块在图示瞬时，物块M在在dt内发内发生的无限小的实位移生的无限小的实位移dr沿斜面向下。沿斜面向下。 物块物块M的虚位移可以是沿斜面的虚位移可以是沿斜面向下的向下的r1，也可以是沿斜面向上，也可以是沿斜面向上的的r2，因为因为r1，r2都是约束所容都是约束所容许的。许的。drdrdrdrr1r1r1r2r1物块物块M置

20、于固定的斜面上，斜面对于物块置于固定的斜面上，斜面对于物块M的约束是的约束是定常约束定常约束。r2r2r24-2.非定常非定常约束下，无限小的实位移不是虚位移之一！约束下，无限小的实位移不是虚位移之一！物块物块M置于以速度置于以速度vo移动的斜面上，移动的斜面上，斜面对于物块斜面对于物块M的约束是的约束是非非定常约束定常约束。MdrdredrrMv0 在在dt内，斜面位移为内，斜面位移为dre，物块的实物块的实位移为位移为dr 。根据合成运动理论，有。根据合成运动理论，有dr = dre + drr = MM dre = v0dt -牵连位移牵连位移 drr -物块相对斜面的物块相对斜面的位移

21、位移drdredrrdrdredrrdrdredrrdredredredreM 物块物块M的虚位移可以是沿斜面向下的的虚位移可以是沿斜面向下的r1，也可以是沿斜面向上的，也可以是沿斜面向上的r2，因为，因为r1，r2都是约束所容许的。都是约束所容许的。r1r2r1r2r1r2r1r25. 虚位移的几何意义虚位移的几何意义0),(zyxf0),(),(zzfyyfxxfzyxfzzyyxxf0zzfyyfxxf0),(zzyyxxf约束方程约束方程rxiyjzkfffijknxyz为曲面上该点为曲面上该点的法向矢量的法向矢量!0nr其中：其中：所以所以 非自由质点非自由质点 M 的虚位移的虚位移

22、垂直于垂直于曲面上该点处的法线，曲面上该点处的法线，也就是说也就是说虚位移必在通过该点的曲面的切平面上虚位移必在通过该点的曲面的切平面上。补充知识补充知识：刚体的平面运动刚体的平面运动 -平面图形上各点的速度平面图形上各点的速度 n 刚体运动时，如果体内任意一点到某一固定平面的距离始终保持不变，则这种运动成为刚体的平面运动。n 即：刚体作平面运动时，体内任意一点都在与某固定平面平行的平面内运动。一刚体平面运动的定义一刚体平面运动的定义1速度基点法速度基点法平面图形的运动可以看成是平面图形的运动可以看成是: 牵连运动（随同基点牵连运动（随同基点A的平动）与的平动）与 相对运动（绕基点相对运动（绕

23、基点A 的转动）的合成的转动）的合成因此因此: 平面图形上任意一点平面图形上任意一点B的运动可用合成运动的概念进行分的运动可用合成运动的概念进行分析，其速度可用速度合成定理求解。析，其速度可用速度合成定理求解。二刚体平面运动的特征二刚体平面运动的特征2. 速度投影定理速度投影定理定理定理: 同一瞬时，平面图形上任意两点的同一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。速度在这两点连线上的投影相等。反映了反映了刚体不变形的特性刚体不变形的特性： 因刚体上任意两点间的距离应保持不变，所以刚体上任意两点的速度在因刚体上任意两点间的距离应保持不变，所以刚体上任意两点的速度在这两点连线上的投

24、影应该相等，否则，这两点间的距离不是伸长，就要缩短，这两点连线上的投影应该相等，否则，这两点间的距离不是伸长，就要缩短，这将与刚体的性质相矛盾。因此，速度投影定理不仅适用于刚体作平面运动，这将与刚体的性质相矛盾。因此，速度投影定理不仅适用于刚体作平面运动，而且也适用于刚体的一般运动。而且也适用于刚体的一般运动。 问题的提出？ 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化。 于是，自然会提出，在某一瞬时，平面上是否有速度等于零的点？如果有，该点如何确定？3.速度瞬心法速度瞬心法 定理定理:一般情况下，每一瞬时，平面图形一般情况下，每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。上都

25、唯一地存在一个速度为零的点。在某瞬时，平面图形上速度为零的点称为平面图形在该瞬时的在某瞬时，平面图形上速度为零的点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称为瞬时速度中心，简称为速度瞬心速度瞬心或或瞬心瞬心。AN上任意一点上任意一点M：证明：证明：总有一点总有一点I满足：满足：则则I点的（绝对）速度：点的（绝对）速度：4.平面图形上各点速度的分布平面图形上各点速度的分布 其中，其中，I为瞬心为瞬心刚体上任意一点刚体上任意一点M的速度的速度:总结：平面图形的运动可以看成总结：平面图形的运动可以看成是绕它的速度瞬心作瞬时转动。是绕它的速度瞬心作瞬时转动。注意：速度瞬心的速度为零，但是加速度不为零。注

26、意：速度瞬心的速度为零，但是加速度不为零。5.速度瞬心位置的确定（速度瞬心位置的确定（1）若平面图形沿一若平面图形沿一固定面固定面滚动而无滑动，则图形与固定面的接触滚动而无滑动，则图形与固定面的接触点点I就是该瞬时图形的速度瞬心。就是该瞬时图形的速度瞬心。 注意：注意：是在固定面上的纯滚动，如果不是固定面，接触点并非瞬心。是在固定面上的纯滚动，如果不是固定面，接触点并非瞬心。5.速度瞬心位置的确定（速度瞬心位置的确定（2）已知某瞬时平面图形上任意两点的速度方向，且两者不相平行，已知某瞬时平面图形上任意两点的速度方向，且两者不相平行，则速度瞬心必在过每一点且与该点速度垂直的直线上。则速度瞬心必在

27、过每一点且与该点速度垂直的直线上。 5.速度瞬心位置的确定（速度瞬心位置的确定（3）已知某瞬时平面图形上两点的速度相互平行，并且速度的方向已知某瞬时平面图形上两点的速度相互平行，并且速度的方向垂直于这两点的连线，但两速度的大小不等，则图形的速度瞬垂直于这两点的连线，但两速度的大小不等，则图形的速度瞬心必在这两点的连线与两速度矢端的连线的交点。心必在这两点的连线与两速度矢端的连线的交点。 6.瞬时平动瞬时平动已知某瞬时平面图形上两点的速度相互平行，但速度方向与这已知某瞬时平面图形上两点的速度相互平行，但速度方向与这两点的连线不相垂直；或虽然速度方向与这两点的连线垂直，两点的连线不相垂直；或虽然速

28、度方向与这两点的连线垂直，但两速度的大小相等，则该瞬时图形的速度瞬心在无限远处，但两速度的大小相等，则该瞬时图形的速度瞬心在无限远处，图形的这种运动状态称为图形的这种运动状态称为瞬时平动瞬时平动。 此时，图形的角速度等于零，图形上各点的速度大小相等，方此时，图形的角速度等于零，图形上各点的速度大小相等，方向相同，速度分布与平动时相似。向相同，速度分布与平动时相似。 注意：注意：瞬时平动只是刚体平面运动的一个瞬态，与刚体的平动瞬时平动只是刚体平面运动的一个瞬态，与刚体的平动是两个不同的概念，瞬时平动时，虽然图形的角速度为零，图是两个不同的概念，瞬时平动时，虽然图形的角速度为零，图形上各点的速度相

29、等，但图形的角加速度一般不等于零，图形形上各点的速度相等，但图形的角加速度一般不等于零，图形上各点的加速度也不相同。上各点的加速度也不相同。 例如：曲柄连杆机构装置示意图，连杆例如：曲柄连杆机构装置示意图，连杆BC作瞬时平动。作瞬时平动。补充内容结束！补充内容结束！6.分析质点系虚位移的两种方法分析质点系虚位移的两种方法6-1. 几何法几何法l用求实位移的方法来求各质点虚位移之间的关系；用求实位移的方法来求各质点虚位移之间的关系；l质点的实位移与其速度成正比质点的实位移与其速度成正比dr=vdt，所以实位移之间的关系可以用速度，所以实位移之间的关系可以用速度之间的关系代替，如速度合成法、瞬心法

30、、速度投影法等。之间的关系代替，如速度合成法、瞬心法、速度投影法等。6-2. 解析法解析法解析法的一般推广解析法的一般推广选广义坐标选广义坐标q1， q2 ，qN ，则各质点的坐标，则各质点的坐标),(),(),(212121NiiNiiNiiqqqzzqqqyyqqqxx),2, 1(ni对上式中第一式求变分，则对上式中第一式求变分，则NNiiiiqqxqqxqqxx2211Nkkkiqqx1得到：得到：质点在直角坐标质点在直角坐标中的虚位移与广中的虚位移与广义坐标中的虚位义坐标中的虚位移之间的关系为移之间的关系为Nkkkiiqqxx1Nkkkiiqqyy1Nkkkiiqqzz1),2, 1

31、(niqk 称为广义虚位移。称为广义虚位移。4.虚位移原理虚位移原理4-1.虚功虚功：质点或质点系所受的力在虚位移上所作：质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功的功称为虚功，用，用W表示。表示。注：注：虚位移是虚设的，虚功也是虚设的元功。虚位移是虚设的，虚功也是虚设的元功。设质点设质点m的虚位移为的虚位移为r，力力F 在虚位移上所作的虚功为在虚位移上所作的虚功为 W = F r = Fr cos滑块的虚位移为滑块的虚位移为rB，设曲柄的虚位移设曲柄的虚位移为为，力偶力偶 M 的虚功：的虚功：力力 F 的虚功：的虚功：如曲柄滑块机构在力偶如曲柄滑块机构在力偶M和力和力F的作用下处于平衡的

32、作用下处于平衡，ABMMMMxoyF F F FrBrBrBrB4-2.理想约束理想约束：在质点系的任何虚位移中，如果约束在质点系的任何虚位移中，如果约束反力所作的虚功之和等于零，这种约束称为理想约束。反力所作的虚功之和等于零，这种约束称为理想约束。若质点系中任意质点若质点系中任意质点Mi ，受约束反力，受约束反力Ni ，虚位移，虚位移ri，则理想约束的条件为：则理想约束的条件为：niiiniiW110rNN如光滑的接触面如光滑的接触面 W = N r= 0M N rN rN rN 对于作纯滚动刚体的固定面约束对于作纯滚动刚体的固定面约束C F T N DG F N F N 理想约束举例：理想

33、约束举例：光滑铰链连接光滑铰链连接N N rA N N rN N r光滑铰支座或光滑轴承光滑铰支座或光滑轴承N rN rN r理想刚体理想刚体rBrAABrBrArBrANANANANBNBNBB A rB柔性体约束柔性体约束TB TA TB TA TB TA rBrBrA4-3.虚位移原理虚位移原理：具有：具有完整、双面、定常、理想约束完整、双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零，又称中所作的虚功之和等于零，又称虚

34、功原理虚功原理。011niiiniiFWrF0)(1niiiiiiizZyYxX矢量表达式为矢量表达式为坐标分解式为坐标分解式为虚功方程虚功方程虚功方程又称为又称为静力学普遍方程！静力学普遍方程！必要性必要性：如果：如果 质点系平衡质点系平衡 则则虚功原理的证明虚功原理的证明niii10rF设质点系由设质点系由n个质点组成，第个质点组成，第i个质点个质点Mi平衡，受力有平衡，受力有Fi -主动力的合力主动力的合力Ni -约束反力的合力约束反力的合力则则Fi + Ni = 0 WFi+ WNi =n个方程求和得个方程求和得011niiiniiirNrF系统的约束为理想约束，系统的约束为理想约束，

35、 Ni r i=0011niiiniiFWrF( Fi + Ni ) ri= 0（i = 1, 2 , ，n）0得证！得证！充分性充分性：如果：如果 则则 质点系平衡质点系平衡 niii10rF反证法反证法：设质点系由：设质点系由n个质点组成，作用于该质点系的主动力个质点组成，作用于该质点系的主动力在给定的位置的任意虚位移中所作的虚功之和等于零，但该在给定的位置的任意虚位移中所作的虚功之和等于零，但该质点系不平衡。质点系不平衡。即至少有一个质点即至少有一个质点Mj不平衡，不平衡，则则 Fj+Nj Rj 0质点质点Mj由静止开始运动，其由静止开始运动，其实位移实位移 drj 应沿着应沿着 Rj

36、的方向的方向该质点的合力在实位移中的元功为该质点的合力在实位移中的元功为 Rj dr j = （Fj+Nj） dr j 0质点系受定常约束，质点系受定常约束， dr j r j ， （Fj+Nj） r j 0 Fi r i 0这与假设矛盾！这与假设矛盾！质点系必然平衡。质点系必然平衡。得证！得证！（Fj+Nj） r j 0又又 Ni r i=05.虚功原理的应用虚功原理的应用已知质点系处于平衡状态，已知质点系处于平衡状态， 求主动力之间的关系或平衡位置。求主动力之间的关系或平衡位置。已知质点系处于平衡状态，已知质点系处于平衡状态， 求其内力或约束反力。求其内力或约束反力。WAolP P P PB例例1：螺旋千斤顶中，旋转手柄：螺旋千斤顶中，旋转手柄OA=l=0.6m，螺距，螺距h=12mm。今在。今在OA的水平面内作用一垂直手柄的力的