数学分析考试课件3[1]4

1、 2011年4月12日第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第十二讲 1. Laplace算子与共轭调和函数算子与共轭调和函数 2. 解析函数的等价刻画3. 调和函数的平均值定理与极值原理 ( ), wf zuivD设在区域内解析. , xvyuyvxu 那那末末. , 222222yxvyuxyvxu 从而从而根据解析函数高阶导数定理, , uv与具有任意阶的连续偏导数 从而, 22yxvxyv 2222 0,uuxy故. 0 2222yvxv同理偏微分方程偏微分方程 22220HHHxy称为称为Laplace方程方程其中其中2222xy 称为称为Laplace算子算子从以上分析知从以上

2、分析知:( ), f zuivD若在区域内解析Laplace 0,0.uvDuv 则 与 在 内满足方程:1. Laplace算子算子一一. Laplace算子与共轭调和函数算子与共轭调和函数 2. 调和函数调和函数( , ) , 0,( , ).H x yDHH x yD如果二元实变函数在区域内具有二阶连续偏导数 且满足拉普拉斯方程则称为区域 内的调和函数( ),f zuivDuv若在区域内解析 则 与 为注注1- DC R在区域 内满足方程3. 共轭调和函数共轭调和函数定义定义3.63.6 , uvuvxyyx D内的调和函数。定义定义3.5注注2 2,u vvuD的两个调和函数中 称为

3、在区域 内的vu不能交换顺序， “ 称为 的共轭调和函数”中的定理定理3.18( )( , )( , )f zu x yiv x yD若在区域内解注注3 3如果没有条件“共轭”定理3.18的逆未必成立。C.-R.xyyxuvuvuv 由于方程,中， 与,.u v不能交换, u vDuivD也就是说即使均是 内的调和函数,在区域内也不一定解析。共轭调和函数。,( , )( , ).Dv x yu x y析 则在 内必为的共轭调和函数4. 解析函数的构造解析函数的构造D假设 是单连通区域(1)( , ),( , ),u x yDv x y已知是 内的调和函数 找2222 0,uuxy由于,uuDy

4、x即与在 内具有连续的一阶偏导数,uuuuPQyyxxyx 且记方法一方法一: 应用曲线积分应用曲线积分,yxPQ则由数学分析中格林公式的等价命题知,.uivD使在 内解析uudxdyPdxQdyyx是全微分,令( , ),(3.21)uudxdydv x yyx则00( , )(,)( , ),(3.22)x yxyuuv x ydxdycyx注注4(3.22),x y对分别对求偏导数 得 , uvuvxyyx 3.15,.uivD由定理知在 内解析注注5 (3.21)可由下式简便记忆( , )vvdv x ydxdyxyC R方程uudxdyyx方法二方法二: 应用不定积分应用不定积分-,

5、vuC Ryx由方程有( , )( ),uv x ydyxx-vuC Rxy再由方程另一条件有( , )( )xv x yudyxxx,uy ( ).x找(2)( , ),( , ),v x yDu x y已知是 内的调和函数 找( , )uudu x ydxdyxy类似有C R方程vvdxdyyx故00( , )(,)( , )x yxyvvu x ydxdycyx注注600(0,0),(,)(0,0),Dxy若则定点可取,(3.22).D若 非单连通 则积分可能为多值函数.uivD使在 内解析定理定理3.19( , )u x yD设是在单连通区域 内的调( , ),( )v x yf zu

6、ivD所确定的函数使是 内的00( , )(,)( , ),(3.22)x yxyuuv x ydxdycyx解析函数.( )f zuivD使得是 内的解析函数.( , ),( , )v x yu x y类似地，已知调和函数也可确定二二. 解析函数的等价刻划解析函数的等价刻划,(3.22)和函数 则存在由式1. 调和函数生成解析函数调和函数生成解析函数注注72. 刻划解析函数又一等价条件刻划解析函数又一等价条件( )f zuivD在区域 内解析3.18 定理.Dvu在区域 内, 是 的共轭调和函数3.19 定理注注8 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍

7、解析知,任一二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.证明证明2( , ),u x yxy设由于2,uyx220,ux2,uxyy222 ,uxy0,x 故当( , )u x y 不是调和函数,0Laplace,x 虽然在直线上满足方程但直线不是区域, 即在z-平面的任意区域，2.xy 不能作为解析函数的实部2 .xy证明不能作为解析函数的实部22222 ,uuxxy例例1 12222 : ( , ), ( , ),( )( , )( , ).yu x yxyv x yxyf zu x yiv x y证明都是调和函数 但不是解析函数证明证明由于2 ,uxx222,ux2 ,uyy 222,uy

8、2222,()vxyxxy22222,()vxyyxy223222 362,()vx yyxxy223222362,()vx yyyxy从而22220,uuxy22220;vvxy例例2 2( , ),u x yz即是 平面上的调和函数( , )0,v x yC 是上的调和函数2222222, ,()uvxyyyxxyxxy 0Cuv从而在的任何区域上 与 不满足-,.C Rvu方程 故 不是 的共轭调和函数( )( , )( , ).f zu x yv x y即不是解析函数22,uvyxxyx 这说明仅在曲线上成立2233,uxyx22 6 ,uxx 6,uxyy 22 6 ,uxy 解法一

9、解法一,z因为在 平面上, 0 2222 yuxu于于是是( , ).u x yz故为 平面上的调和函数( , )vvdv x ydxdyxy由有有( , )(0,0)x y,uudxdyyx 6xydx, c22(33)xydy( , )v x y32( , )3, u x yxxyz验证是 平面上的调和函数( , )( ),(0).u x yf zfi并求以为实部的解析函数使例例3( ,0)22(0,0)6(33)xxydxxydy( , )22( ,0)6(33)x yxxydxxydyc220(33)yxydyc233x yyc( )wf zuiv故32(3)xxy3,zic23(3)

10、ix yyc (0),fi由 1,c 得3( ).f zzi故oXYxy(x,y)解法二解法二( , ).u x y同方法一可证为调和函数yxCRvu由方程中一个得( , )v x y( )xu dyx22(33)( )xydyx233( )x yyxxyCRvu 再由方程中另一个得6( )6,xvxyxxy( )0,x故( ),xc即23( , )3,v x yx yyc因此( )wf zuiv故32(3)xxy23(3)ix yy3,zic1,c 如法一可求3( ).f zzi故例例4 ( , )arctan(0),( ).yv x yxxf zuiv已知求右半平面的解析函数解解22,yx

11、y 2211vxyyx在右半z平面上2221yvxyxx22,xxy222222 ,()vxyxxy222222 ()vxyyxy2222 0,vvxy( , ) v x y 为调和函数.z-C R由方程中的一个uvxy得22,uvxxyxy( , )( )uu x ydxyx( )vdxyy22( )xdxyxy221ln()( )2xyy-C R再由方程中的另一个uvyx 得2212( )2yyxy22yxyuvyx ( )0,y从而 ( ),yc故221 ln(),2uxyc于是故所求的解析函数为( )f zuivargtanyixln,zc221ln()2xycargtanyix22l

12、nxycargtanyixln zc3 平均值公式定理9.100 ( ), u zzzRzzR如果函数在圆内是一个调和函数 在闭圆上连续,则20001()()d .2iu zu zR e即u(z) 在圆心处的值等于它在圆周上值的算术平均值.证明证明3.19( )( )u zv z由定理，存在的共轭调和函数0( )( )( )u ziv zf zzzR使得在圆内解析，10 RR设，20101()2if zR ed000()()()u ziv zf z则由定理3.12（复变函数的平均值定理）得2201010011()()22iiu zR ediv zR ed1,RR比较两端的实部和虚部，且令则22

13、00000011(),()().2(2)iiu zRedv zv zReudz.仅证最大值情况达到最大值或最小值。( ),u zD如果函数在区域 内是调和函数 极值原理定理9.2 ( )u zD且不恒为常数，则在 的内点处不能证明证明( )( )u zu z且与的调和性是相同的。min ( )max( ),z Dz Du zu z因为00max ( ),(z DzDu zu z如果使得DD若区域 是单连通的，我们在区域 内( )( ).f zu zee且其模( )0( )f zezu z但在点 与同时达到最大值,即00()()( )0ma,xf zu zu zz DeeezD( )( )( )( ),f zf zu ziv zeD记则在 内单值解析，( )( ), u zv z作与共轭的调和函数